Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Под знаком "Золотого Сечения"

Стахов А.П.
Под знаком «Золотого Сечения»:
Исповедь сына студбатовца.
Глава 3. Что такое «золотое сечение»?
3.9. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи
Oб авторе
Биномиальные коэффициенты

В нашей повседневной жизни мы широко используем раздел математики, называемый комбинаторным анализом. Этот раздел математики изучает так называемые конечные множества. Множество, состоящее из n элементов, называется n-элементным. Однако, мы можем выбрать k элементов из n-элементного множества. Каждая k-элементная часть n-элементного множества называется сочетанием из n элементов по k. Одна из задач комбинаторного анализа состоит в нахождении числа комбинаций из n элементов по k. Обычно это число обозначают через .

Вычислим теперь числа , , , …, . Начнем из числа . Но что означает 0-элементное множество? Это означает, что множество не имеет элементов. Такое множество называется «пустым» множеством. Ясно, что существует только одно сочетание из n элементов по 0, то есть =1.

Рассмотрим множество, состоящее из 3 элементов: карандаша, пера и ластика. Вычислим числа , , , для этого случая. Ясно, что =1.

Вычислим теперь . Ясно, что существует только 3 1-элементных частей для этого случая, то есть =3.


Для случая k = 2 также существует только 3 2-элемeнтные части, то есть =3.

Наконец, для случая k=3 существует только одна 3-элементная часть, то есть =1.


Но как велико число всех возможных частей n-элементного множества. Для нашего примера мы имеем:

+++= 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23.

В комбинаторном анализе доказана следующая общая формула:

.

В математике числа называются биномиальными коэффициентами. Из средней школы нам хорошо известна так называемая биномиальная формула, которая имеет следующий вид:
(a+b)n = an b0 + an-1 b1 +... + an-k bk +... + a0 bn, (1)

где - биноминальные коэффициенты. Также формула (1) называется формулой Ньютона.

Треугольник Паскаля

Ньютон, действительно, использовал эту формулу в своих математических исследованиях. Но исторически это название не является корректным, потому что формула (1) была известна арабским математикам задолго до Ньютона. Известный французский математик Блез Паскаль предложил очень простой способ вычисления биномиальных коэффициентов с использованием специальной таблицы чисел, называемой арифметическим квадратом или треугольником Паскаля.

Рассмотрим так называемый прямоугольный Треугольник Паскаля, представляющий собой следующую таблицу чисел:

...

...

...

...

...

...


Строки треугольника Паскаля нумеруются сверху вниз. Биномиальные коэффициенты

= = =... = = 1

образуют «нулевую» строку. Каждая n-я строка начинается с биномиального коэффициента = 1 (n =0, 1, 2, 3,...).

Столбцы треугольника Паскаля нумеруются слева направо; крайний левый столбец, состоящий из одного числа ( = 1), называется нулевым столбцом. Столбец с номером n включает следующие биномиальные коэффициенты:

, , ,..., ,..., ,..., ,

где = .

Треугольник Паскаля основывается на следующем рекуррентном соотношении:

= + .

Рассмотрим Треугольник Паскаля, представленный в числовой форме.


1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

3

6

10

15

21

28

36

1

4

10

20

35

56

84

1

5

15

35

70

126

1

6

21

56

126

1

7

28

84

1

8

36

1

9

1

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512


Биномиальные коэффициенты и Треугольник Паскаля широко используются в различных разделах математики. Знаменитый математик Якоб Бернулли писал:

«Эта таблица имеет ряд чудесных свойств. Только что мы показали, что она составляет существо теории соединений, но те, кто тесно соприкасаются с геометрией, знают, что она хранит ряд фундаментальных секретов этой области математики».

Но возникает вопрос: какое отношение имеет Треугольник Паскаля к числам Фибоначчи и золотому сечению? Оказывается, самое прямое.

Обобщенные числа Фибоначчи

А теперь проделаем некоторые «манипуляции» над треугольником Паскаля. Сдвинем каждый ряд треугольника Паскаля на один столбец вправо относительно предыдущего ряда. В результате такого преобразования мы получим следующую числовую таблицу, называемую 1-треугольником Паскаля.


1-треугольник Паскаля

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

3

6

10

15

21

28

36

1

4

10

20

35

56

1

5

15

35

1

6

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

Очень просто доказать, что сумма биномиальных коэффициентов в n –м столбце 1-треугольника Паскаля равна числу Фибоначчи Fn+1. Это означает, что если мы будем двигаться вдоль нижнего ряда 1-треугольника Паскаля, начиная с 0-го столбца, мы получим ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …!

И далее, если мы сдвинем исходный Треугольник Паскаля на p столбцов вправо относительно предыдущего ряда (p = 0, 1, 2, 3,...), мы получим числовую таблицу, которую я назвал p-треугольником Паскаля. Ясно, что 0-треугольник Паскаля, то есть p-треугольник Паскаля, соответствующий значению р=0, есть ни что иное, как исходный треугольник Паскаля. Например, p-треугольники Паскаля, соответствующие p =p = 3, имеют следующий вид соответственно:

2-треугольник Паскаля

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

3

6

10

15

21

28

1

4

10

20

1

1

1

1

2

3

4

6

9

13

19

28

41

60

3-треугольник Паскаля

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

3

6

10

15

1

1

1

1

1

2

3

4

5

7

10

14

19

26

Суммируя биномиальные коэффициенты в столбцах 2- и 3-Треугольника Паскаля, мы получим две новые числовые последовательности:

(а) р=2

1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60,... (1)

(б) р=3

1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26,... (2)

Проанализируем эти последовательности. Анализ последовательности (1) показывает, что члены этой последовательности обладают следующими свойствами. Во-первых, первые три члена последовательности равны 1, а каждый член последовательности, начиная с 4-го члена, равен сумме предыдущего члена и отстоящего от него на 2 члена (2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 6=4+2, 9=6+3, 13=9+4, …). В основе последовательности (2) положена следующая закономерность: первые 4 члена последовательности равны 1, а каждый член последовательности, начиная с 5-го, равен сумме предыдущего члена и отстоящего от него на 3 члена (2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1, 7=5+2, 10=7+3, …).

Оказалось, что если сдвинуть каждую строку исходного треугольника Паскаля на р столбцов вправо относительно предыдущего, то мы получим так называемый р-треугольник Паскаля; при этом в результате суммирования биномиальных коэффициентов по столбцам, мы придем к числовой последовательности, которая удовлетворяет следующим правилам:

(1) первые (р+1) членов этой последовательности равны 1, то есть:
Fp(1) = Fp(2) =... = Fp(p+1) = 1 (3)
(2) каждый член последовательности, начиная с (р+2)-го, вычисляется по следующей рекуррентной формуле:
Fp(n) = Fp(n-1)+Fp(n-p-1) (4)

Такие числовые последовательности я назвал р-числами Фибоначчи на том основании, что для случая р=1 введенные мною р-числа Фибоначчи совпадали с классическими числами Фибоначчи. Позже, изучая работы американских математиков-фибоначчистов, я обнаружил, что подобные последовательности начали изучаться ими раньше. Но тем не менее введенное мною название «р-числа Фибоначчи» прижилось и широко используется в современной математической литературе.

(продолжение следует)


Стахов А.П., Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 3. Что такое «золотое сечение»? 3.9. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13235, 20.04.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru