От редакции.

Соавторы предлагаемой статьи решили концентрированно свести воедино некоторые ключевые результаты своих публикаций на тему математики гармонии (МГ) и её логико-методологических проблем.

Многочисленные публикации А. П. Стахова как одного из основоположников и результативного разработчика МГ нет необходимости представлять. Публикации С. К. Абачиева немногочисленны: [1], [2], [3], [4]. Две первых привели к канонической форме знания об организации треугольника Паскаля на наиболее глубоком структурном уровне – на уровне организации простых субэлементов-делителей его чисел-элементов. В двух последних осуществлён современный историко-научный и логико-методологический анализ МГ.

Сведение воедино результатов этих авторов, по идее, должно дать статью, особо стимулирующую начало эвристически-поисковой разработки существенно фрактальной, качественно более глубокой и эффективной версии МГ – МГ-2.

Параграфы 1 и 9–11 написаны С. К. Абачиевым, параграфы 2–8 написаны А. П. Стаховым, параграф 12 написан А. П. Стаховым и С. К. Абачиевым.

СОДЕРЖАНИЕ

§ 1. Фрактальная революция началась в геометрии, но стремительно перерастает в общематематическую и общенаучную.

§ 2. Треугольник Паскаля – один из стратегических объектов математики

§ 3. Диагональные суммы треугольника Паскаля и р-числа Фибоначчи

§ 4. «Фибоначчиевы» алгоритмы измерения и р-коды Фибоначчи

§ 5. Золотые р-сечения

§ 6. Система счисления Бергмана и коды золотой пропорции

§ 7. Биномиальные системы счисления

§ 8. Числовые фрактальные субструктуры треугольника Паскаля.

§ 9. Аналитический расчёт многоцветной гармонии треугольника Паскаля. Стимулирующий парадокс его числовых фракталов

§ 10. Треугольник Паскаля как многоуровнево-иерархичная числовая система.

       10.1. Об эмпирико-аналитическом и теоретико-синтетическом уровнях научных знаний

       10.2. Треугольник Паскаля как несколько существенно разных теоретических описаний

       10.3. Общесистемная подчинённость низшего высшему

§ 11. О научно-методологическом принципе соответствия.

§ 12. Заключение

§ 1. Фрактальная революция началась в геометрии, но стремительно перерастает в общематематическую и общенаучную

В последние десятилетия стали довольно популярными сетования философствующих учёных на затяжную неспособность теоретической физики породить нечто подобное релятивистской и квантовой революции первой трети ХХ в. В частности, завершить формирование Единой теории элементарных частиц и полей. Но, во-первых, сама эта проблема проблем неклассической физики неизмеримо сложнее тех проблем, которые стояли перед физикой в героическую эпоху создания квантовой механики, частной и общей теорий относительности. Во-вторых, вся история теоретической физики XVII–XX вв. свидетельствует о том, что великим переворотам в теоретической физике предшествуют великие перевороты в математике. Сначала были аналитическая геометрия Декарта и его понятие функциональной зависимости в координированном пространстве, а уж на этой основе – исчисление бесконечно малых в версии Ньютона и Лейбница как язык классической динамики. Сначала была теория комплексной плоскости как органичный синтез планарной тригонометрии и элементарной алгебры, а уж на этой основе – многообразие физических теорий сложных колебательных и волновых процессов. Сначала были неевклидовы геометрии XIХ в. и тензорный анализ как их аналитический аппарат, а уж на этой основе – геометродинамика Эйнштейна и современная эволюционная космология. Следует особо подчеркнуть, что это были перевороты в геометрических первоосновах математики.

Наконец, в третьих, хотя наука второй половины ХХ в. и не принесла эпохальных открытий масштаба релятивистской и квантовой революций, она принесла новый и радикальнейший переворот именно в геометрической первооснове математики – фрактальную революцию Б. Мандельброта (1924–2010). Ей неполные 40 лет от роду, но уже сейчас понятно, что эта неевклидова геометрия является несравненно более радикальной, нежели неевклидовы геометрии XIХ в. Наука коренным образом математически перевооружается, начиная с геометрических первооснов математики. И это – верный предвестник исторически беспрецедентных переворотов в теоретическом естествознании, в прикладных науках, в технологической практике человечества.

Можно уверенно предположить, что величайшая фрактальная революция в геометрии рано или поздно будет востребована в области синтетического слияния Единой теории элементарных частиц с квантовой космологией. В отличие от 50–60-х гг. ХХ в., теперь понятно, что будущая Единая теория элементарных частиц должна быть, прежде всего, квантово-релятивистской теорией гравитации, а релятивистская теория гравитации даже в своей макроскопической версии – это геометродинамика. Её эффективное микроскопическое обоснование не может остаться в стороне от новейшей неевклидовой революции в геометрии. Но это – дело неопределённого будущего, непредсказуемое в своём конкретном облике. Это так хотя бы уже потому, что на пути к превращению в микроскопическую геометродинамику фрактальная геометрия должна будет органично «офизичиться» по подобию былых «физикализаций» геометрии Евклида в специальной теории относительности и неевклидовой геометрии Римана – в эйнштейновской геометродинамике. А это потребует, скорее всего, уже целой плеяды гениев эйнштейновского ранга. Но и первых успехов фрактальной революции, резюмированных на рубеже 80–90-х гг. ХХ в. всемирно знаменитой книгой [5], достаточно для того, чтобы оценить всю историческую беспрецедентность фрактальной версии неевклидовой геометрии. Отметим лишь небольшую часть её признаков.

1. Способность фрактальной геометрии строго математически просто и эффективно описывать «негладкие» объекты, которые традиционно считались нематематическими в самой математике и не поддающимися математическому описанию в теоретическом естествознании. Например, горные массивы, облака, сеть кровеносных сосудов и нервных волокон, деревья с их окружением в лесу и т. п. Иначе говоря, фрактальная геометрия – это «полнокровная» геометрия, адекватная всему многообразию геометрических форм в неживой и в живой природе. (Что касается искусственной предметной среды, то она пока в большом и в малом базируется на канонах Евклидовой геометрии.)
2. Начало качественного преобразования теории вероятностей – её органичная фрактальная геометризация.
3. Превращение Б. Мандельбротом «элементарной» математики в экспериментальную науку с компьютером в классической роли научного прибора. Имеется в виду методология его исследований квадратичных итерационных преобразований на комплексной плоскости (фрактальных множеств Жюлиа), увенчавшихся открытием потрясающего фрактального множества Мандельброта. Широко понимаемую арифметику до этих открытий можно уподобить биологии до изобретения микроскопа. Сами эти открытия внесли в арифметику синергетические концепции обратной связи и нелинейности, устойчивости и перехода к динамическому хаосу, который может описываться только вероятностно.
4. Выявление полной идентичности хаотизации нелинейных процессов по сценарию Ферхюльста–Фейгенбаума как в итерационных процессах вычислительной математики, так и в многообразии физических, химических, биологических и даже экономических процессов. Иначе говоря, вычислительная математика, роль которой веками считалась сугубо вспомогательной, стала первооткрывательницей законов нелинейной динамики поистине вселенской общности.

И это – только самые первые плоды радикальнейшего обновления геометрической первоосновы математики, которые уже пожинаются далеко за пределами геометрии! Ничего даже отдалённо подобного не принесли неевклидовы геометрии XIХ в. Решённые ими основные проблемы были сугубо геометрическими и несравненно более ограниченными – естественные обобщения Евклидовой геометрии на случаи искривлённых пространств.

Как это часто бывает в науке, исторически новейшая геометрическая фрактальная парадигма «раскрыла глаза» исследователям на фракталоподобную и сугубо фрактальную структуру объектов в таких областях математики, которые не являются геометрией. Это – теория чисел как широко понимаемая арифметика и перечислительная комбинаторика, известная с XVII в. Всё это уникально сведено воедино в арифметическом треугольнике Паскаля.

У фрактальных субструктур треугольника Паскаля существенные отличия от геометрических фракталов. Во-первых, эти фракталы в первую очередь числовые, а уж потом – планарные геометрические. Во-вторых, если существенной отличительной особенностью геометрических фракталов считается их задаваемость только алгоритмом геометрического построения, то числовые фракталы треугольника Паскаля задаются моим рекуррентным формализмом их аналитического расчёта. В-третьих, если геометрические фракталы типа ковра Серпинского теоретически самоподобно дробятся до бесконечно малых элементов и дают «законченный» фрактал в асимптотическом пределе, то числовые фракталы треугольника Паскаля имеют чёткие пределы самоподобной делимости на элементы.

Математика гармонии (МГ) с её приложениями к особо эффективному и надёжному кодированию информации порождена «золотыми» числовыми последовательностями, которые генерируются диагональными суммами треугольника Паскаля. Последнее в полной мере было выявлено Д. Пойя [15], В. Хоггатом [16], А. П. Стаховым [17] и другими математиками. Но это – только один уровень МГ – МГ-1 [9], [13,[14].

У треугольника Паскаля как планарной системы натуральных чисел есть наиболее глубокий структурный уровень – уровень организации простых субэлементов-делителей его элементов-чисел. На этом уровне явным образом безраздельно господствует их фрактальная организация по типу треугольного аналога ковра Серпинского, но существенно более сложная, интересная и эстетичная. Это в 80-х гг. было выявлено мной. Своей цветографической символикой я привёл разрозненные знания о «недрах» треугольника Паскаля к канонической форме, реализовал системный, целостный подход к его фрактальным субструктурам. Числовая природа этих субструктур и мной же открытая их аналитическая рассчитываемость позволяют с полной методологической уверенностью предположить, что на этом глубочайшем структурном уровне треугольника Паскаля МГ-1, генерируемая его диагональными суммами, имеет наиболее глубокие основания. Последние пока не изучены даже в духе стартовых исследований. В статье [4] я предложил назвать их МГ-2 и показал, что МГ-1 в ключе научно-методологического принципа соответствия позволяет сделать эти эвристически-поисковые исследования достаточно концептуально осмысленными и целенаправленными.

В свою очередь, данная статья эту программу формирования МГ-2 в тесной преемственной связи с МГ-1 и на её основе представляет развёрнуто. Она концентрированно даёт ключевую конкретную информацию для осуществления стартовых исследований в этом направлении и для их дальнейшего развития.

Уже первые успехи фрактальной компьютерной графики показали, что фрактальное кодирование информации на много порядков более экономное и эффективное [6]. Есть все основания полагать, что будущая МГ-2 в полной мере сможет воплотиться в существенно фрактальной арифметической первооснове информационных супертехнологий, под которые современная квантовая теория вещества и нанофизика готовят посттранзисторную элементную базу и аппаратную основу.

Но на данном этапе важны стартовые исследования фундаментальных аспектов МГ-2, таящейся в недрах треугольника Паскаля, безотносительно к потенциально возможным приложениям к информационным технологиям обозримого будущего. Впрочем, может получиться и так, что соответствующий прикладной аспект МГ-2 будет выявлен уже в ходе первых таких исследований. Всё это могут показать только реальные исследования в данном направлении, которые следует начинать и разворачивать в любом случае.

формате PDF (7752Кб)