Золотые спирали в живой природе

Характерной чертой строения растений и живых организмов является спиральность. Еще Гете, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков живых организмов. Что же такое спираль? В математике спираль определяется как плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала.

Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j), где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на полярной оси, f(j) – некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. Если функция f(j) возрастает по экспоненциальному закону, то такая спираль называется логарифмической.

Всякая логарифмическая спираль представляет собой схему роста или возрастания и может быть выражена геометрической прогрессией. При этом особое значение имеет «золотая» логарифмическая спираль, в которой члены геометрической прогрессии, соответствующей спирали, являются степенями золотой пропорции {t ⁿ}(n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …). По мнению многих исследователей, в частности, известного ученого Т. Кука, именно «золотая» логарифмическая спираль, которую она называет «кривой гармонического возрастания», наиболее чаще проявляется в рогах баранов, коз, антилоп и других рогатых животных.

Спирали широко проявляют себя в растительном мире. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровне.

Спиралевидную форму имеют большинство раковин. Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная – рифленая. Внутри покоится тело моллюска – внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, «отточенной» конструкции.

У некоторых моллюсков количество частей, формирующих конические раковины, отвечает числам Фибоначчи. Как подчеркивает Н. Васютинский в своей книге «Золотая пропорция», «рост «по Фибоначчи» открыл большие возможности для возникновения разнообразных организмов. В членении «по Фибоначчи» выражена и геометрическая прогрессия роста (с показателем, равным золотой пропорции), и симметрии подобия, и единство непрерывной и дискретной организации. На смену примитивным моллюскам пришли более сложные организмы и, прежде всего, членистоногие».

Пентагональная симметрия в живой природе

В живой природе широко распространены формы, основанные на «пентагональной» симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы). Пяти-лепестковыми являются цветы кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони, земляники и многих других. Ниже показано цветок китайской розы с ярко выраженной «пентагональной» симметрией.

А ниже приведен пример кактуса, имеющего форму пентаграммы.

Свойство наличия пяти пальцев на руке или пяти костей, или костных зачатков на органах, соответствующих руке человека и многих животных («пентадактильность»), являются дополнительным свидетельством пятиугольных форм и связанного с ними золотого сечения в морфологии биологического и растительного мира.

Вездесущий филлотаксис

Все в Природе подчинено строгим математическим законам. Оказывается, что расположение листьев на стеблях также носит строгий математический характер и это явление называется в ботанике «филлотаксисом». Суть филлотаксиса состоит в винтовом расположении листьев на стебле растений (ветвей на деревьях, лепестков в соцветьях и т.д.).

В явлении филлотаксиса используются более сложные понятия симметрии, в частности понятие «винтовая ось симметрии». Рассмотрим, например, расположение листьев на стебле растения.

Мы видим, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть «винтовой симметрии».

А теперь рассмотрим характерные «винтовые оси», которые возникают на стеблях растений.

На рисунке (а) изображен стебель растения с винтовой осью симметрии третьего порядка. Проследим линию листорасположения на этом рисунке. Для того, чтобы перейти от листа 1 к листу 2, следует повернуть лист 1 вокруг оси стебля на 120° против часовой стрелки (если смотреть снизу) и затем передвинуть листок 1 вдоль стебля по вертикали до тех пор, пока он не совместится с листком 2. Повторяя подобную операцию, т.е. поворачивая лист 2 на 120° и передвигая его вверх, перейдем от листа 2 к листу 3, а затем к листу 4. Обратим внимание на то, что листок 4 лежит над листком 1 (как бы повторяет его, но этажом выше) и что, идя от листа 1 к листу 4, мы трижды совершили поворот на угол 120°, т.е. осуществили полный оборот вокруг оси стебля (120° ґ 3 = 360°).

Угол поворота винтовой оси у ботаников называется «углом расхождения листьев». Вертикальная прямая, соединяющая два листа, расположенные друг над другом на стебле, именуется «ортостихой». Отрезок 1-4 ортостихи соответствует полной трансляции винтовой оси. Как мы увидим далее, число оборотов вокруг оси стебля для перехода от нижнего листа к вышележащему, расположенному в точности над нижним (по ортостихе), может равняться не только единице, но и двум, трем и т.д. Это число оборотов называется «листовым циклом». В ботанике принято характеризовать винтовое листорасположение с помощью дроби, числителем которой является число оборотов в листовом цикле, а знаменателем – число листьев в этом цикле. В рассмотренном нами случае мы имеем винтовую ось типа 1/3.

На рисунке (б) изображена пятерная винтовая ось симметрии с листовым циклом 2 (для перехода от листа 1 к листу 6 надо совершить два полных оборота). Дробь, характеризующая данную ось, равна 2/5; угол расхождения листьев составляет 144° (360°:5 = 72°; 72° ґ 2 = 144°). Заметим, что существуют и более замысловатые оси, например, типа 3/8, 5/13 и т.д.

Возникает вопрос, какими могут быть числа a и b, характеризующие винтовую ось типа a/b. И вот здесь Природа преподносит нам очередной сюрприз в виде так называемого «Закона филлотаксиса». Ботаники утверждают, что дроби, характеризующие винтовые оси растений, образуют строгую математическую последовательность, состоящую из отношений соседних чисел Фибоначчи, то есть:

1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, ….

(1)

Заметим, что дроби в последовательности (1) образуются числами Фибоначчи, взятыми через одно число. Нетрудно доказать, что последовательность (1) стремится к числу, обратному квадрату золотой пропорции t ^-2= 0,382 ….

Ботаники установили, что для различных растений характерны свои дроби филлотаксиса из последовательности (1). Например, дробь 1/2 свойственна злакам, березе, винограду; 1/3 – осоке, тюльпану, ольхе; 2/5 – груше, смородине, сливе; 3/8 – капусте, редьке, льну; 5/13 – ели, жасмину и т.д.

Какова же «физическая» причина, лежащая в основе «законов филлотаксиса»? Ответ очень прост. Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

С учетом этого замечания нас теперь не удивит и тот факт, что практически все соцветья и плотно упакованные ботанические структуры (сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечников и многие другие) также строго следуют числам Фибоначчи.

На рисунке приведены различные ботанические структуры (сосновая шишка, головка подсолнечника, цветок эхимеи), в которых «закон филлотаксиса» выражается в следующем. В каждой из таких ботанических структур семена располагаются на пересечении левых и правых спиралей; при этом отношение числа левых и правых спиралей всегда равно отношению соседних чисел ряда Фибоначчи, которое, как известно, стремится к золотой пропорции. Те же закономерности наблюдаются в корзинках цветов.

Таким образом, строгую математику мы находим и в расположении листьев на стеблях растений, лепестков на цветке розы, в разрезе яблока (пентаграмма), в спиралевидном расположении семян сосновой шишке, головки подсолнечника, ананаса и кактуса. И эта закономерность математически выражается числами Фибоначчи и золотой пропорцией! И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единым законам – и раскрыть и объяснить эти законы и есть главная задача науки.