Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Под знаком "Золотого Сечения"

Стахов А.П.
Под знаком «Золотого Сечения»:
Исповедь сына студбатовца.
Глава 3. Что такое «золотое сечение»?
3.4. Задача о размножении кроликов
Oб авторе

Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Пизано Фибоначчи. Позже я расскажу о Фибоначчи и его роли в развитии западноевропейской математики более подробно. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только лишь как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой «задачи о размножении кроликов». Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.

Существо своей «задачи о размножении кроликов» Фибоначчи сформулировал предельно просто:


«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?»

Кролики Фибоначчи

Для решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим через A пару зрелых кроликов, а через B – пару новорожденных кроликов. Тогда процесс «размножения» может быть описан с помощью двух «переходов», которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения:


A Ю AB; (1)
B Ю A. (2)

Заметим, что переход (1) моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Переход (2) моделирует процесс «созревания» кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Если теперь мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью Таблицы 1.

Таблица 1

Дата

Пары кроликов

A

B

A+B

1-го января

A

1

0

1

1-го февраля

AB

1

1

2

1-го марта

ABA

2

1

3

1-го апреля

ABAAB

3

2

5

1-го мая

ABAABABA

5

3

8

1-го июня

ABAABABAABAAB

8

5

13


Заметим, что в столбцах А иВ таблицы 1 указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблице А+В – суммарное количество кроликов.

Изучая последовательности А-, В- и (А+В)-чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:
Fn = Fn-1 + Fn-2. (3)

Такая формула называется рекуррентной формулой.

Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой (3), зависят от начальных значений последовательности F1 и F2. Например, мы имеем F1 = F2=1 для A-чисел и для этого случая рекуррентная формула (3) «генерирует» следующую числовую последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,.... (4)

Для В-чисел мы имеем: F1=0 и F2=1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,....

Наконец, для (А+В)-последовательности мы имеем: F1=1 и F2=2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,....

В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность (4). Числа Фибоначчи обладают удивительными математическими свойствами и об этом я расскажу ниже.

О кроликах

Думается, что самое время поговорить о кроликах. Почему именно это животное вошло в историю математики? Как известно, кролик – это млекопитающее отряда грызунов семейства зайцев. Первоначальной родиной дикого кролика в основном считались страны южной части Западной Европы (Испания, Франция, Италия), откуда кролик был привезен человеком во все страны к северу от Альпийских гор. Современная область распространения дикого кролика – вся южная и средняя части Западной Европы, но особенно многочислен он в странах, прилегающих к Средиземному морю, а также в Африке, Азии, Австралии, Новой Зеландии, Америке.

Особенностью кроликов является их удивительная плодовитость. Крольчиха в 3-4 месяца от роду достигает половой зрелости, причем она способна размножаться круглый год. Беременность оплодотворенных крольчих длится от 28 до 32 суток (то есть в среднем 30 суток); это означает, что, рассматривая процесс размножения кроликов, Фибоначчи исходил из реальных фактов (беременность крольчихи в среднем длится 1 месяц). Но число крольчат, которые могут быть получены от одной крольчихи в результате одного окрола, составляет 8-10 (а иногда и больше), то есть на самом деле кролики размножаются еще более интенсивно, чем предположил Фибоначчи в своей задаче.

Именно этой исключительной плодовитостью кроликов объясняется тот факт, что во многих странах «нашествие кроликов» рассматриваются как национальная трагедия. Примером является Австралия. Началось все с того, что в 1837 г. один австралийский фермер создал кролеферму из 24 кроликов, которые, расплодившись и вырвавшись на свободу, уничтожили мало не всю зелень континента. И только благодаря решительным мерам австралийского правительства в борьбе с «длинноухой саранчой» удалось сократить численность прожорливой твари. В Австралии кроликам объявлена настоящая война, которая уже длится более 150 лет. Через весь материк на многие сотни километров австралийцы построили «великую китайскую стену» — барьер, непреодолимый для кроликов; за каждого убитого кролика выплачивается вознаграждение, против кроликов применяются химические и биологические средства. Война продолжается с переменным успехом. Австралийские дикие кролики научились лазить по деревьям, стали ужасно агрессивными, устраивают уничтожающие набеги на поля и огороды фермеров.

Кроме того, плодовитое кроличье племя, некогда своеобразно повлиявшее на выдающегося математика Италии, в настоящее время взяло в осадное положение итальянский остров Устика (севернее Сицилии). На 1000 жителей этого крохотного островка приходится 100 000 кроликов. В отличие от жителей Австралии коренное население Устики сдается без боя: уже пятая часть жителей эмигрировала с острова.

Но не следует забывать и о другой стороне «кроличьей проблемы: кроличье мясо считается одним из наиболее вкусных и полезных. И одним из крупнейших производителей кроличьего мяса является Италия, родина Фибоначчи. В этой связи итальянским (да и не только итальянским) историкам математики необходимо много поработать, чтобы установить, что же послужило Фибоначчи первопричиной формулировки «задачи о размножении кроликов»: пристрастность к крольчатине или любовь к высшей математике.

(продолжение следует)


Стахов А.П., Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 3. Что такое «золотое сечение»? 3.4. Задача о размножении кроликов // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13159, 30.03.2006

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru