В статье [1] приведены взгляды Д.Д. Мордухай-Болтовского, Алексея Лосева и Иоганна Кеплера на «золотое сечение» и его роль в развитии античной науки и математики. Настоящая статья является продолжением и развитием статьи [1]. В ней использованы материалы книги автора [2].

«Начала» Евклида – величайшее математическое сочинение древнегреческой эпохи. В настоящее время каждый школьник знает, кто такой Евклид, который написал самое значительное математическое сочинение греческой эпохи – «Начала» Евклида. Это научное произведение создано им в 3 в. до н. э. и содержит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики.

Сведения о Евклиде крайне скудны. К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в «Комментариях Прокла к первой книге «Начал» Евклида». Прокл указывает, что Евклид «жил во времена Птолемея I Сотера», потому что Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде. В частности, Архимед рассказывает, что Птолемей однажды спросил Евклида, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии. Учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I (306–283 до н.э.) он преподавал во вновь основанной школе в Александрии. «Начала» Евклида превзошли сочинения его предшественников в области геометрии и на протяжении более двух тысячелетий оставались основным трудом по элементарной математике. В 13 частях, или книгах, «Начал» содержится большая часть знаний по геометрии и арифметике эпохи Евклида.

«Начала» Евклида состоят из тринадцати книг. В Книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается Книга I знаменитой Теоремой Пифагора. В Книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. В Книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд, в Книге IV — правильные многоугольники. В Книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (Книга VI) и метода исчерпывания (Книга VII), также восходящих к Евдоксу. В Книгах VII—IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В Книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты Книги Х применяются в Книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть Книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В Книге XI излагаются основы стереометрии. В Книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в Книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует.

2. Предложение II.11 «Начал» Евклида

В «Началах» Евклида мы встречаемся с задачей, которая в дальнейшем сыграла большую роль в развитии науки. Речь идет о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении». В «Началах» Евклида эта задача встречается в двух формах. Первая форма сформулирована в виде Предложения 11 Книги II «Начал» Евклида [3 - 5]. В настоящей статье использовано изложение Предложения II.11, приведенное в [6].

формате PDF (411Кб)