АННОТАЦИЯ

Автором предлагается оригинальный метод вычисления коэффициентов при аппроксимации кубическими сплайнами функции одной переменной, заданной в виде сетки значений с равномерным или неравномерным шагом. Отличительной особенностью метода является то, что коэффициенты аппроксимирующего сплайна на любом отрезке сетки представлены в виде математически точных выражений, каждое из которых отображается конечным рядом, сопряженным с константами, являющимися определенными функциями Золотого Сечения.

Полученные зависимости позволяют при поиске коэффициентов сплайнов не только исключить общепринятую трудоемкую процедуру составления и решения системы линейных алгебраических уравнений, но и производить независимые вычисления коэффициентов сплайнов отдельно для любого отрезка. Представленные формулы просты и удобны с точки зрения вычислительной математики. Реализующий их алгоритм практически неограничен количеством точек при минимальных затратах времени на вычисления.

1.Введение. Математическая теория аппроксимации кривых сплайн-функциями получила развитие за последние 25-30 лет. За это время создана теоретическая база и разработано достаточно обширное программное обеспечение [1,2] для практического применения сплайнов в различных областях науки и техники [3]. В настоящее время методы сплайн-аппроксимации получили особую актуальность с развитием современной компьютерной техники особенно при обработке фото и видео изображений.

Целью сплайн-метода является упрощение алгоритма вычислений при аппроксимации плоских кривых кубическими сплайнами за счет исключения из алгоритма операций по составлению и решению систем линейных уравнений, что, в конечном счете, приводит к повышению скорости вычислений.

Действительно, вычисления коэффициентов сплайнов практически осуществимо только с использованием компьютеров, т.к. приходится производить операции по решению громоздких систем уравнений, число которых может достигать нескольких десятков, сотен, а зачастую тысяч и более, в зависимости от количества аппроксимирующих узлов. Применение метода приобретает особую значимость при обработке методами фотограмметрии плоских изображений трехмерных моделей различных ракурсов одного объекта, т.к. для получения реальной трехмерной картины модели приходится обрабатывать массивы данных, полученные по измерениям координат огромного количества опорных точек. Как будет показано ниже, требуемый эффект достигается путем определения двухмерных массивов (матриц), содержащих строго заданные константы для вычисления коэффициентов сплайнов. Причем указанные константы зависят только от количества и положения узлов заданной кривой, а их определение основано на свойствах Золотого Сечения .

2.Теоретическое обоснование сплайн-метода.

Наиболее широкое распространение получили методы аппроксимации кубическими сплайнами [4,5], использование которых вытекает из теории упругости, согласно которой упругая недеформированная линейка, закрепленная в узловых точках, имеет отличные от нуля производные только третьего и низших порядков.

формате PDF (555Кб)