Правильные многогранники

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах – двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

Издавна ученые интересовались «идеальными» или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны, как принято в математике) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников, то есть при первом рассмотрении кажется, что можно создать правильный многогранник, сторонами которого может быть любой правильный многоугольник. Однако это не так. Уже в «Началах Евклида» было строго доказано, что число правильных многогранников весьма ограничено и что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Эти правильные многогранники получили название Платоновых тел (см. рисунок). Первое из них – это тетраэдр (рисунок 1-а). Его гранями являются четыре равносторонних треугольника. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Следующее тело – это гексаэдр, называемый также кубом (Рис. 1-с). Гексаэдр имеет шесть граней, представляющие собой квадраты. Гранями октаэдра (Рис.1-b) являются правильные треугольники и их число в октаэдре равно восьми. Следующим по количеству граней является додекаэдр (Рис.1-е). Его гранями являются пентагоны и их число в додекаэдре равно двенадцать. Замыкает пятерку Платоновых тел икосаэдр (Рис.1-d). Его гранями являются правильные треугольники и их число равно 20.

Рис. 1. Платоновы тела

Основными числовыми характеристиками платоновых тел является число граней F, число вершин V и число плоских углов E на поверхности тела. Эти числовые характеристики приведены в Табл.1.

Таблица 1

«Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, - одна из самых увлекательных глав геометрии» - таково мнение русского математика Л.А. Люстернака, много сделавшего именно в этой области математики.

Прежде всего необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Уже в «Началах Евклида» найдено огромное количество соотношений, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины».

Космология Платона

«Евклид вовсе и не собирался выпускать систематический учебник геометрии. Он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное на начинающих, в силу чего ему пришлось изложить все необходимые сведения» - шутка известного английского естествоиспытателя и геометра д’Арси Томпсона, как и всякая хорошая острота, содержит зерно истины. Согласно комментатору «Начал Евклида» Проклу Евклид считал венцом всех тринадцати книг своих «Начал» предложенные им способы построения пяти Платоновых тел - и именно эту важнейшую математическую информацию он поместил в последнюю, тринадцатую книгу.

Космология Платона стала основой так называемой икосаэдро-додекаэдрической доктрины, которая с тех пор красной нитью проходит через всю человеческую науку. Суть этой доктрины состоит в том, что додекаэдр и икосаэдр есть типичные формы природы во всех ее проявлениях, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Вопрос о форме Земли постоянно занимал умы ученых античных времен. И когда гипотеза о шарообразной форме Земли получила подтверждение, возникла идея о том, что по своей форме Земля представляет собой додекаэдр. Так, уже Платон писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи». Эта гипотеза Платона нашла дальнейшее научное развитие в трудах физиков, математиков и геологов. Так, французский геолог де Бимон и известный математик Пуанкаре считали, что форма Земли представляет собой деформированный додекаэдр (Рис. 2).

Рис. 2. Додекаэдр

Российский геолог С. Кислицин также разделял мнение о додекаэдрической форме Земли. Он высказал гипотезу о том, что 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в гео-икосаэдр. Однако такой переход оказался неполным и незавершенным, в результате чего гео-додекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра. В последние годы гипотеза о икосаэдро-додекаэдрической форме Земли была подвергнута проверке. Для этого ученые совместили ось додекаэдра с осью глобуса и, вращая вокруг нее этот многогранник, обратили внимание на то, что его ребра совпадают с гигантскими нарушениями земной коры (например, с Срединно-Атлантическим подводным хребтом). Взяв затем икосаэдр в качестве многогранника, они установили, что его ребра совпадают с более мелкими членениями земной коры (хребты, разломы и т.д.). Эти наблюдения подтверждают гипотезу о близости тектонического строения земной коры с формами додекаэдра и икосаэдра.

Узлы гипотетического гео-кристалла являются как бы центрами определенных аномалий на планете: в них расположены все мировые центры экстремального атмосферного давления, районы зарождения ураганов; в одном из узлов икосаэдра (в Габоне) обнаружен «природный атомный реактор», еще работавший 1,7 млрд. лет назад. Ко многим узлам многогранников приурочены гигантские месторождения полезных ископаемых (например, Тюменское месторождение нефти), аномалии животного мира (оз. Байкал), центры развития культур человечества (Древний Египет, протоиндийская цивилизация Мохенджо-Даро, Северная Монгольская и т.п.).

Все эти примеры подтверждают удивительную прозорливость интуиции Платона.

Значительной является роль тетраэдра, октаэдра и икосаэдра на субатомном уровне, в частности указанные многогранники, гранями которых являются правильные треугольники, возникают при рассмотрении электронных пар.

Долгое время считалось, что в неорганической природе почти не использовались додекаэдр и икосаэдр, имеющие так называемую пятерную или «пентагональную» ось симметрии, но «пентагональная» ось симметрии является постоянным «спутником жизни». Икосаэдр – геометрическое тело, форму которого принимают вирусы, состоящие из ДНК и белка, то есть икосаэдральная форма и пентагональная симметрия «являются фундаментальными в организации живого вещества».

Открытие квази-кристаллов (основанных на икосаэдре), сделанное в 1982 г. израильским физиком Даном Шехтманом (более детально об этом открытии будет рассказано ниже), стало выдающимся событием в современной физике, так как показало, что «пентагональная» симметрия и икосаэдральная форма играют также фундаментальную роль в кристаллографии, что противоречило законам классической кристаллографии.

Квинтэссенцией геометрических представлений о всем сущем стали работы американского исследователя Д. Винтера, возглавляющего группу «Планетарные сердцебиения». Он является проповедником идеала формы, унитарного «золотого сечения», которые подобно «золотой цепи» соединяют ген и Вселенную. Принимая концепцию икосаэдрически-додекаэдрической формы Земли, Винтер развивает ее дальше. Он обращает внимание на то, что угол, описываемый осью вращения Земли в ходе ее прецессии за 26 000 лет, составляет 32° . Это в точности равно тому углу, под которым можно наклонить куб, чтобы, вращая его затем вокруг оси (с пятью остановками), получить додекаэдр. По мнению Винтера, энергетический каркас Земли представляет собой додекаэдр, вставленный в икосаэдр, который, в свою очередь, вставлен во второй додекаэдр. Геометрические отношения между указанными многогранниками представляет собой золотое сечение.

Додекаэдрическая структур, по мнению Д. Винтера, присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. Так, в процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!