С интересом ознакомился со статьей [1], в которой ставится вопрос о возможностях и допустимых пределах обобщения теории золотого сечения (ТЗС). В статье упомянута и моя работа [2] в связи с тремя правилами, введёнными в ней для того, чтобы не заходить слишком далеко по пути обобщений и не отрываться от “золотого домена”. Я благодарен А.П.Стахову за оценку этой работы и изложенных в ней правил, к которым мне по существу нечего добавить. Удивляет лишь стремление некоторых авторов ввести искусственные запреты на обобщения ТЗС по принципу этого нельзя делать, потому что этого нельзя делать никогда. Между тем, обойтись без обобщений математика не может, это любимое занятие математиков, здесь с ними могут поспорить разве что философы. И такая предрасположенность вовсе не бравада, не злоупотребление растущими возможностями постоянно усовершенствуемого формального инструментария, а нечто вытекающее из самой природы математического познания. Скалярные величины обобщаются векторами, те в свою очередь тензорами, и каждый раз открываются такие перспективы, которые немыслимы на начальной ступени. Запрещать математику обобщать теорию, модель, формальную конструкцию так же нелепо, как, скажем, запрещать футболисту забивать голы, боксеру – наносить удары противнику, а бегуну – быстро бежать.

Другое дело, что всему есть мера, красная черта, к которой можно подходить вплотную, но нельзя переступать. Классический пример – последовательное, растянувшееся на тысячелетия обобщение натуральных чисел египтян, халдеев и пифагорейцев до уровня комплексных величин, как естественного предела для понятия числа. А далее оказывается, что “пуповина” – связь с фундаментальными характеристиками числа уже не существует и всё то, что по инерции называют числами (числа Келли, кватернионы, гиперкомплексные числа и т.п., не говоря уже о трансфинитных числах теории множеств) являются математическими сущностями иного рода. Но остановить, посредством непродуманных табу само движение к красной черте никак не получится. Уникальность золотой пропорции, золотой константы, к которой любят апеллировать блюстители её “принципиальной необобщаемости”, может и повод для восхищения, но только не для ограничений. К тому же тот, кто говорит об обобщении константы, числа, занимается откровенным словоблудием. Обобщается не число, а теория, принцип, конструкция, модель, теоретическое построение, к константе приводящие. Вдоволь насладившись красотой, уникальностью пропорции и её константы, исследователь, если только не теоретизирующий пустозвон, ищет истоки этой самой уникальности, пытается дать ей разумное объяснение, включить в общий теоретический контекст.

Таков обычный метод научного поиска, характерный между прочим не только для математики. Когда же разум погружается в сон, ему всякое может присниться, например связанный с цепной дробью мнимый парадокс, упомянутый в самом начале статьи. Константа ф, как и всякое иррациональное число, записывается посредством бесконечной цепной дроби, составленной из одних единиц, а потому и наиболее медленно сходится к пределу последовательность её подходящих дробей. В этом один из основных формальных показателей универсальности ЗС, с далеко идущими последствиями для ТЗС. Вообще, цепная дробь как способ записи вещественного числа, практически не очень удобен, но теоретически более универсален, чем позиционная запись в десятичной, двоичной или какой-либо другой n-ичной системе счисления. Меняя какие-то числа в бесконечной цепной дроби, мы просто получаем другое иррациональное число. Подобно тому, как изменение хотя бы одного знака в десятичной записи иррационального числа приводит к совершенно другому числу. Ещё раз повторим, что любое изменение в цепной дроби, в частности золотой константы, это попросту переход к другому числу, геометрически – к другой точке на числовой оси. А конкретные числа, или точки на оси, не обобщаются. Это, кстати, элементарные сведения из начальных классов математического ликбеза. К обобщениям ЗС они отношения не имеют и парадоксы здесь ни при чём. Хотя, приходится признать, что наряду с логическими парадоксами встречаются парадоксы, высосанные из пальца. Видимо, есть немногочисленная, надо надеяться, категория исследователей, сделавшая “божественную пропорцию” объектом культового поклонения и до помрачнения рассудка ненавидящая идею её обобщения, которую они к тому же неверно себе представляют и не имеют для отстаивания своей позиции серьезной аргументации.

А ведь поезд давно ушёл. Вспомним, что где-то в начале 60-ых годов прошлого века математике ЗС стало слишком тесно в узких рамках элементарной теории (геометрические фигуры и тела, простейшие свойства чисел Фибоначчи и тому подобное) и начался настоящий золотой бум. Возникла The Fibonacci Association со своим ежеквартальным журналом The Fibonacci Quarterly – к сегодняшнему дню издано уже пятьдесят томов по четыре номера в каждом, около 20000 страниц преимущественно математических текстов, написанных, как правило, профессиональными математиками. Вышла превосходная книга Н.Н.Воробьева, с задачами по теории поиска и по нахождению экстремума. Позже А.П.Стахов фактически основал и возглавил русскоязычную научную школу по исследованию ЗС, которая сейчас базируется в Академии Тринитаризма. В мире появилось несметное множество работ самого разного уровня и содержания по данной тематике, множество сайтов в интернете. Да, золотой бум сопровождается и золотой лихорадкой, было и есть очень много сомнительных данных, выдаваемых за достоверно установленные факты, много восторженной эврики и откровенной чепухи. Но, как сказано поэтом, “Сотри случайные черты - И ты увидишь: мир прекрасен” (Aлександр Блок). Надо судить по лучшим работам, а не любительским пробам пера, в том числе тех, кто безосновательно отрицает право на обобщение. А оно идёт по разным направлениям, включая указанные в статье р-пропорции, ф-пропорции и формулу Кассини.

Даже если забыть о наиболее надёжных случаях (филлотаксис, фуллерены, квазикристаллы) приложения к природе ТЗС, сегодня это, по сути, целая область математики, в которую вовлечены сотни профессионалов и тысячи любителей и которой интересуются сотни тысяч, если не миллионы, любопытствующих. Центральный числовой элемент ТЗС это, пожалуй, константа ф с гомологами; теоретическая первооснова – принцип минимума (оптимума, экстремума, наименьшего действия); конструктивное начало – рекурсия, экспонента, алгебраическое уравнение и некоторые другие правила построения математических моделей и алгоритмов; наиболее плодотворная сфера исследования – свойства числовых последовательностей, частным случаем которых является классический ряд Фибоначчи; “высший пилотаж” – связь золотой константы с фундаментальными математическими константами и появление константы ф в задачах поиска и на нахождение экстремума; наглядная демонстрация значимости золотого сечения – геометрические фигуры и тела, включая пентаграмму, золотую логарифмическую спираль, платоновы, архимедовы, каталановы и некоторые другие тела; исторический первоисточник – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

[1] Стахов А.П. “Родовые признаки” для обобщённых золотых сечений. Академия Тринитаризма, М., Эл № 77-6567, публ.17515, 10.06.2012

[2] Аракелян Г.Б. О мировой гармонии, теории золотого сечения и её обобщениях . Академия Тринитаризма, М., Эл № 77-6567, публ.17064, 06.12.2011

P.S. Пользуясь, а может и злоупотребляя случаем, хочу сообщить, что работаю над книгой под условным названием Золотые ворота математики. ТЗС будет представлена в ней в максимально полном объеме и с новыми результаты по её обобщению, в виде очерков будет изложена история золотой пропорции с древнейших времен до начала 70-ых годов прошлого века.