Введение

Часть I. Теория ЛМФ

Глава 1. Логика и формальная математика

Глава 2. Физическая математика

Глава 3. Основания физической теории

Глава 4. Границы физического мира. Обобщённые физические законы

Часть II. Принцип золотого сечения

Глава 5. Принцип золотого сечения и числа Фибоначчи

Глава 6. Принцип золотого сечения в природе и искусстве

Глава 7. “Золотая” смесь

Глава 8. Обобщённая теория золотого сечения

Заключение. Теория ЛМФ и ОТЗС: основные положения, формулы, графики

Краеугольным камнем мировой гармонии, без веры в которую естественнонаучное мышление лишилось бы большей части своей привлекательности, является математика. Известно, что путь от общих положений до конкретной их реализации часто долог, извилист и неоднозначен. Потому-то так труден вопрос, каким всё же образом математическая первооснова приобретает характер селективного формообразующего принципа для живой и неживой природы. Принцип золотого сечения предоставляет, быть может, наилучшую возможность для анализа подобных проблем. В силу его совершенно особого статуса, а главным образом из-за соотнесённости с фундаментальными математическими константами (ФМК), с положениями теории ЛМФ, вкратце представленной во Введении и Части I настоящей работы, подробное обсуждение этого принципа и всего, что с ним связано, представляется существенным и важным.

Фундаментальная физическая теория – мечта многих поколений исследователей. ЛМФ – попытка осуществить эту мечту в виде логически строгой, математически завершенной системы, соответствующей имеющимся экспериментальным данным и допускающей (частично уже подтвердившиеся) прогнозы и эмпирическую верификацию. Это базисная теория физического мира, реализующая идею единства математической логики (Л), числовой математики (М) и фундаментальной физики (Ф). Её корневая структура начинается с логических атомов и завершается обобщёнными физическими законами сохранения, изменения и квантования. В рамках теории ЛМФ получен удивительный результат для постоянной Ферми. Решается ряд важнейших задач, в частности определение численного значения постоянной тонкой структуры, времени жизни мюона и других физических констант, выявление границ физического мира с использованием нового космического параметра − безразмерной константы порядка 10¹²⁵, получение массовой формулы для частиц определённого типа, обобщение принципа золотого сечения.

Теория ЛМФ по идее не только снабжает необходимым инструментарием для теоретического определения любой известной физической постоянной и не только приписывает с ограниченной или неограниченной точностью истинное числовое значение каждой величине. В свете теории ЛМФ некоторые изученные казалось бы вдоль и поперек математические величины предстают в новом качестве, приобретают дополнительные, ранее не известные характеристики. В этом назначение Части II настоящей работы, где изложение исторических фактов и подробное рассмотрение формальных свойств числа Φ носит иллюстративный характер и подчинено решению основной задачи: выявлению связей между Φ и исходными ФМК, анализу принципа золотого сечения с точки зрения общих принципов и идей, изложенных в Части I. По сути ставится задача построения нетрадиционной математической теории золотой пропорции. Это построение должно быть ответвлением теории ЛМФ и призвано не только подтвердить её возможности, но и осветить некоторые ключевые вопросы, которые в обычной трактовке золотого сечения кажутся загадочными.

Глава 2. Физическая математика

2.1. Континуум, формальная система и конкретные числа

2.2. Функциональные уравнения

2.3. Взаимно обратные функции ψ и α

2.4. Решение уравнений E0. Построение континуума. О других числовых системах

2.5. Проточисла и функции

2.6. Уравнение суперпозиции

2.7. Суперпозиция для действительной и мнимой переменных

2.8. Замечания, итоги и перспективы

Глава 2. Физическая математика

В главе 1 рассмотрение шло в основном по проторенным, хотя и с другими целями, тропам, а главная трудность состояла в выборе среди имеющихся альтернатив тех формальных средств, которые должны привести к решению поставленных задач. Теперь же мы вынуждены будем всё чаще сворачивать на нехоженые тропы, следуя внутренней логике и динамике развития системы AG. Представляется очевидным, что её простое, “механическое” расширение путём добавления каких-то новых доказуемых формул совершенно недостаточно для раскрытия внутренних потенций формализма системы AG, её скрытых возможностей. Для более полного их выявления необходимо прежде всего решить ряд кардинальных и достаточно тонких вопросов. Как должен осуществляться переход от аксиоматически задаваемых основных свойств числа к конкретным числам? Какие именно числа должны следовать за нулем в формальной иерархии математических величин, являющейся естественным продолжением и необходимым следствием принятой системы постулатов и аксиом? Каковы фундаментальные правила, устанавливающие соответствие между различными множествами, составленными из переменных и постоянных величин, иначе говоря, каковы исходные, материнские функции, посредством которых строятся остальные функции?

Отвечая на подобные вопросы, мы рассчитываем получить в своё распоряжение всё необходимое и достаточное для дальнейшего построения основ физической теории. Разумеется, в “новой” математике многие известные факты “старой” математики предстанут в ином теоретическом контексте, в ином оформлении и в ином толковании. Ответом на поставленные вопросы является система пяти функциональных уравнений E или её обобщение E0. Решение этой исходной системы уравнений приводит к выявлению материнских для всей числовой математики функций экспоненты и логарифма и начальных, вслед за нулем, математических величин – фундаментальных математических констант (ФМК). В системе АGE, призванной служить основой физической теории и потому названной физической математикой, концептуально важное значение имеют новые фундаментальные константы суперпозиции: и омега-константа W(1). Константа заполняет серьёзные бреши в существующей математике, причём в развертывании формализма теории ЛМФ ей принадлежит совершенно исключительная роль.

2.1. Континуум, формальная система и конкретные числа

Начнем с бесспорного факта существования исторически сформировавшейся концепции бесконечного континуума как и его составных частей, с фиксированными правилами оперирования, определёнными принципами упорядочивания, характерными особенностями отдельных подмножеств или даже отдельных чисел и т.д. Словом, начнем с факта независимого существования содержательной, притом довольно развитой теории, которую будем называть теорией чисел, понимая под этим всю числовую математику за исключением теории трансфинитных чисел. В свете этого необходимо уточнить, что когда после задания аксиоматического каркаса не развернутой ещё системы AG говорят, что она формализует континуум, или имеет интерпретацию на множестве всех чисел, это следует понимать примерно так, что при определённом толковании графических знаков, составляющих алфавит системы AG, система аксиом M1–M7 вместе с правилами образования, преобразования, подстановки, замены и т.п. является достаточно адекватным формальным отображением своего независимо существующего содержательного прототипа. Точнее, исходная система правильно построенных формул – аксиом системы AG при соответствующем моделировании трансформируется в систему соотношений, выражающих основные свойства “живых” чисел и тем самым удостоверяется, хотя и не окончательно, пригодность взятой аксиоматики для формального представления данной содержательной теории. И не более того.

При интерпретации или моделировании результаты, так или иначе получаемые в теории чисел, не становятся собственностью формальной системы; она должна прийти к этим результатам самостоятельно, используя лишь арсенал своих формальных средств. Если не принимать в расчёт те обычно небольшие неувязки, разночтения, неоднозначности и пр., которые видимо нельзя полностью устранить при идентификации живой теории с жестко регламентированной формальной схемой, и если отвлечься от специфических математических проблем, касающихся полноты, разрешимости и т.п., лишний раз свидетельствующих о принципиальной недостижимости абсолютно точного соответствия между содержательным оригиналом и его формальным двойником, то может показаться, что других серьёзных проблем здесь нет. Действительно, если устанавливается, что какие-то результаты, получаемые в теории чисел, одновременно являются выводимыми формулами формальной теории, чтó мешает говорить о соответствии между двумя теориями хотя бы в этих пределах и с указанными оговорками?

На деле всё обстоит сложнее, чем кажется на первый взгляд, поскольку при решении некоторых фундаментальных задач развертывания формальной системы важен не только ответ, но и способ его получения. Это весьма тонкий и в высшей степени ответственный, требующий особого внимания вопрос, суть которого состоит в следующем. Теория чисел наряду с общим понятием математического числа, наряду с понятием бесконечного множества, континуума чисел имеет дело и с вполне конкретными, вообще говоря, комплексными числами. В формальной же системе AG на нынешнем этапе её развертывания постулировано потенциально бесконечное множество объектов

c определёнными свойствами, истолковываемых как числа, но нет ещё, как отмечалось ранее, ни одного конкретного числа как такового за исключением аксиоматически заданного терма 0. Добавим, что нет пока и ни одной конкретной функции, хотя понятие математической (числовой) функции определено ещё в начале предыдущей главы. Можно, выражаясь фигурально, сказать, что имеется в наличии математическая субстанция, но нет ещё её субстрата, дана идея относящихся к субстанции законов, но ни один из них ещё не оглашен и не представлен. Необходимо, следовательно, от понятия числа, числового множества, задаваемого совокупностью свойств, и от понятия числовой функции перейти к конкретным, реальным числам и функциям; весь вопрос в том, как это сделать.

Обратимся вначале к знакомым примерам и посмотрим, как вводятся натуральные числа. Обычно здесь применяется древнейший метод зарубок, известный ещё доисторическому человеку. Способ чрезвычайно прост и весьма эффективен в простейших ситуациях: зарубка – один (день, палец, шкура убитого зверя, вообще всё, что поддаётся счёту), ещё зарубка – два, ещё одна – три и т.д. В современном научном варианте зарубки делаются не ножом или топором на дереве или допустим камне, а ставятся ручкой, карандашом и т.п. на бумаге в виде точек или палочек – именно так строится натуральный ряд в интуиционистской математике, где знаки 1, 2, 3,… являются сокращенными обозначениями соответствующих последовательностей точек или палочек. В аксиоматике Пеано и в выросших из неё формальных системах арифметики натуральных чисел типа N ряд натуральных чисел вводится следующим образом: задаётся начальное число (обычно нуль) и принцип генерирования новых чисел, то есть означающий прибавление единицы оператор ', последовательным применением которого порождается шаг за шагом бесконечный ряд вполне определённых чисел 0, (0)', ((0)')', (((0)')')', …, коротко обозначаемых знакомыми символами 0, 1, 2, 3, … Наконец, в аксиоматике классической теории множеств, где множество натуральных чисел является лишь начальным членом в возрастающей по мощности последовательности трансфинитных чисел, конкретные числа просто постулируются как актуальная данность так называемой аксиомой бесконечности, гласящей: “существует по крайней мере одно бесконечное множество – множество {1, 2, 3, …} натуральных чисел”. В других вариантах ряд начинается не с 1, а с 0, но здесь важно другое.

Во всех указанных случаях введение конкретных чисел как физических объектов (зарубки, палочки, точки), как последовательности объектов, порождаемых из начального члена действием числового генератора (аксиоматика Пеано, системы типа N) или как актуально бесконечной данности (теория множеств), обусловлено наличием трёх необходимых и достаточных условий. Во-первых, существованием наименьшего числа (нуль, в других вариантах один, реже два, три и даже четыре); во-вторых, дискретностью числового – натурального множества; в-третьих, возможностью, по крайней мере принципиальной, однозначного нахождения и представления любого его элемента как при конструировании строго упорядоченного ряда, так и при его задании в виде готового множества. Нетрудно заметить, что для четных и нечетных чисел, факториалов и т.п. реализуются все три условия, для простых чисел не выполняется третье, для положительных действительных чисел – второе и третье, а для множества всех чисел не выполняется ни одно из трёх условий. В общем, не всё, что верно в частности, верно и для целого, и ясно, что решение поставленной задачи в случае континуума требует более тонкого подхода и универсальных методов.

формате PDF (1015Кб)