Аннотация

Каждому из бесконечных вариантов деления произвольного отрезка на части «а» и «b≥а» соответствует своя «гармоническая пропорция» и своя рекурсия. Если разность b–а равна половине гармонического среднего h чисел «а» и «b», получаем «гармоническое золотое сечение». Доказано, что такому сечению (частный его случай – классическое золотое сечение, h=2) соответствует максимальная энтропия суммы двух слагаемых разностного уравнения (иначе: системы, синтезированной из двух элементов). Но замкнутая система с максимальной энтропией обладает динамической устойчивостью (2-й закон термодинамики), что и объясняет широкую распространенность золотого сечения в природе и творениях человека. Приведены примеры, подтверждающие «энтропийную закономерность» золотого сечения.

Содержание:

1. Основные термины и их определения

2. Постановка проблемы

3. Устранение заблуждений

4. Разгадка тайны природы: не эмерджентность, не резонанс, а энтропия

5. Примеры, подтверждающие «энтропийную закономерность» золотого сечения

6. Заключение

Литература

1. Основные термины и их определения

1.1. Золотая пропорция – равенство отношений целого к большему и большего к меньшему: (a+b):b=b:a=Ф. Число Фидия Ф=(1+√5)/2≈1,618 в современной науке называется «золотой пропорцией». До 2010 года для случая деления целого на две неравные части была известна лишь одна пропорция – «золотая», и слово «пропорция» утеряло первоначальный смысл (равенство двух отношений). Поэтому число Фидия Ф≈1,618 будем называть «золотой константой».

1.2. Гармоническое среднее n чисел – число h, определяемое из формулы 1/h=(1/n)*(1/x₁+…+1/x_n) [1]. Гармоническое среднее h(a,b) двух чисел «а» и «b» равно h=2ab/(a+b) [1; 3]. Дадим геометрические определения гармонического среднего двух чисел (соответственно новое и известное):

1) Это удвоенная длина стороны квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами «а» и «b» таким образом, что квадрат и треугольник имеют общий угол;

2) Это длина отрезка прямой, проходящей параллельно основаниям трапеции «а» и «b» через точку пересечения диагоналей трапеции между ее боковыми сторонами.

Парадоксально, но до сих пор гармоническое среднее не использовалось в математике гармонии. Этот пробел мы пытаемся устранить в данной работе.

1.3. Гармоническая пропорция – обращающаяся в тождество при любых положительных значениях «а» и «b» пропорция, включающая гармоническое среднее h чисел «а» и «b», например: (a+b):b=b:(b–0,5h).

1.4. Рекурсия 2-го порядка, или гармоническое уравнение 2-го порядка – линейное однородное разностное (иначе – возвратное, или рекуррентное) уравнение с переменными коэффициентами вида f_n+2=(h–d)f_n+1+0,5hdf_n или f_n+2=(h+d)f_n+1–0,5hdf_n (где h – гармоническое среднее «а» и «b», d – разность d=b–а).

1.5. Возвратная последовательность 2-го порядка – рекурсия 2-го порядка с заданными начальными условиями f₀ и f₁. Каждой такой последовательности отвечает бесконечный рекуррентный ряд чисел, целых или дробных, действительных или комплексных. Например, рекурсии f_n+2=f_n+1+f_n отвечает ряд Фибоначчи (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … для единичных начальных условий f₀=f₁=1 или 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … для условий f₀=0; f₁=1).

1.6. Характеристическое уравнение рекурсии 2-го порядка – уравнение вида

а²=(h–d)a+0,5hd или b²=(h+d)b–0,5hd, где «а» и «b» – аттракторы. Характеристическое уравнение однозначно связано с уравнением рекурсии. Переход от характеристического уравнения к разностному осуществляется путем формальной замены «а²» на f_n+2, «а» на f_n+1 и «1» на f_n.

1.7. Аттрактор рекурсии, или просто – аттрактор (от англ. attract – привлекать, притягивать) – таким коротким термином теперь всё чаще называют максимальный по модулю корень характеристического уравнения рекурсии. К значению этого корня в пределе (при n→∞) стремится, согласно теореме Бернулли, отношение последующего элемента к предыдущему элементу рекуррентного ряда чисел. В данной работе аттрактор равен либо «а», либо «b» (в зависимости от знаков в характеристическом уравнении: для аттрактора «b» знаки в правой части уравнения противоположны знакам в той же части уравнения с аттрактором «а»). Отметим, что ранее аттракторами называли только точки, к которым стремятся траектории развивающихся динамических систем.

1.8. Сечение – деление отрезка произвольной длины на две произвольные части «а» и «b», разность которых равна d=b–а. Одна из частей отрезка – «а» или «b» – становится аттрактором рекурсии.

1.9. Гармоническая последовательность, приведенная к аттрактору – рекурсия 2-го порядка с начальными условиями f₀ и f₁, равными двум последовательным целым степеням аттрактора (обычно f₀=а⁰=1; f₁=а¹=а. Тогда рекуррентный ряд чисел – это геометрическая прогрессия 1, а, а², а³, …, аⁿ).

1.10. Экстремальные виды сечения – это «бисекция» (а=b; d=b–а=0) и «редукция» (d=h; b=(1+√2)а). Они преобразуют рекурсию 2-го порядка в простейшее уравнение 1-го порядка - уравнение геометрической прогрессии.

1.11. Гармоническое золотое сечение – деление отрезка произвольной длины на части «а» и «b=аФ», разность которых равна половине гармонического среднего чисел «а» и «b»: d=b–а=0,5h. Для гармонического золотого сечения соблюдается золотая пропорция. Классическое золотое сечение – частный случай гармонического золотого сечения, для которого h=2; d=1; а=Ф.

1.12. Вероятностная рекурсия 2-го порядка – линейное однородное разностное (иначе – возвратное, или рекуррентное) уравнение с переменными коэффициентами, выраженными через вероятностные доли слагаемых: f_n+2=p₁hf_n+1+p₂0,5h²f_n, где р₁ и р₂ – вероятностные доли слагаемых.

1.13. Вероятностное характеристическое уравнение рекурсии 2-го порядка – уравнение вида а²=p₁ha+p₂0,5h², где р₁=(h–d)/h=1–d/h и р₂=d/h – вероятностные доли слагаемых или, иначе, их весовые коэффициенты.

1.14. Уравнение гармонического золотого сечения – линейное рекуррентное уравнение вида f_n+2=0,5hf_n+1+(0,5h)²f_n (аттрактор «а») или вида f_n+2=1,5hf_n+1–(0,5h)²f_n (аттрактор «b>а»), где h - гармоническое среднее аттракторов «а» и «b». Уравнение гармонического золотого сечения мы получаем либо из вероятностной рекурсии 2-го порядка при d=0,5h и р₁=p₂=0,5, либо как среднее арифметическое рекурсий крайних режимов – бисекции и редукции.

2. Постановка проблемы

Благодаря многим новым научным открытиям, основанным на золотом сечении, «золотая пропорция» рассматривается в настоящее время как главная пропорция мироздания, как некий универсальный Код Природы. Поэтому требуется глобальная переоценка роли золотого сечения [2].

В то же время золотое сечение остается величайшей загадкой природы [3].

Чрезвычайно актуальной стала задача исследования причины широкой распространенности золотого сечения в живой и неживой природе. Это прекрасно выразил А.И. Иванус: «…наука о золотом сечении только сейчас начинает свои первые шаги как наука. Трудами многих современных исследователей, во-первых, доказывается, что золотое сечение существует не только как эмпирический факт. Во-вторых, масштабы задачи, как оказалось, настолько велики, что официальной науке, вместо ироничного и предвзятого к ней отношения, полезней было бы… ринуться на решение проблем только-только нарождающегося действительно нового видения мира. …Самое главное здесь — это ответить «всего лишь» на один маленький вопрос: ПОЧЕМУ оно существует? Пока однозначного ответа нет» [4].

Действительно, экспериментальные данные показывают, что если две части целого (элементы системы) находятся в соотношении золотого сечения, то они обеспечивают структурно-функциональную целостность и устойчивость этого целого (системы) при взаимодействии с внешней средой [2]. Интуитивно золотое сечение уже давно связывают с системной устойчивостью и энтропией. Но строгого доказательства связи золотого сечения с устойчивостью и максимальной энтропией до сих пор не существовало. Почему? Да потому, что нельзя доказать исключительность золотого сечения в системном смысле, если (как ошибочно считалось) только такое сечение приводит к пропорциональности частей целого, если его невозможно сравнить с другим сечением, также обеспечивающим пропорциональность частей целого.

Основная цель данной работы: объяснить широчайшее распространение золотого сечения в природе, связав его с понятием энтропии. Но сначала поставим перед собой более узкую теоретическую задачу: исправить устоявшиеся веками добросовестные заблуждения в теории возвратных последовательностей. Вот эти заблуждения.

2.1. Первое заблуждение: деление на неравные части в произвольном отношении пропорцию не образует. В 19-м веке известный философ, поэт, естествоиспытатель, исследователь золотого сечения А. Цейзинг сформулировал закон гармонии: «Деление целого на неравные части пропорционально, когда отношение частей… даёт золотое сечение». Цейзинг не утверждал, что, если отношение частей не даёт золотого сечения, то деление целого на неравные части непропорционально. Тем не менее, с тех пор считается делом давно решённым: отрезок прямой АВ можно разделить точкой С на две части только следующими тремя способами: на равные части, когда АВ:АС=АВ:ВС (бисекция); на неравные части так, что АВ:АС=АС:ВС (золотое сечение); на неравные части в любом, произвольном отношении (такие неравные части пропорцию не образуют) [5].

Это заблуждение мешало развитию теории золотого сечения в приложении к системному синтезу. Однако, в 2010 году было доказано, что пропорция образуется и при делении целого на две части в произвольном отношении [6].

2.2. Второе заблуждение: построение сложной структуры может происходить только по двум взаимоисключающим правилам, а именно - либо по правилу Фибоначчи, либо по любому другому правилу. «Первое правило – по Фибоначчи – в процессе построения дает нам автоматически золотые пропорции между элементами, …свойства эмерджентности и резонанса проявляются в максимально полной мере. Если же процесс построения происходит по любому другому правилу, то проявления эмерджентности и резонанса будут проявляться в гораздо меньшей мере, что приведет к созданию менее совершенной конечной структуры» [7].

Построение сложной структуры из простых структур, целого из его частей в математике отражено в достаточно хорошо изученных возвратных последовательностях. Но, все же, почему не предположить, что правила сложения вовсе не взаимоисключающие, что есть только одно общее правило, и сложение «по правилу Фибоначчи» - его частный случай? Если такое «общее правило» было неизвестно, то это не значит, что такого правила нет в природе.

Какова же причина столь долгого поиска общего метода синтеза, для которого «сложение по-Фибоначчи» - лишь частный случай? Разве мало выдающихся исследователей работало в этой области науки? Причина – в традиционном подходе к анализу рекуррентных уравнений. Еще одно добросовестное заблуждение состоит в том, что коэффициенты рекуррентного и характеристического уравнений должны быть постоянными. Ученые – «золотоискатели» Шпинадель, Газале, Пелли, Якобстал, Капрафф, Татаренко, Фалкон, Плаза и другие применяли постоянные коэффициенты, не связывая эти коэффициенты с аттракторами рекурсии [8].

Если же в отдельных случаях некоторые выдающиеся математики использовали разностные уравнения с переменными коэффициентами, то эти коэффициенты зависели от порядкового номера «n» рекурсии (пример - континуанты). Такими линейными разностными уравнениями с переменными коэффициентами занимался Жак Ф.М. Бине (1786-1856), а его предшественником был Джеймс Стирлинг (1692-1770). Правда, Стирлинг еще в 1730 году назвал рекуррентные ряды рядами, возникающими при делении друг на друга целых рациональных функций [9]. Однако, несмотря на это, разностные уравнения с постоянными (или зависящими от «n») коэффициентами приводили ко мнению, что существует сложение «по-Фибоначчи» и «по другим законам». А это еще более укрепляло позицию сторонников применения постоянных коэффициентов в разностных уравнениях. Такая бесконечная «рекурсия» (или банальное зацикливание в исследованиях) и послужило причиной некоторого отставания теории «обычного золотого» сечения (с уравнениями 2-го порядка) от его бесчисленных практических приложений.

Таким образом, до настоящего времени между произвольным сечением целого на части «а» и «b» и рекуррентным уравнением не было однозначного соответствия. Никто не рассматривал части «а» и «b» ни как аттракторы характеристического и разностного уравнений, ни как аргументы функций, входящих в переменные коэффициенты этих уравнений. Отметим, что в данной работе таких функций две: это разность d=b–a (п. 1.1) и гармоническое среднее h(a,b) (п. 1.3). Интересно, что само название термина «гармоническое среднее» подсказывало возможность использования его в теоретическом исследовании золотого сечения, как неиссякаемого источника вселенской гармонии…

2.3. Третье заблуждение: геометрическая прогрессия – это только рекуррентное уравнение (возвратная последовательность) 1-го порядка вида f_n+1=а*f_n. Это показал, например, ещё в 1950 году А.И. Маркушевич [10, с. 6].

2.4. Четвертое заблуждение: рекуррентное уравнение золотого сечения 2-го порядка – это единственное уравнение вида f_n+2=f_n+1+f_n, о чем можно прочитать в любой публикации, посвященной золотому сечению.

формате PDF (424Кб)