Введение. Наиболее часто употребляемыми позиционными системами являются: двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании); троичная; восьмеричная; десятичная (используется повсеместно); двенадцатеричная (счёт дюжинами); шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике); двадцатеричная; шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты). Сегодня двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах. Двоичный код – это способ представления данных в виде кода, в котором каждый разряд принимает одно из двух возможных значений, обычно обозначаемых цифрами 0 и 1. Двоичный код может быть непозиционным и позиционным. Позиционный двоичный код лежит в основе двоичной системы счисления – системы счисления с основанием 2.

Кроме того существует так называемая Фибоначчиева система счисления – смешанная система счисления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи. В основе лежит теорема Цекендорфа (любое неотрицательное целое число единственным образом представимо в виде суммы некоторого набора чисел Фибоначчи с индексами больше единицы, не содержащего пар соседних чисел Фибоначчи). На основе фибоначчиевой системы счисления строится код (кодирование) Фибоначчи – универсальный код для натуральных чисел, использующий последовательности битов. Комбинация «11» запрещена в фибоначчиевой системе счисления и её используют как маркер конца записи.

Доктор технических наук, профессор А.П. Стахов (разработал компьютерную арифметику Фибоначчи [7] и выдвинул концепцию «компьютеров Фибоначчи» в середине 70-х годов прошлого века [2, 3, 4, 5]). Говоря о недостатках существующей сегодня двоичной системы счисления, ученый указывает на значимую для современных систем счисления проблему: « «Троянским конем» двоичной системы, используемой в микропроцессорах, является ее нулевая избыточность. …Отсутствие избыточности означает, что все двоичные кодовые комбинации в рамках двоичной системы являются «разрешенными», что делает невозможным обнаружение каких-либо ошибок. …Необходимо отказаться от классической двоичной системы счисления как информационной и арифметической основы специализированных компьютерных систем и наноэлектронных систем и перейти при их проектировании на новые избыточные системы счисления, сохраняющие все известные преимущества классической двоичной системы счисления (позиционность представления чисел, простота арифметических правил, использование двух (0, 1) цифр для представления чисел, простые правила сравнения и округления чисел и другое) и позволяющие улучшить надежность, контролеспособность, помехоустойчивость компьютерных систем» [6].

Основная часть. В отличие от кода классической двоичной системы код Фибоначчи является избыточным кодом. При этом его избыточность проявляет себя в свойстве многозначности представления (в виде бинарного кода) натуральных чисел и не является постоянной: избыточность кода для отдельных чисел существенно различается.

На основе Фибоначчиевой системы счисления с кодами Фибоначчи с неограниченной избыточностью нами сформулировано правило ограничения избыточности кода Фибоначчи: числа с четным значением разряда могут быть представлены только с числами нечетного значения разряда [1]. Натуральные числа можно представить двумя (и только двумя) вариантами кодов в связи с введенным правилом. При этом можно выделить запрещенные комбинации кодов Фибоначчи (таблица 1). Например, число «8» можно представить только двумя кодами 11000 и 100000, а число 7 – 1111 и 10011 и так далее (таблица 2).

формате PDF (3207Кб)