|
|
А.П. Стахов
Содержание
1.Связь чисел Фибоначчи с элементарной теорией чисел и комбинаторикой
2. Что такое формула Кассини?
3. Лямбда-числа Фибоначчи и обобщенная формула Кассини
1.Связь чисел Фибоначчи с элементарной теорией чисел и комбинаторикой
Числа Фибоначчи и элементарная теория чисел. Согласно Википедии [1], «в элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида..., разложение числа на простые множители, теория сравнений, диофантовы уравнения, построение магических квадратов, совершенные числа, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах, относятся к этому разделу».
Наиболее исследованной целочисленной последовательностью являются натуральные числа, которые изучаются с древнегреческого периода. Как подчеркивается в [1], «весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант. Пифагорейцы рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел».
Пифагорейцы изучали свойства «фигурных» («треугольных», «квадратных» и других), «совершенных», чётных и нечётных, простых и составных чисел.
Некоторые свойства чисел Фибоначчи и Люка. Как следует из вышеизложенного, числа Фибоначчи являются существенной частью элементарной теории чисел и поставлены в один ряд с такими выдающимися математическими результатами как делимость целых чисел, алгоритм Евклида, теория сравнений, диофантовы уравнения, магические квадраты, совершенные числа, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах.
Наиболее известными числовыми последовательностями, изучаемыми в теории чисел Фибоначчи [2-6], являются: последовательность Фибоначчи или классические числа Фибоначчи
1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., (1)
задаваемые рекуррентным соотношением:
Fn = Fn−1 + Fn−2; F1 = F2 = 1. (2)
и последовательность Люка или классические числа Люка
2,1,3,4,7,11,18,29,47,.., (3)
задаваемые рекуррентным соотношением:
Ln = Ln−1 + Ln−2; L1 =1, L2 = 3. (4)
Числа Фибоначчи и Люка могут быть «расширены» в сторону отрицательных значений индекса n.
Полный текст доступен в формате PDF (209Кб)
А.П. Стахов, Обобщенная формула Кассини: сколько существует целочисленных рекуррентных последовательностей, которые удовлетворяют этой формуле? // «Академия Тринитаризма», М.,
 |