1-го сентября 2007 г. исполняется 60 лет со дня рождения доктора искусствоведения, профессора Олега Ярославовича Боднара (Львов, Украина). В этой связи во Львове принято решение об издании специального сборника, посвященного 60-летию Олега Боднара. Составители сборника обратились ко мне с просьбой написать статью, посвященную научному творчеству Боднара, что я и сделал с огромным удовольствием. Предлагаю вниманию читателям эту статью и приглашаю членов Международного Клуба Золотого Сечения прислать нам для публикации статьи и эссе, посвященные творчеству Олега Боднара.

Существует гипотеза, согласно которой успешная перспектива интеграции знаний, прежде всего, связана с процессом синтеза естественно-технических и художественно-гуманитарных областей знаний. Знаменательно, что идею активного сближения познавательных подходов точных и гуманитарных наук разделяли и декларировали многие выдающиеся ученые 20-го века. Среди них А. Эйнштейн, Н.Бор, В. Гейзнгберг, Г. Вейль, В.И. Вернадский. В этом смысле можно говорить о целенаправленной установке на гуманитаризацию науки и саентификацию искусства.

Золотое сечение и числа Фибоначчи. В этой связи особый интерес представляет развитие тех научных направлений, которые находятся на стыке Науки и Искусства. Одним из них являются изучение Золотого Сечения, чисел Фибоначчи и их приложений в Природе, Науке и Искусстве. В своих истоках это направление восходит к Пифагору, Платону, Евклиду. Впервые геометрическое определение «Золотого Сечения», называемого в старину «делением отрезка в крайнем и среднем отношении», дано в «Началах» Евклида. Эта задача была введена Евклидом с целью геометрического построения правильного пятиугольника, называемого Пентагоном, и Додекаэдра, одного из пяти правильных многогранников, называемых Платоновыми Телами. В «космологии Платона» додекаэдр символизировал «Всемирный разум» и «Гармонию Вселенной». В 13 в. известный итальянский математик Фибоначчи открыл интересную числовую последовательность, называемую рядом Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.... В этой последовательности каждое число Фибоначчи F(n) вычисляется в соответствии со следующим рекуррентным соотношением:

F(n) = F(n-1) + F(n-2).

(1)

Заметим, что рекуррентное соотношение Фибоначчи (1) является первым в истории науки рекуррентным соотношением, которое предвосхитило «метод рекуррентных соотношений» — один из наиболее эффективных методов комбинаторного анализа.

В 17-м столетии великий астроном Кеплер установил, что отношение соседних чисел Фибоначчи стремится к «золотой пропорции», то есть,

.

(2)

Свое восхищение «золотым сечением», то есть «делением отрезка в крайнем и среднем отношении», он выразил в следующих словах: «В геометрии существуют два сокровища – Теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

В 19-м веке были открыты так называемые числа Люка L(n): 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47,..., которые подчиняются тому же рекуррентному соотношению, что и числа Фибоначчи, но задаются для других начальных условий. В том же 19-м веке французский математик Бине открыл замечательную формулу, которая связывает числа Фибоначчи и Люка с «золотой пропорцией»:

(3)

(4)

Заметим, что формулы Бине (3), (4) сами по себе весьма удивительны. Ведь левые части каждого из выражений (3) или (4) – целые числа, в то время как правые части представляют суммы и разности иррациональных чисел – степеней «золотой пропорции» t ⁿ и t ^-n. Таким образом, эти формулы связывают целые числа с иррациональными. Эти формулы по праву относятся к разряду наиболее значительных формул математической науки, которые могут быть поставлены в один ряд с «формулами Эйлера», «формулами Муавра» и т.д.

Геометрия Лобачевского, специальная теории относительности Эйнштейна и геометрия Минковского. 20-й век стал новым этапом эволюции пространственных представлений во всех областях науки и искусства. Толчок глобальному процессу изменения представлений о геометрии пространства, основой которой в течение двух с половиной тысячелетий была Евклидова геометрия, дала физика. В результате исследований Максвелла в электродинамике, «опытов Майкельсона-Морли» по измерению скорости света, открытия специальной теории относительности Эйнштейна непосредственно возник вопрос о соответствии Евклидовой геометрии свойствам реального пространства-времени, то есть новые физические открытия и опыты привели к выводу о неевклидовом характере геометрии реального пространства. Необходимо отметить, что приоритет идеи «неевклидовой геометрии» принадлежит не физикам, а математикам. Приоритет открытия первой «неевклидовой геометрии» принадлежит гениальному российскому геометру Николаю Лобачевскому.

В 1908 г., то есть, спустя 3 года после обнародования специальной теории относительности Эйнштейна, немецкий математик Герман Минковский предложил оригинальную геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, основанную на гиперболических представлениях, то есть на использовании гиперболических функций, синуса и косинуса:

;

(5)

Минковский показал, что «преобразования Лоренца», которые лежат в основе специальной теории относительности, есть ни что иное, как выраженные в терминах физики зависимости гиперболической тригонометрии, основанной на (5).

Проблема филлотаксиса. Одной из важнейших проблем ботаники является «проблема филлотаксиса». Ботаники установили, что на поверхности плотно упакованных «филлотаксисных» объектов (сосновых шишек, кактусов, ананасов, головок подсолнечников и т.д.) всегда наблюдаются две группы спиралей, на пересечении которых находятся семена сосновых шишек, семечки подсолнухов, колючки кактусов и т.д. Изучая это уникальное ботаническое явление, ботаники установили, что отношение количества левых и правых «филлотаксисных» спиралей всегда соответствуют фибоначчиевым отношениям, задаваемым (2). Этот факт и составляет суть «Закона Филлотаксиса». Однако при этом всегда остается неясным вопрос, как «спирали Фибоначчи» формируются на поверхности «филлотаксисных объектов» в процессе их роста. Экспериментальные наблюдения за ростом «филлотаксисных объектов» показало, что в процессе роста «филлотаксисного объекта» на его поверхности происходит изменение картины филлотаксиса согласно следующему математическому закону:

(6)

Возникает вопрос, как объяснить модификацию (6) картины филлотаксиса на поверхности филлотаксисного объекта в процессе его роста? Вот на этот далеко не простой научный вопрос и попытался ответить Олег Боднар. И надо отдать ему должное – сделал он это блестяще [1, 2, 3]. Он предположил, что «геометрия филлотаксиса» является неевклидовой, то есть, в ее основе лежат соотношения, основанные на гиперболических функциях (5). Надо отметить, что при этом он следовал идеям В.И. Вернадского, который одним из первых понял роль гиперболических представлений в биологии. Но применение классических гиперболических функций (5) не дает ответа на вопрос, почему на поверхности «филлотаксисного объекта» появляются фибоначчиевые спирали. И здесь Боднар пришел к неожиданному заключению, что проблема решается очень просто, если ввести в рассмотрение так называемые «золотые» гиперболические функции, основанные на «золотой пропорции». Такое решение сразу же привело к созданию новой геометрии филлотаксиса, называемой «геометрией Боднара» [1-3].

Гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Что же такое «золотые» гиперболические функции? Для строгого ответа на это вопрос я хотел бы отклониться от повествования об открытии Боднара и рассказать об исследованиях других ученых в этой области.

Одним из внимательных читателей моей книги [4] был кандидат физико-математических наук Иван Семенович Ткаченко, с которым я активно сотрудничал в период нашей совместной работы в Винницком политехническом институте (позже И.С. Ткаченко защитил докторскую диссертацию в области экономики и ушел из ВПИ). Однажды он взволнованно сообщил мне, что в результате изучения книги [5] и в частности, формул Бине (3), (4), он увидел их аналогию с гиперболическими функциями (5) и что на этой основе может быть разработан новый класс гиперболических функций. Действительно, в моей книге [4] формулы Бине были представлены в виде (3), (4), и именно в таком виде нетрудно усмотреть их внешнее сходство с классическими гиперболическими функциями (5). Таким образом, сам того не сознавая, представив формулы Бине в виде (3), (4), я по существу заложил основы новой теории гиперболических функций, основанных на «золотой пропорции», числах Фибоначчи и Люка. Эта теория была впервые изложена в работе [5] и затем получила дальнейшее развитие в работах [6-8].

Суть гиперболических функций Фибоначчи и Люка, вытекающих из формул Бине (3) и (4), состоит в следующем. Если мы заменим дискретную переменную k в формулах (3), (4) непрерывной переменной x, принимающей значения из множества действительных чисел, то мы придем к четырем новым «элементарным функциям» переменной x, названных гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка [5]:

Гиперболический синус Фибоначчи

.

(7)

Гиперболический косинус Фибоначчи

.

(8)

Гиперболический синус Люка

(9)

Гиперболический косинус Люка

.

(10)

Заметим, что функции (7)-(10) основаны на золотой пропорции , которая является основанием этих функций, подобно тому, как фундаментальная математическая константа е является основанием классических гиперболических функций (5).

Однако, в отличие от классических гиперболических функций (5), функции (7)-(10) имеют «дискретный аналог» в виде чисел Фибоначчи и чисел Люка, которые для дискретных значений переменной x=k=0, ±1, ±2, ±3,... совпадают с числами Фибоначчи и числами Люка, причем

sF(k) = F(2k); cF(k) = F(2k+1); sL(k) = L(2k+1); cL(k) = L(2k).

(11)

Именно этот факт является чрезвычайно важным для объяснения причин широкого проявления чисел Фибоначчи и Люка в живой природе, в частности, для объяснения явления филлотаксиса. Таким образом, «золотое» геометрическое пространство можно представить как некоторое непрерывное гиперболическое пространство, которое как бы нанизано на «фибоначчиеву» растровую сетку, связанную с «золотым» гиперболическим пространством простыми соотношениями (11). То есть пространство является непрерывным, но его внешним проявлением являются числа Фибоначчи и Люка. Именно так можно себе представить новую геометрию филлотаксиса, созданную Олегом Боднаром.

Открытие глубокой связи между гиперболическими функциями и числами Фибоначчи и Люка можно считать одним из важнейших математических достижений современной «теории чисел Фибоначчи». Независимо друг от друга к этой идее подошли украинский архитектор Олег Боднар [1-3] и украинские математики Алексей Стахов и Иван Ткаченко [5]. Дальнейшее развитие эта теория получила в статье Стахова и Розина [6] и затем в статье Стахова [8].

Междисциплинарное значение открытия Боднара. Я впервые встретился с Олегом Боднаром во Львове примерно в 1989 или 1990 г., уже имея на руках препринт с изложением гиперболических функций Фибоначчи и Люка (7)-(10). То, что он мне рассказал, меня просто потрясло. Оказывается, что независимо от нас с Ткаченко Боднар, следуя своей удивительной интуиции, пришел к тем же гиперболическим функциям, названных им «золотыми» гиперболическими функциями, которые мы с Ткаченко вывели, исходя из формул Бине (3), (4). При этом «функции Боднара» отличались от наших с Ткаченко гиперболических функций только постоянными коэффициентами. Заметим, что при описании геометрической модели филллотаксиса, Боднар вынужден был вводить специальные коэффициенты, которые превращают его «золотые» гиперболичесие функции в функции (7)-(10). А иначе просто нельзя показать их связь с числами Фибоначчи и Люка! Однако основное научное достижение Боднара состояло все же в другом. Используя свои «золотые» гиперболические функции, Боднар разработал новую геометрическую модель филлотаксиса, изложенную в его работах [1-3]. Именно использование «золотых» гиперболических функций, которые в дискретных точках (после ведения соответствующих) согласно (11) совпадают с числами Фибоначчи и Люка, позволило Боднару доказать, почему на поверхности «филлотаксисных объектов» появляются «фибоначчиевые» спирали. Самое важное, что эти функции не являются вымыслом математиков. Наоборот, они являются «естественными» функциями природы, которая использует их в ботаническом явлении филлотаксиса. И это – важнейший результат «геометрии Боднара». То есть, Боднар как бы обнаружил «золотые» гиперболические функции в явлении филлотаксиса.

Я многократно подчеркивал в своих работах, что открытие львовского архитектора может быть сравнено с открытиями Кеплера или Ньютона, потому что он раскрыл «механизм» роста филлотаксисных объектов и показал, что в основе живой природы лежит специальная гиперболическая геометрия, основанная на «Золотом Сечении»! Тем самым Боднар подтвердил гипотезу Вернадского о фундаментальной роли гиперболической геометрии в биологии.

Междисциплинарное значение работ Боднара состоит в том, что в его работах произошло объединение сразу нескольких «ключевых» открытий, теорий и гипотез современной науки – теории чисел Фибоначчи, гиперболической геометрии Лобачевского, четырехмерного пространства Минковского, как геометрической интерпретации специальной теории относительности Эйнштейна, гипотезы Вернадского о гиперболическом характере биологических объектов. В работах Боднара впервые после обнародования сто лет тому назад Германом Минковским его геометрической интерпретации специальной теории относительности Эйнштейна, по существу, дается новая сенсационная информация о реализации в природе закономерностей геометрии Минковского. На этот раз – в живой природе, в частности, в ростовом механизме спирально-симметричных («филлотаксисных») ботанических структур. Пока «геометрия Боднара» воспринимается с некоторым недоверием в научных кругах. И не вина Боднара в том, что современная наука пока не в состоянии оценить это выдающееся открытие. А разве по-другому было с открытиями Николая Лобачевского или Эвариста Галуа в 19-м веке? Ведь было время, когда гениальные математические работы Галуа французские академики-математики выбрасывали в мусорную корзину, а теория «казанского ректора» Лобачевского было предметом «зубоскальства» в российской академической науке (Остроградский). Слава Богу, что тогда российские академики еще не додумались до создания печально известной «Комиссии по лже-наукам», иначе «теория Лобачевского» наверняка была бы отнесена к лже-наукам. Как известно, работы Лобачевского были признаны российской академической наукой только после их признания Гауссом и другими западными учеными. Хочется надеяться, что в современной науке найдутся «Гауссы» и «быстрые разумом Невтоны», способные по достоинству оценить открытие украинского ученого. Я уверен, что наступит время, когда открытие Боднара будет внесено в реестр выдающихся научных открытий 20-го века.

Алексей Стахов

Доктор технических наук, профессор
Академик Международной Академии наук высшей школы
Президент Международного Клуба Золотого Сечения
Директор Института Золотого Сечения Академии Тринитаризма
Геометрия филлотаксиса Олега Боднара

Литература

1. Боднар О.Я. Геометрия филлотаксиса. Доклады Академии наук Украины. 1992, №9, с. 9-15.
2. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов: Изд-во «Свит», 1994.
3. Боднар О.Я. Золотий перерiз i неевклiдова геометрiя в науцi та мистецтвi. Львi в: Украiнськi технологii, 2006.
4. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва: Радио и связь, 1984.
5. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993 г.
6. Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function — Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 23, No.2, р. 379-389.
7. Alexey Stakhov and Boris Rozin. The Golden Section, Fibonacci series and new hyperbolic models of nature A. Visual Mathematics, Volume 8. No.3, 2006 http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/stakhov/index.html
8. Стахов А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm