От Редакции АТ

Этой публикацией сегодня заканчивается первая в истории международная online конференция по золотому сечению и его приложениям в науке, технике и искусстве, посвященная 70-летию Директора Института Золотого Сечения Академии Тринитаризма Алексея Петровича Стахова.

За время конференции было опубликовано более 50 научных работ, полемических статей и реплик. Были высказаны интересные конструктивные предложения по организации совместных усилий по созданию энциклопедии по золотой пропорции, которая могла бы стать саморазвивающимся рабочим инструментом для исследователей.

Мы опубликовали все присланные работы, лишь иногда редактируя их, чтобы дискуссия не сводилась к личным взаимоотношениям.

В целом, по нашему мнению, конференция, для первого раза, прошла более чем успешно.

Но мы считаем, что было уделено мало внимания связи целого, его развития и золотой пропорции. Мало работ по динамическим свойствам, а золотая пропорция – это застывшее движение. Мы надеемся, что в будущем будет изучена структура природных макроскопических флуктуаций с точки зрения золотой пропорции, освоены многомерные пространства и их взаимосвязь. Разработки в области топологии пространства могут дать новые и неожиданные результаты.

Мы всячески будем способствовать проведению второй online конференция по золотому сечению с четкой внутренней структурой. Мы предлагаем уже сейчас приступить к ее подготовке, определению направлений, будущих участников и сроков проведения.

В заключении, мы хотели бы еще раз поздравить Алексея Петровича Стахова с его юбилеем. Пожелать ему здоровья и творческого духа на долгие годы.

1. Введение

Во второй половине 20-го века в современной науке и математике начало активно развиваться научное направление, которое получило название «Теория чисел Фибоначчи» [1, 2]. На самом деле, предметом этой теории в широком смысле являются два математических объекта, тесно связанные друг с другом: «Золотое Сечение», восходящее к античному периоду, и числа Фибоначчи, открытые в 13-м веке. Хотя большинство специалистов сходятся во мнении, что и Пифагор и Платон знали о «Золотом Сечении», но, поскольку Пифагор не оставил никаких письменных свидетельств, а в трудах Платона в явном виде упоминание о «Золотом Сечении» отсутствует, то это всегда давало повод для всяких спекулятивных заявлений. Однако существует математический источник, в котором впервые дается строгая формулировка «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (так в старину называлось «Золотое Сечение»). Речь идет о «Началах» Евклида. Поэтому мы имеем полное право начать математическую историю «теории чисел Фибоначчи» (включая «Золотое Сечение»), с «Начал» Евклида, в которых задача о золотом сечении описана в Книге II (Теорема II.11).

Если рассматривать «теорию чисел Фибоначчи» в широком смысле, то мы можем указать на первый, весьма длительный период в развитии этой теории, начиная от Евклида и до 20-го века. В создании этой теории принимали участие выдающиеся математики и ученые Евклид, Фибоначчи, Пачоли, Кеплер, Кассини, Люка, Бине, Гика, Воробьев, Хогатт, Вайда, Дунлап и другие. Этот период в развитии «теории чисел Фибоначчи» уместно назвать «классическим периодом». В этот период все внимание исследователей направлено на исследование свойств «Золотого Сечения» и «чисел Фибоначчи» и установление взаимосвязи между ними. Во второй половине 20-го века возникает повышенный интерес к «теории чисел Фибоначчи» в математике. Хотя в этот период первым, кто привлек внимание научной общественности к этой проблеме, был советский математик Николай Воробьев [1], однако инициативу перехватили американские математики. Для изучения свойств «Золотого Сечения» и «чисел Фибоначчи» в 1963 г. в США была организована Фибоначчи-Ассоциация и в этом же году был учрежден ежеквартальный математический журнал «The Fibonacci Quarterly”. В 1966 г. создатель Фибоначчи-ассоциации американский математик Вернер Хогатт опубликовал книгу [2], которая подытожила определенный этап в развитии этой области. Следует отметить, что к концу 80-х годов интенсивность исследований в области классического «Золотого Сечения» и классических чисел Фибоначчи уменьшается. В этом нет ничего удивительного: ведь нельзя до бесконечности открывать новые и новые свойства чисел Фибоначчи и золотого сечения. Об этом также можно судить по самому журналу «The Fibonacci Quarterly”, в котором число статей, посвященных проблематике чисел Фибоначчи, уменьшается, сам журнал начинает все больше походить на обычный журнал по комбинаторной математике, а само название «The Fibonacci Quarterly” сохраняется в основном как «брэнд». По моему мнению, две прекрасные книги - книга английского математика профессора Вайды (Vaida) [3], опубликованная в 1989 г., и книга американского математика Дунлапа (Dunlap) [4], опубликованная в 1997 г., поставили «жирную точку» в развитии «классической теории чисел Фибоначчи». Она себя исчерпала, хотя поиски приложений чисел Фибоначчи и золотого сечения в естествознании и других науках будут продолжаться.

Однако, параллельно с «классическим направлением», начиная с 60-х годов 20-го века, в Советском Союзе начинает развиваться «новая, славянская волна» в развитии этой теории, связанная, прежде всего, с работами Витенько, Стахова, Ткаченко, Сороко, Боднара и других [5-9].

В 1963 г., то есть, в тот же год, когда была создана Фибоначчи-Ассоциации, я поступил в аспирантуру при кафедре технической кибернетики Харьковского института радиоэлектроники. Одна из задач, которая была поставлена передо мною в кандидатской диссертации, был поиск оптимальных, то есть, наилучших в определенном смысле алгоритмов аналого-цифрового преобразования. К решению этой задачи подключился талантливый математик Игорь Витенько, который в тот период работал в Харьковском институте радиоэлектроники. Совместно с Витенько и была создана оригинальная «теория оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования» [5]. Именно при разработке этой теории была обнаружена неожиданная связь этой теории с числами Фибоначчи и были введены новые числовые последовательности, названные р-числами Фибоначчи.

В 1970 г. Игорь Витенько уехал в Ужгород, где начал работать доцентом Ужгородского университета, а я в 1971 г. уехал в Таганрог, где возглавил кафедру информационно-измерительной техники Таганрогского радиотехнического института. C Игорем Витенько мы переписывались, и я много рассказывал ему в письмах о моих планах по развитию этого научного направления, в частности, о задумке написать книгу по алгоритмической теории измерения. В 1972 г. я защитил докторскую диссертацию на тему «Синтез оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования» [6]. В 1974 г. случилась непоправимое: Игорь Витенько трагически погиб (покончил жизнь самоубийством). С этого момента все проблемы, связанные с разработкой новой теории измерения, названной алгоритмической теорией измерения, легли на мои плечи. Основы этой теории были изложены в моей первой книге «Введение в алгоритмическую теорию измерения» [7], опубликованной в 1977 г. Я с огромным энтузиазмом работал над своей первой книгой, перелопатив большое количество литературы не только по числам Фибоначчи, но, прежде всего, по теории измерения. Книга посвящена светлой памяти Игоря Витенько. В предисловии к книге я написал: «Замысел и план книги на начальном этапе ее создания обсуждался с канд. физ-мат. наук Игорем Владимировичем Витенько, трагическая гибель которого в сентябре 1974 г. оборвала это плодотворное сотрудничество».

Наверное, самым главным результатом алгоритмической теории измерения явилось открытие р-кодов Фибоначчи – новых способов позиционного представления чисел. На их основе была разработана арифметика Фибоначчи, которая стала основой для компьютеров Фибоначчи – нового направления в компьютерной технике. К этим результатам я пришел в Таганроге в начале 70-х годов.

В дальнейшем идеи книги [7] были развиты в моей следующей книге «Коды золотой пропорции» [8], опубликованной в 1984 г. В этой книге были разработаны новые способы позиционного представления чисел и новая «золотая» компьютерная арифметика. В книге было сделано ряд неожиданных находок. В частности, знаменитые формулы Бине для чисел Фибоначчи и Люка были представлены в виде, который четко указывал на их связь с гиперболическими функциями. Размышляя над аналогией между формулами Бине и гиперболическими функциями, вместе с винницким ученым Иваном Ткаченко мы пришли к новому классу гиперболических функций – гиперболическим функциям Фибоначчи и Люка. Первая статья на эту тему была опубликована в 1989 г. в виде препринта. Однако полноценная статья на эту тему, которая стала достоянием всего мирового научного сообщества, по рекомендации академика Ю.А. Митропольского была опубликована в журнале «Доклады Академии наук Украины» в 1993 г. [9]. Сразу после публикации этой статьи, понимая ее важность для развития «теории чисел Фибоначчи», польский математик-фибоначчист Трашка совершил некрасивый поступок – он просто «передрал» все результаты статьи [9] и опубликовал статью по гиперболическим функциям Фибоначчи в «The Fibonacci Quarterly” под своим именем без ссылок на нашу статью с Ткаченко [9]. Но статья Трашка все же была опубликована 3 года спустя нашей статьи [9]. Поэтому приоритет в открытии гиперболических функций Фибоначчи и Люка, вытекающих из формул Бине, принадлежит Стахову и Ткаченко. В эти же годы независимо от нас с Ткаченко к подобному же результату пришел львовский архитектор Олег Боднар [10, 11] при создании оригинальной геометрической теории филлотаксиса. Он при этом не использовал формулы Бине (что очень важно для теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка), а просто, следуя своей великолепной интуиции, просто заменил в классических гиперболических функциях основание е на основание (золотую пропорцию).

В 1984 г. была опубликована книга белорусского философа Эдуарда Сороко «Структурная гармония систем» [9], вызвавшая огромный научный интерес. В этой книге был сформулирован закон структурной гармонии систем, основанный на золотых р-пропорциях.

Возвращаясь к «теории чисел Фибоначчи», я выскажу одну неожиданную мысль. По моему глубокому убеждению, с работ Боднара, Витенько, Сороко и Стахова и Ткаченко [5-12] начинается новый этап в развитии «теории чисел Фибоначчи», который можно назвать «современным периодом». Основные особенности этого периода состоят в следующем:

1. Повышенный интерес к обобщенным числам Фибоначчи и обобщенным золотым пропорциям, которые становятся в центре новой «теории чисел Фибоначчи».

2. Введение нового класса гиперболических функций – гиперболических функций Фибоначчи и Люка, которые перевели «теорию чисел Фибоначчи» на новый (непрерывный) уровень.

3. Четкая направленность новой «теории чисел Фибоначчи» на прикладные задачи, в частности, информатику, ботаническое явление филлотаксиса и другие проблемы естествознания.

4. «Современный период» характеризуется явным преобладанием славянских ученых в этой области (Россия, Украина, Белоруссия), то есть славянская наука перехватывает инициативу в развитии «теории чисел Фибоначчи» у западной науки. Эта инициатива была закреплена проведением нескольких международных семинаров «Золотая Пропорция и Проблемы Гармонии Систем», которые успешно прошли в Киеве (1992, 1993), а затем в Ставрополе (1993-1996). На этих семинарах была создана так называемая Славянская «Золотая» Группа, к которой и перемещается центр научных исследований в этой области.

Таким образом, в развитии «теории чисел Фибоначчи» четко прослеживается два периода:

1. «Классический период», который начинается в «Началах» Евклида и завершается в конце 20-го столетия публикацией книг [3, 4]. Этот период характеризуется концентрацией усилий на развитии теории «классического золотого сечения» и «классических чисел Фибоначчи»

2. «Современный период», начало которого условно можно приурочить к 1992 г., когда в Киеве был проведен первый Международный семинар «Золотая Пропорция и Проблемы Гармонии Систем», на котором была организована «Славянская «Золотая» Группа», объединившая всех славянских «золотоискателей» (последующие семинары были проведены в Киеве, 1993 г. и затем в Ставрополе, 1994-1996 гг.). Этот период характеризуется перемещением фокуса исследований на обобщенные числа Фибоначчи и обобщенные золотые сечения», на гиперболические функции Фибоначчи и Люка, и поиски их приложений в информатике, ботанике и других науках.

Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы в сжатой форме изложить все научные достижения «классического» и «современного» периодов в развитии «теории чисел Фибоначчи».

формате PDF (372Кб)