Посвящается светлой памяти двух выдающихся ученых –
доктору философских наук Георгию Чефранову
и доктору физико-математических наук Александру Зенкину

Автор

Статья Дениса Клещева «Лженаука: болезнь, которую некому лечить» [1] вызвала неподдельный интерес членов нашего Международного Клуба. Некоторые из них обратились ко мне за разъяснениями по поводу критики «Теории бесконечных множеств Кантора», содержащейся в статье Клещева. Вот одно из писем:

«Статья Клещёва очень сильная. Только ты мне скажи: взамен Канторовской теории есть действительно что предложить? Или я чего-то не дочитал, или это просто критика без желания (или способности) что-то конструктивное предложить».

В этой статье я попытаюсь ответить на этот вопрос. Как всегда, мои рассуждения носят биографический характер. Я хотел бы начать с объяснения того, как проблема «бесконечности» вошла в мое научное творчество.

С 1971 по 1977 гг. я работал в Таганрогском радиотехническом институте в качестве зав. кафедрой информационно-измерительной техники. И сама судьба и тот учебный курс «Теоретические основы информационно-измерительной техники» заставили меня заниматься проблемой измерения, существенным элементом которой является проблема «бесконечного». В тот период я написал статью «Что такое теория измерения?», опубликованную в одном из научных сборников Таганрогского радиотехнического института [2].

Одним из самобытных таганрогских ученых был доктор философских наук профессор Георгий Васильевич Чефранов, автор интересных философских идей и многих философских книг по проблеме «бесконечности». Одна из его книг называется «Бесконечность и интеллект» (1971). С Георгием Васильевичем мы очень дружили и любили весенними и летними таганрогскими вечерами прогуляться по улице Чехова от «профессорского дома», где я жил, до пляжа и обратно. Это были не просто прогулки – они сопровождались жаркими дискуссиями по проблемам науки и философии. Научные дискуссии с профессором Чефрановым способствовали повышению моего философского уровня. Работая над своей первой книгой по теории измерения, я вышел на ряд философских проблем науки, связанных с измерением и основаниями науки, включая и проблему «бесконечности». Результаты этих моих философских размышлений, которые появились в результате дискуссий с Георгием Васильевичем Чефрановым, изложены в главе "Проблема измерения" моей первой книги "Введение в алгоритмическую теорию измерения", опубликованной в 1977 году [3].

В 2001 г. вместе с моей дочерью Анной Слученковой мы выставили на Интернете сайт «Музей Гармонии и Золотого Сечения». В этом сайте я изложил свои соображения по поводу «канторовской теории множеств»

Вместе с Александром Зенкиным, Москва, Московский Университет, 29 мая 2003 г.

В 2002 г. мне прислал восторженное письмо по поводу нашего «Музея Гармонии и Золотого Сечения» известный российский математик Александр Александрович Зенкин. Когда я ознакомился с его исследованиями по проблеме бесконечного в математике, я понял, что именно он, возможно, поставит последнюю точку в споре с Кантором и в разрешении кризиса в современной математике.

С Александром Зенкиным я встречался только один раз – 29 мая 2003 г. на заседании двух научных семинаров в Московском университете, где я сделал презентацию своей книги «Новый тип элементарной математики и компьютерной науки, основанных на Золотом Сечении" (к сожалению, эта книга до сих пор не опубликована). Однако, эта книга стала основой для написания моей англоязычной книги “The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science” (World Scientific, 2009) [4].

2. Проблема бесконечности в математике

2.1. О потенциальной и актуальной бесконечности

Прежде всего, следует отметить, что в математике нет единого определения понятия «бесконечность», хотя оно, как утверждает знаменитый немецкий математик Герман Вейль (1885-1955), лежит в основе математики. В процессе развития математики сформировались следующие подходы к этому понятию: арифметическая и геометрическая, потенциальная и актуальная бесконечности. Рассмотрим эти понятия подробнее.

Последовательность натурального ряда чисел

1, 2, 3, …, (1)

представляет собой первый и самый важный пример бесконечного множества. Уже со времен Гегеля арифметическую бесконечность натурального ряда 1+1+1+ … в силу ее бесперспективности именуют «плохой» или «дурной» бесконечностью.

Геометрическая бесконечность состоит в неограниченном делении отрезка пополам. Паскаль писал по поводу геометрической бесконечности следующее: «Нет геометра, который бы не полагал, что пространство делимо до бесконечности. Без этого нельзя ему обойтись, как человеку нельзя быть без души. И тем не менее нет человека, который понимал бы бесконечную делимость …».

Кроме различия бесконечности натурального ряда и бесконечности геометрической, существует различие актуальной и потенциальной бесконечности. Для рассмотрения различий между этими понятиями вновь обратимся к натуральному ряду (1). Этот ряд можно рассматривать как «завершенный» ряд, заданный всеми своими членами одновременно. Такое представление о бесконечном называется актуальной бесконечностью.

Но натуральный ряд можно представить как ряд «развивающийся», «строящийся» по принципу N+1. Это означает, что каждое натуральное число может быть получено из предыдущего путем добавления к нему единицы. Такое представление о бесконечном называется потенциальной бесконечностью.

Следует сделать одно важное замечание: актуальная бесконечность и потенциальная бесконечность противоречат друг другу, то есть, в математической теории нельзя использовать оба понятия одновременно.

2.2. "Infinitum Actu Non Datur"

Как известно, математика превратилась в дедуктивную науку в Древней Греции. Уже в 6 в. до н.э. греческие философы разрабатывали проблему бесконечного и связанную с ней проблему непрерывного и дискретного. Большое внимание развитию этого понятия уделял Аристотель. Он был первым, кто категорически начал возражать против использования актуальной бесконечности в науке, ссылаясь на то, что, зная способы счета конечного числа объектов, нельзя эти способы распространять на бесконечные множества.

Вопрос о том, следует ли считать бесконечные множества актуально или потенциально бесконечными, имеет длинную историю. Аристотель в свой «Физике» утверждал:

«Остается альтернатива, согласно которой бесконечное имеет потенциальное существование... Актуально бесконечное не существует».

По мнению Аристотеля, актуальная бесконечность не нужна математике.

Аристотель (384-332 до н.э.)

Аристотелю принадлежит знаменитый тезис "Infinitum Actu Non Datur", что в переводе с латинского означает утверждение о невозможности существования логических или математических (т.е. всего лишь мыслимых, а не существующих в природе) актуально-бесконечных объектов.

Большое влияние на развитие понятия бесконечности сыграли знаменитые «Апории Зенона», указывающие на логические трудности, связанные с гипотезой о бесконечной делимости отрезков пути и времени.

Рассмотрим только одну из них, называемую «Дихотомией». В этой апории Зенон утверждает, что движение невозможно, ибо до того, как движущееся тело пройдет расстояние от точки А до точки В, оно должно пройти , в затем этого расстояния. Но поскольку последовательность таких отрезков бесконечна, то это значит, что точка В никогда не будет достигнута. Парадокс (апория), выдвигаемый как непреодолимый логический тупик, состоит в том, что сумма бесконечного множества слагаемых конечна.

2.3. Теория бесконечных множеств Кантора

Немецкому математику Георгу Кантору (1845-1918) суждено было стать «возмутителем спокойствия» в математике 19-го века. Главным достижением Кантора стало создание теории бесконечных множеств. И главная его идея состояла в решительном отказе от тезиса Аристотеля "Infinitum Actu Non Datur" и рассмотрении бесконечных множеств, как актуально бесконечных множеств. В основу исследования бесконечных множеств Кантор положил идею взаимно однозначного соответствия элементов сравниваемых множеств. Если между элементами двух множеств можно установить такое соответствие, то говорят, что множества имеют одну и ту же мощность, то есть они являются равномощными или эквивалентными. «В случае конечных множеств, - писал Кантор, - мощность совпадает с количеством элементов». Вот почему мощность называют также кардинальным (количественным) числом данного множества. Указанный подход привел Кантора ко многим парадоксальным открытиям, резко противоречащим нашей интуиции. Так, в отличие от конечных множеств, на которые распространяется евклидова аксиома «Целое больше части», бесконечные множества этой аксиоме не подчиняются. Легко, например, установить равномощность множества натуральных чисел и его части – множества четных чисел путем установления следующего взаимно однозначного соответствия:

Эта характерная черта любого бесконечного множества может быть положена в основу его определения: множество называется бесконечным, если оно равномощно с одним из своих подмножеств. Конечным же называется множество, не эквивалентное ни одному из своих подмножеств. Любое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным, так как его элементы можно занумеровать.

Еще более поразительным оказалось другое открытие, сделанное Кантором в 1873 г. Все три множества – натуральных чисел, рациональных чисел, алгебраических чисел – имеют одну и ту же мощность, иначе говоря, множество рациональных чисел и множество алгебраических чисел являются счетными множествами.

До Кантора считалось, что прямая содержит меньше точек, чем плоскость. Однако в 1886 г. он доказал, что в единичном квадрате не больше точек, чем в единичном отрезке. Таким образом, мощность двумерного континуума оказалась равной мощности континуума одного измерения.

Уже из изложенного можно сделать вывод, что в отличие от большинства своих предшественников Кантор первый предпринял прямое и широкое исследование самой математической бесконечности, получив совершенно новые, неожиданные результаты.

2.4. Критика и восхищение Канторовской теорией множеств

Канторовская теория бесконечных множеств вызвала бурю протестов уже в 19 в. Детальный анализ критики этой теории проведен в главе «Изгнание из рая: новый кризис в основаниях математики» замечательной книги американского историка математики Мориса Клайна «Математика. Утрата определенности» [5]. Многие известные математики 19 в. высказались резко отрицательно по поводу этой теории. Леонид Кронекер (1823-1891), испытывавшей личную неприязнь к Кантору, назвал его шарлатаном. Анри Пуанкаре (1854-1912) называл теорию множеств «тяжелой болезнью» и считал ее своего рода «математической патологией». В 1908 г. он заявил:

«Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились».

К сожалению, у теории Кантора были не только противники, но и сторонники. Рассел назвал Кантора одним из великих мыслителей 19 в. В 1910 г. Рассел написал:

«Решение проблем, издавна окутывавших тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век».

Рассела поддержал Гильберт:

«Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».

В 1926 г. Гильберт так отозвался о трудах Кантора:

«Мне представляется, что это самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления».

Непонятно только, как это согласуется еще с одним высказыванием Гильберта:

«В заключение мы хотим из всех наших рассуждений сделать некоторое резюме о бесконечном – общий вывод таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления, - здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением».

Кульминационным пунктом в признании Канторовской теории множеств можно считать конец 19-го века, когда математики приняли теорию множеств в качестве логической базы своей науки. Официальное провозглашение теоретико-множественных представлений фундаментом математики состоялось в 1897 г.: оно содержалось в речи Ж. Хадамара на 1-м Международном конгрессе математиков в Цюрихе. В лекции Хадамара подчеркивалось, что основная привлекательная причина теории множеств состоит в том, что впервые в истории математики была проведена классификация множеств на основе новоизобретенного понятия «мощности» и получены поразительные математические результаты, которые воодушевляли математиков на новые и удивительные открытия.

2.5. Противоречия в Канторовской теории множеств

Но не успели математики насладиться «математическим раем», предоставленным им Кантором своей теории бесконечных множеств, как спустя уже несколько лет после 1-го Международного конгресса математиков, в теории множеств были обнаружены парадоксы или антиномии (от греческих слов «анти» - против и «номос» - закон), которые стали основой очередного, третьего по счету (после открытия несоизмеримых отрезков и обоснования теории пределов) кризиса в основаниях математики, который не преодолен и до настоящего времени.

Один из этих парадоксов был обнаружен знаменитым английским философом Расселом. Сам Рассел демонстрирует обнаруженный им парадокс на примере «деревенского парикмахера», который дал обещание брить всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Спрашивается: должен ли он брить самого себя? Если он будет брить себя, значит, он тем самым включает себя в число тех, которые бреются сами, и тогда он не должен брить себя; если же он не будет брить себя, то он уже будет принадлежать к тем, которые сами себя не бреют, и значит, он должен брить себя. Получается логическое противоречие, недопустимое в математике!

Как упоминалось, возникновение антиномий в теории множеств породило новый, третий по счету глубокий кризис основ математики. Были предприняты различные попытки преодоления этого кризиса. Наиболее радикальным из них является конструктивное направление в математике. Представители конструктивного анализа увидели основную причину парадоксов Канторовской теории множеств в понятии «актуальной бесконечности». Наиболее жесткая критика в адрес этого понятия содержится в словах русского математика А.А. Маркова, одного из наиболее ярких представителей конструктивного анализа. Марков пишет:

«Мыслить себе бесконечный, т.е. никогда не завершаемый процесс как завершенный не удается без грубого насилия над разумом, отвергающим такие противоречивые фантазии».

3.Противоречие между аксиомами Евдокса-Архимеда и Кантора

3.1. Что такое аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора?

Как известно, одним из наиболее значительных математических открытий, сделанным в научной школе Пифагора, считается доказательство существования несоизмеримых отрезков. Пифагорейцы сделали это открытие, изучая отношение диагонали к стороне квадрата. Они обнаружили, что это отношение не может выражено в виде рационального числа и поэтому это отношение, то есть число √2, они назвали иррациональным числом. Это открытие явилось причиной глубокого кризиса в основаниях античной математики, так как оно ниспровергало главный принцип математической системы пифагорейцев - принцип соизмеримости величин, в соответствии с которым отношение любых геометрических отрезков всегда можно было выразить рациональным числом.

Потрясение умов, связанных с этим открытием, было настолько большим, что Пифагор, как гласит легенда, свершил "гекатомбу", то есть, принес в жертву богов 100 быков. Это открытие, безусловно, стоило таких расходов, поскольку оно, как свидетельствует "История математики в 3-х томах" (1970, том 1), "явилось поворотным пунктом в развитии математики. Оно разрушило раннюю систему пифагорейцев и привело к созданию новых, очень тонких и глубоких теорий. Значение этого открытия можно, пожалуй, сравнить только с открытием неевклидовой геометрии в 19 в. или теории относительности в начале 20-го века. Так же, как и эти теории, проблема несоизмеримости получила громкую известность среди широких кругов образованных людей. Платон и Аристотель неоднократно обсуждали вопросы, связанные с несоизмеримостью".

Для преодоления кризиса в основаниях античной математики выдающийся геометр Евдокс предложил "метод исчерпывания", с помощью которого он построил остроумную теорию отношений, лежащую в основе античной теории континуума. "Метод исчерпывания" сыграл выдающуюся роль в развитии математики. Будучи прообразом интегрального исчисления, "метод исчерпывания" позволял античным математикам решать задачи вычисления объема пирамиды, конуса, шара.

В современной математике метод исчерпывания находит свое отражение в аксиоме Евдокса-Архимеда, называемой также аксиомой измерения. Эта аксиома гласит, что каковы бы не были отрезки А и В, такие, что A>B, всегда найдется такое натуральное число n, чтобы было: nB>A.

Но одной аксиомы измерения недостаточно для строгого обоснования математической теории измерения. Поэтому в 19 в. Георг Кантор и Рихард Дедекинд также подключились к решению этой фундаментальной проблемы. В 1872 г. Георг Кантор (1845-1918) для строгого обоснования понятия действительного числа в рамках созданной им теории бесконечных множеств ввел аксиому о "стягивающихся" отрезках, которая гласит, что если построить бесконечную совокупность "вложенных друг в друга отрезков", каждый из которых меньше предыдущего, то существует, по крайней мере, одна точка, общая всем "стягивающимся" отрезкам.

Аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора, называемые также аксиомами непрерывности, относятся к разряду важнейших геометрических аксиом и составляют методологический базис математической теории измерения, являющейся одним из кирпичей в основании математики.

Центральным результатом математической теории измерения, основанной на указанных выше аксиомах, является доказательство существования и единственности решения q основного уравнения измерения:

Q = qV, (2)

где V - единица измерения, Q - измеряемая величина, q - измеряющее ее число.

Несмотря на кажущуюся простоту сформулированных выше аксиом и всей математической теории измерения, она тем не менее является продуктом более чем двухтысячелетнего периода в развитии математики и содержит в себе ряд глубоких математических идей и понятий.

Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что "метод исчерпывания" и вытекающая из него аксиома измерения имеют практическое (эмпирическое) происхождение; они были позаимствованы древнегреческими математиками в практике измерений. В частности, "метод исчерпывания" является математической моделью процессов измерения объемов жидкостей и сыпучих тел путем "исчерпывания"; аксиома измерения, в свою очередь, концентрирует тысячелетний опыт человека, задолго до возникновения аксиоматического метода в математике миллиарды раз измерявшего расстояния, площади и временные интервалы, и представляет собой сжатую формулировку алгоритма измерения отрезка А с помощью отрезка В. Суть этого алгоритма состоит в последовательном откладывании отрезка В на отрезке А и подсчете числа отрезков В, укладывающихся на отрезке А. В современной практике измерений такой метод измерения называется алгоритмом счета.

Алгоритм счета играет фундаментальную роль в определении самого понятия натурального числа, которое в математике иногда называют "Евклидовым определением":

N = 1 + 1 + … + 1 (N раз) (3)

Этот же алгоритм лежит в основе таких важных математических понятий как "сложение", "умножение", "деление" и т.д.

Аксиома Кантора содержит в себе еще одно удивительное достижение математической мысли - абстракцию актуальной бесконечности. В этой аксиоме множество всех «стягивающихся отрезков» вместе с объединяющей их точкой является «актуально бесконечным» множеством.

3.2. Противоречие между аксиомами Евдокса-Архимеда и Кантора

Изучая аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора с точки зрения «актуальной» и «потенциальной» бесконечности, я обнаружил противоречие между ними. Ход моих рассуждений сводился к следующему. Анализ этих аксиом показывает, что аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора основаны на различных представлениях о бесконечном: аксиома Евдокса-Архимеда основана на использовании понятия «потенциальной» бесконечности, в то время как аксиома Кантора – на использовании понятия «актуальной» бесконечности, то есть, между этими аксиомами, лежащими в основе теории действительных чисел, существует противоречие «актуальной» и «потенциальной» бесконечностей, что недопустимо в математической теории. Более того. Мне показалось, что, вводя свою аксиому, Кантор "слукавил". Действительно, в своей аксиоме он обращается к интуитивно ясному понятию "стягивающихся" отрезков, которое, в свою очередь, основывается на интуитивно ясном утверждении: "часть меньше целого" (каждый "стягивающийся" отрезок меньше предыдущего). Затем, с использованием своей аксиомы Кантор строит свою теорию бесконечных множеств, в которой он доказывает противоположное, то есть "часть равномощна к целому", что находится в противоречии с допущением о "стягивающихся" отрезков. Но если в основаниях теории действительных чисел (математическая теория измерения) заложены аксиомы, противоречащие друг другу, то и сама теория действительных чисел является противоречивой, что и является одной из причин современного кризиса в основаниях математики.

3.3. Переписка с А.Н. Колмогоровым

Я поделился своими рассуждениями с профессором Чефрановым, и он не нашел в них какого-либо изъяна. Он также посоветовал мне обратиться с этими идеями к одному из математических светил советской науки. И я написал об этом академику А.Н. Колмогорову. Колмогоров в своем ответе попытался опровергнуть мои рассуждения. Поскольку его ответ меня не удовлетворил, я попытался в одну из моих очередных поездок в Москву встретиться с академиком Колмогоровым. К сожалению, выдающийся математик встретил меня не очень приветливо, то есть, серьезного разговора не получилось. Через несколько дней я понял, что причина этого была не во мне, а в той политической ситуации, в которой в тот момент находился Колмогоров. Именно в тот период был пик борьбы КПСС с «диссидентом» Андреем Сахаровым. ЦК КПСС вынуждало академиков подписать «осуждающее» письмо против академика Сахарова (и такое письмо, где была и подпись Колмогорова) было опубликовано. Однако попытка лишить Сахарова ученого звания академика (что решалось путем тайного голосования) не удалась: академики восстали против ЦК КПСС.

4. Исследования Александра Зенкина

Суть подхода Александра Зенкина, изложенного в ряде приоритетных публикаций, состоит в том, что он впервые четко сформулировал почти очевидный факт: концепция потенциальной бесконечности (ПБ) в Аристотелевой форме «все бесконечности суть потенциальны» и концепция актуальной бесконечности (АБ) в Канторовской форме «все бесконечные множества суть актуальны» являются АКСИОМАМИ, т.е. их нельзя ни доказать, ни опровергнуть, а только либо принять, либо отвергнуть. Именно поэтому все дискуссии о «существовании»/«не-существовании» АБ, ведущиеся со времен Аристотеля, никого ни в чем не убеждают. Здесь уместно провести некоторую аналогию с историей 5-го постулата Евклида о параллельных. Но есть и существенная разница: непротиворечивость не-евклидовых геометрий доказана, а непротиворечивость канторовской теории множеств, основанной на АКСИОМЕ АБ, - не доказана.

Проведя тщательный анализ Теоремы Кантора о несчетности континуума, в которой содержится «логическое» обоснование для правомерности использования АБ в математике, А. Зенкин приходит к следующему заключению:

1. Доказательство Кантора не является математическим доказательством в смысле Д.Гильберта и в смысле классической математики.

2. Вывод Кантора о несчетности множества Х "перепрыгивает" через потенциально бесконечный этап, т.е. рассуждение Кантора содержит фатальную логическую ошибку "недоказанного основания" ("jump to a <wishful> conclusion").

3. "Доказательство" Кантора, в действительности, доказывает, причем строго математически, именно потенциальный, т.е. принципиально незавершаемый, характер бесконечности множества Х "всех" действительных чисел, т.е. строго математически доказывает фундаментальный принцип классической логики и классической математики: "Infinitum Actu Non Datur" (Аристотель).

А дальше предоставим слово автору этого неординарного заключения:

«Ради исторической справедливости уместно добавить, что знаменитый Тезис Аристотеля "Infinitum Actu Non Datur", т.е. утверждение о невозможности существования (т.е. о внутренней противоречивости понятия) логических или математических (т.е. всего лишь мыслимых, а не существующих в природе) актуально-бесконечных объектов, - на протяжении последних 2300 лет, - разделяли и активно поддерживали такие великие единомышленники Аристотеля, как Лейбниц, Коши, Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Брауэр, Вейль, Лузин и многие другие выдающиеся создатели классической логики и современной классической математики в целом!

Каждый из них профессионально занимался исследованием проблемы математической бесконечности, и можно не сомневаться, что они понимали истинную природу Бесконечного отнюдь не хуже Г. Кантора. Особенно, если учесть тот принципиальной важности факт, что Бесконечность как таковая не зависит от прогресса и "технологической" оснащенности науки, поскольку никогда не была и никогда не станет объектом инструментального исследования - даже все мыслимые компьютеры, вместе взятые, никогда, по определению, не смогут завершить пересчет всех элементов натурального ряда чисел 1,2,3, … Именно поэтому все дискуссии о возможности или невозможности актуальной Бесконечности на протяжении двух тысячелетий и вплоть до Кантора носили чисто спекулятивный характер, не зависевший от очевидного (во всех других отношениях) прогресса науки. Только доказанная противоречивость следствий, вытекающих из понятия актуальной Бесконечности, могла стать "последним аргументом" против использования этого понятия в любой науке. Но для этого дискуссия об актуальной бесконечности должна была выйти за рамки спекулятивных рассуждений, основанных на чисто субъективных предпочтениях, в область аргументации, доступной для строгого логического анализа.

И в этом смысле, несомненная заслуга Г. Кантора состоит в том, что он первый от иногда более, иногда менее обоснованных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее явному операциональному употреблению в рамках классической логики и классической математики, и тем самым впервые сделал результаты такого "математического" (см. выше) употребления понятия актуальной бесконечности доступными для стандартных методов логического и математического анализа. Именно такой анализ логических аспектов канторовского доказательства Теоремы о несчетности, - более, чем краеугольного камня всего канторовского "учения о трансфинитном", - выполненный выше, показывает, что основное допущение канторовского доказательства об актуальном характере бесконечности пересчета … ведет к нефинитному противоречию …, которое не имеет никакого отношения к методу Reduction ad Absurdum, а сама Теорема Кантора о несчетности является просто неверной с точки зрения классической логики (Аристотеля).

Почему такой анализ Теоремы Кантора не был выполнен своевременно, т.е. еще в конце 19-го века? - Это очень нетривиальная тема для фундаментального исследования в области психологии научного познания».

Заключение

Таким образом, создается впечатление, что более чем 2,5-тысячелетняя история исследования понятия бесконечности, как одного из фундаментального понятий математики, близится к своему завершению. Антиномии канторовской теории множеств, вызвавшие современный кризис в основании математики, показали, что понятие актуальной бесконечности не может быть надежной основой для построения математики, так как это понятие, с точки зрения представителей конструктивного анализа, является внутренне противоречивым. С другой стороны, исследования современного русского математика Александра Зенкина свидетельствуют о наличии логических ошибок в доказательствах Георга Кантора, и это обстоятельство дает основание усомниться в истинности самой теории бесконечных множеств Кантора.

Таким образом, единственной прочной основой для построения математики остается введенное еще в греческой математике понятие потенциальной бесконечности; при этом тезис Аристотеля "Infinitum Actu Non Datur" и должен стать основным тезисом для построения математики, лишенной противоречий!

В свете изложенного можно сделать еще несколько парадоксальных выводов, касающихся понятия «актуальной бесконечности» и «Канторовской теории множеств»:

1. Понятие «актуальной бесконечности» противоречит тезису Аристотеля "Infinitum Actu Non Datur". Но тогда, с точки зрения Аристотеля, это понятие является ЛЖЕНАУЧНЫМ ПОНЯТИЕМ, поскольку «актуально бесконечное не существует» (Аристотель). В этой связи уместно вспомнить еще раз А.А. Маркова: «Мыслить себе бесконечный, т.е. никогда не завершаемый процесс как завершенный не удается без грубого насилия над разумом, отвергающим такие противоречивые фантазии».

2. Но тогда из пункта 1 вытекает еще одно парадоксальное утверждение: КАНТОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ЯВЛЯЕТСЯ «ЛЖЕНАУЧНОЙ ТЕОРИЕЙ», ИЛИ, ПО СЛОВАМ ПУАНКАРЕ, «ТЯЖЕЛОЙ БОЛЕЗНЬЮ» И «МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПАТОЛОГИЕЙ»

3. Поскольку «Канторовская теория множеств» провозглашена «фундаментом математики» в речи Хадамара на 1-м Международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), то из п.1 и 2 вытекает следующий вопрос:

«НЕ СТОИТ ЛИ СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА НА «ЛЖЕНАУЧНОМ» ФУНДАМЕНТЕ?»

Литература

1. Денис Клещев, Лженаука: болезнь, которую некому лечить // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17012, 22.11.2011
2. Стахов А.П. Что такое теория измерения? – В кн. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи, вып.1. Изд-во Таганрогского радиотехнического института, 1974.
3. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское Радио, 1977 г.
4. Stakhov A.P. The Mathematics of Harmonhy. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. New Jersey. London. Singapore. Hong Kong: World Scientific, 2009.
5. Морис Клайн. Математика. Утрата определенности (пер. с английского). Москва, Мир, 1984