Предисловие

1. Математика на этапе своего зарождения

2. «Начала» Евклида

3. Гипотеза Прокла

      3.1. Прокл Диадох

      3.2. Космология Платона

      3.3. Числовые характеристики Платоновых тел

      3.4. Анализ гипотезы Прокла в исторической литературе

      3.5. «Космическая чаша» Кеплера как воплощение идей Платона и Евклида

4. Теория Золотого Сечения: от Евклида и Фибоначчи до Фибоначчи-Ассоциации и Института Золотого Сечения

      4.1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      4.2. Как Евклид создавал геометрическую теорию Платоновых тел

      4.3. Уникальные математические свойства «Золотой Пропорции»

      4.4. «Божественная пропорция» Луки Пачоли и роль Леонардо да Винчи в ее подготовке

      4.5. Золотое Сечение в додекаэдре и икосаэдре

      4.6. Числа Фибоначчи и Люка

      4.7. Формула Кассини

      4.8. Формулы Бине

      4.9. Иоганн Кеплер и Алексей Лосев о «золотом сечении»

      4.10. Новейшая история Золотого Сечения: роль «Славянской «Золотой» Группы

5. Три «ключевые» проблемы математики на этапе ее зарождения и новый взгляд на происхождение математики

6. Некоторые особенности развития современной математики

      6.1. Математика. Утрата определенности

      6.2. Математика. Разрыв с теоретическим естествознанием

      6.3. Феликс Клейн: роль икосаэдра в развитии математики

      6.4. Как «золотое сечение» отражено в современной математике и математическом образовании?

      6.5. Почему историки математики проигнорировали гипотезу Прокла?

      6.6. Роль «Золотого Сечения» в современном математическом образовании

      6.7. Математика Гармонии: новые математические результаты

7. Некоторые тенденции в развитии современной науки

      7.1. Возврат к «проблеме гармонии» и «космическому религиозному чувству»

      7.2. Платоновы тела как наиболее совершенные геометрические модели Природы

      7.3. Возрастание роли «Золотого Сечения» и чисел Фибоначчи в современной науке

Заключение

Литература

Предисловие

В настоящее время каждый школьник знает, кто такой Евклид, который написал самое значительное математическое сочинение греческой эпохи – «Начала» Евклида. Это научное произведение создано им в 3 в. до н. э. и содержит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики.

Какую цель ставил Евклид, создавая свой знаменитый математический труд? Оригинальный ответ на этот вопрос дал греческий философ Прокл Диадох (412-485), один из наиболее блестящих комментаторов «Начал» Евклида. Суть гипотезы Прокла состоит в том, что Евклид создавал «Начала» не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения «идеальных» фигур, в частности пяти Платоновых тел, попутно осветив некоторые новейшие достижения греческой математики!

Главный вывод из гипотезы Прокла состоит в том, что «Элементы» Евклида, величайшее математическое произведение древних греков, является отражением идеи гармонии Мироздания, которая стояла в центре греческой науки и была связана с Платоновыми телами, которые символизировали Основные Элементы Мироздания (огонь, воздух, земля, вода и эфир). Таким образом, «гипотеза Прокла» позволяет высказать предположение, что хорошо известные в античной науке "Пифагорейская доктрина о числовой гармонии Мироздания» и «Космология Платона», основанная на правильных многогранниках, были отражены в величайшем математическом сочинении греческой математики, Началах Евклида. И это было главной целью Евклида!

Для построения полной теории Платоновых тел, в частности, додекаэдра, Евклид ввел в рассмотрение Теорему II.11, в которой описал задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, известную в современной науке как золотое сечение.

Из гипотезы Прокла логически вытекает, что «Начала» Евклида послужили источником двух математических теорий – Классической Математики, которая позаимствовала в «Началах» Евклида аксиоматический подход, теорию чисел и теорию иррациональностей, и Математики Гармонии, которая позаимствовала в «Началах» Евклида золотое сечение и Платоновы тела.

Признание гипотезы Прокла приводит к выводу, что Математика Гармонии должна занять достойное место в системе современных математических теорий. Математика Гармонии является новым междисциплинарным направлением современной науки, а ее введение в современное математическое образование может стать основой для реформы образования, основанной на идеях гармонии и золотого сечения.

Математика на этапе своего зарождения

Когда возникла математика? Какие практические проблемы и задачи стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения? Блестящий ответ на этот вопрос мы находим в книге «Математика в ее историческом развитии», написанной выдающимся математиком современности академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым (1903-1987) [1]. Колмогоров пишет:

«Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6-5 вв. до н.э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6-5 вв. до н.э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математического исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счету предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчетам и т.п. Первые шаги механики и физики (за исключением отдельных исследований греческого ученого Архимеда (3 в. до н.э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых) могла еще удовлетвориться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17-18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе».

В этой замечательной фразе в концентрированном виде сформулированы и выделены все основные проблемы развития математики на начальном этапе ее развития:

1. Выделено два важных периода в развитии математики на этапе ее становления как самостоятельной науки: этап зарождения математики (догреческий пеиод) и этап элементарной математики (от греческой математики 6-5 вв. до н.э. и до начала 17 в.).

2. Отмечены две главные практические задачи, которые стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения. Это – задача счета и задача измерения.

3. Отмечена роль астрономии в развитии математики на этапе зарождения, в частности, в создании такой важной математической дисциплины как тригонометрия.

4. Подчеркнуто, что математика как особая наука, имеющая собственный предмет и метод, была создана в Древней Греции в 6-5 вв. до н.э.

5. Отмечено, что математические знания, полученные в период элементарной математики (от 6-5 вв. до н.э. и до начала 17 в.) составляют основу школьного математического образования.

Как подчеркивает выдающийся украинский математик академик Юрий Алексеевич Митропольский (1917-2008) [2], «словосочетание «элементарная математика», которое часто используется в математике, носит некоторый уничижительный характер в русском языке (что-то «школьное», «элементарное», недостойное внимание серьезного ученого). В английском языке словосочетание “elementary mathematics” носит некоторый другой смысл. Тот смысл, который мы вкладываем в сочинение Евклида, когда мы говорим «Элементы» или «Начала» Евклида. То есть «элементарная математика» - это совокупность исходных, «начальных», «элементарных» знаний, на которых зиждется вся математика. Попробуйте изъять из «элементарной математики» такие «элементарные» понятия как натуральные числа, иррациональные числа, «золотое сечение», теорему Пифагора, алгоритм Евклида, элементарные функции и т.д. И что тогда останется от математики в целом?»

Возможно, именно из-за такой уничижительной трактовки «элементарной математики» интерес к ней в современной математике невелик. На это обстоятельство в свое время обратил внимание Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), который написал:

Алгебру и Геометрию постигла одна и та же участь. За быстрыми успехами вначале следовали весьма медленные и оставили науку на такой ступени, где она еще далека от совершенства. Это произошло от того, что Математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою.

Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы возвратиться к истокам математики, в частности, к «Началам» Евклида, и показать, что в этом удивительном математическом произведении хранится одна тайна, раскрытие которой может привести к переосмысливанию всей математической науки и математического образования.

формате PDF (1026Кб)