Недавно в Академии Тринитаризма была опубликована принципиально важная статья С. К. Абачиева (Абачиев, 2010) , в которой обсуждается научный статус, генезис и перспективы математики гармонии – междисциплинарной области, рождающейся на пересечении практически всех дисциплин гуманитарного и естественнонаучного профиля, а также различных видов искусств. Далеко не во всех вопросах, затронутых проф. Абачиевым чувствую себя достаточно компетентным, но есть среди них такие, которые меня занимают и даже волнуют. Поэтому я выделил в статье одну узловую точку, отталкиваясь от которой, осмелюсь высказать несколько не слишком причесанных мыслей человека, работающего в гуманитарной сфере и в искусстве.

Поскольку «кадры решают все», обратимся к профессиональному составу людей, причастных к этому научному направлению. В подавляющем большинстве это люди с высшим и более образованием, математическим, гуманитарным, техническим, биолого-медицинским, геолого-минералогическим и др.

Ознакомимся, например, с предметно-профессиональным составом специалистов, принявших участие в Международной научной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и золотого сечения в природе, науке и искусстве» (Винница, 2003). По моим грубым подсчетам, большинство участников этой конференции составляют специалисты в области техники – информационные технологи, компьютерщики, связисты и др. (около 28 %). Далее следуют биологи и медики (около 34 %). Вместе с первой группой они составляют около 62 % (не золотое ли здесь сечение?). Все остальные, включая физиков, экономистов, искусствоведов, филологов и др. составляют 38 %.

Крайне интригует то, что среди рассмотренного сообщества нет, по-видимому, ни одного чистого математика. Есть, конечно, доктора и кандидаты физико-математических наук, но все они физики. В чем причина «саботажа» со стороны математиков? Здесь может быть несколько причин. Главная, видимо, заключается в том, что многие математики о такой математике ничего не знают. А вторая (если они о такой математике слышали) – в том, что они считают эту математику элементарной для математиков высокого полета. Именно поэтому в первых рядах конференции мы видим людей инженерного образования и прикладных биологов. И для тех, и для других математика – некоторый инструмент для решения своих внутренних отраслевых проблем. Математика эта может быть разной, но это не математика Маркова, Лузина и Колмогорова. Это в основном высшая математика, которая преподается в технических вузах. У биологов эта математика еще проще. А в учебном процессе студентов-медиков вообще редко бывает какая-либо математика.

И тем не менее, всех этих специалистов, а также экономистов, филологов, искусствоведов, художников и музыкантов объединяют особые математические структуры, которые возникают в реальной работе с материалом: физическим, биологическим, филологическим, технологическим и т. п. Биологи находят математико-гармонические структуры в явлениях филотаксиса, архитекторы – в пропорциях своих проектов, инженеры находят удовлетворение в проектировании вычислительных машин на основе гармонических сечений, электрики конструируют линии электросвязи, филологи черпают вдохновение в математической гармонии пушкинского стиха. И все это делается на основе одних и тех же математико-гармонических инструментов, простота которых для математиков высокого полета кажется странной. Странным им представляется и фронтальная универсальность математики гармонии вкупе с междисциплинарностью. Среди математиков можно найти таких, которые готовы признать, что математико-гармонические структуры имеют право на существование. Но при этом они склоняются к тому, что это не их математика, что это, может быть, милая и занятная математика, то какая-то окраинная. И потом современным математикам, не склонным предаваться потусторонним фантазиям, претит склонность некоторых представителей математики гармонии к сакральной фразеологии, к обожествлению математико-гармонических структур. И вообще сакральные корни математики гармонии, проросшие еще в пифагорейские времена и в дальнейшем нашедшие благодатную почву в нумерологии и астрологии, отпугивают серьезных математиков от математико-гармонических изысков. Пренебрежительно-саркастическая улыбка и ироничное пожатие плеч – их обычная реакция в таких случаях. Этим они как бы хотят сказать: «Ладно, занимайтесь такой математикой, только не надо напускать колдовского тумана».

Если же говорить о степени реализации математико-гармонических структур в предметно-ориентированных дисциплинах, то наиболее интенсивно они используются в области информационных технологий, физике и биологии. По мере продвижения в сторону гуманитарной сферы интенсивность использования инструментария математики гармонии резко падает. Если взять, например, литературоведение, то здесь масштабы применения математико-гармонических методов просто ничтожны. То же самое можно сказать о социологии, психологии, политологии, историографии и др. Причины такой ситуации двояки. Гуманитарии, как уже говорилось выше, за редким исключением, не склонны прибегать к математике в каком бы то ни было виде. Но если вдруг какой-то чудак осмеливается использовать какую-то незатейливую формулу, то эта формула будет заимствована из запасников не успевшего выветриться школьного знания.

В итоге возникает огромный разрыв в масштабах внедрения математико-гармонических идей в науки, связанных с техникой, живой и неживой природой, с одной стороны и науками, связанными с духовной сферой, с другой.

Несколько иная ситуация складывается в искусстве. Здесь также существует огромные различия в математико-гармоническом осмыслении объектов зрительных и звучащих искусств. Объекты зрительных искусства (ваяние, зодчество, живопись) – более материальны и, следовательно, в большей степени доступны для рефлексии в математико-гармоническом аспекте. В меньшей степени к этому склонна музыка, хотя со времен Пифагора она занимает ведущее место в гармонических представлениях, и это единственное из искусств, где «Теория гармонии» является учебной дисциплиной. Но это, наверное, потому, что музыкальная гармонии тесно и очень строго связана с акустикой и механикой. Следует также признать, что математико-гармонические техники (преимущественно методы пропорционирования) используются в архитектуре и градостроительстве при проектировании зданий сооружений и ансамблей. Что касается словесного искусства, то здесь связь с «материальностью» имеет более сложный характер, которая требует особого математико-гармонического осмысления, поскольку вербальный текст имеет сложную пространственно-временную и визуально-акустическую организацию.

Итак, в математике гармонии доминируют науки физического цикла, дисциплины, связанные с информационными технологиями и науки о живом с четко выраженной прикладной направленностью. Это означает, что здесь доминирует прикладная математика. Но прикладная математика тоже бывает разная. Для инженеров самых разных специальностей – это традиционная высшая математика технических вузов и различные варианты ее применения в машиностроении, электротехнике, приборостроении, строительстве и т. п. Для гуманитариев – это, конечно, элементарная математика, а для «продвинутых» прикладников-гуманитариев сюда могут пристегиваться различные варианты начал математики более высокого уровня (теории графов, теории вероятностей и математической статистики, теории множеств и др.). То же самое можно сказать и об искусстве.

Наиболее древняя область прикладной математики гармонии – архитектура и строительство. Математико-гармонические идеи впервые были восприняты как руководство к действию еще в IV н.э. в проектах Витрувия, в основе которых лежат пропорции человеческого тела. Но наиболее откровенно это было заявлено в эпоху Возрождения в так называемом искусстве проекта (Гилберт, Кун, 1960, с. 206-207). Это искусство явилось результатом поиска формальных регуляторов процесса творчества и основано на изучении множества реальных предметов с целью создания совершенного образца. Этот виртуальный образец превращается в первоначальный набросок, затем эскиз и, наконец, в проект, который и воплощается в окончательную художественную реальность. Именно идея проекта является истоком инженерного дела, сопряженного с искусством. Позднее в эпоху Просвещения идея проекта проникла даже в словесное искусство: вспомним хотя бы твердые формы стиха, например, сонета, представляющие собой реализации некоторого проекта-образца (Буало, 1957). Заслуживает быть отмеченной и концепция патентной формулы – жесткой словесной структуры, организованной как проективно-конструкторский объект (Новожилов, 1965). В целом инженерно-конструкторская деятельность теснейшим образом связана с идеей гармонии, которая явно или неявно связана с проектированием архитектурных ансамблей, мостов, летательных аппаратов, судов, автомобилей – всего гигантского разнообразия изделий, создаваемых человеком. Идея проекта обосновалась и в современном искусстве. Вспомним хотя бы творчество Сергея Эйзенштейна и Ле Корбюзье.

В этой череде проектно-гармонических работ важнейшее место занимает конструирования помехоустойчивых вычислительных машин с использованием системы счисления на основе иррациональных чисел, связанных с золотым сечением. Эти работы были начаты в 70-х гг. прошлого века под руководством А. П. Стахова, но после беспрецедентного патентования в различных странах и создания первых экспериментальных образцов эти работы были прекращены на рубеже 80-х и 90-х гг. из-за распада СССР (Стахов, 1974, 1980, 1984).

Несколько ранее, еще до начала разработок Стахова, американским вундеркиндом Дж. Бергманом (Bergman, 1957) была построена система счисления, названная им «системой счисления с иррациональным основанием типа золотой пропорции». В этой системе любое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней золотого числа φ. Принципиальным свойством изобретения Бергмана является то, что в нем снимается «противоречие» между иррациональными и целыми числами. Конечно эта идея имела некоторый бэкграунд (вспомним, например, формулы Бине и Де Муавра), но система счисления была новой.

Это результат был плодом блистательной интуиции талантливого мальчишки, который едва ли думал о каких-либо приложениях. Проф. Абачиев говорит, что рождение этой идеи – случайность. Она могла возникнуть раньше, могла появиться позже, могла не появиться вовсе. С этим можно согласиться. Конечно, магистраль Шеннона-Неймана, избранная разработчиками вычислительных машин, не могла быть иной из-за невероятной периферийности идей, связанных с золотым сечением и числами Фибоначчи. Это не умаляет значимости «золотых» представлений, но ведь и по сей день «серьезные математики» не знают о существовании этой математики.

Остановимся на этой проблеме более детально.

Проф. Абачиев говорит о том, что математика гармонии элементарна и в то же время не элементарна.

Обсудим это справедливое утверждение и попытаемся найти в нем дополнительные смыслы.

Принято считать, что математика гармонии не выходит за пределы несколько усложненной элементарной математики. Это более или менее так. Например, Генрих Тимердинг в блестящей книге «Золотое сечение», опубликованной в 1928 г. (Тимердинг, 2005), отмечает, что математическая часть его книги есть лишь систематизация математических сведений из школьной математики. За последние 100 лет ситуация несколько изменилось. Математико-гармонические идеи обогатились симметрийными представлениями (Вейль, 1986; Урманцев, 2006; Заренков, 2009). Исследуются фрактальные структуры, образованные на основе чисел Фибоначчи (Газале, 2002). В рамках теории групп появились группы Фибоначчи (Bardakov, Vesnin, 2003). Бурно развивается фибоначчиева комбинаторика.

Большинство квалифицированных математиков считает, что математика гармонии — это некая периферия, что это некий математический «фольклор», что это «ненужная» математика, что это математические «байки», хотя и занимательные, но в лучшем случае могущие претендовать лишь на то, чтобы занять умы смекалистых школьников и отвлечь их от вредных привычек. Не случайно, основательные отечественные исследования по математике гармонии (теории возвратных последовательностей и чисел Фибоначчи) вышли в свет как результат занятий со школьниками, претендующими на участие в математических олимпиадах (Маркушевич, 1951; Воробьев, 1969). Единственным подиумом (исключая, естественно, активных сторонников и разработчиков математики гармонии), где без всякой стыдливости демонстрируются достоинства золотой математики, является занимательная математическая литература, насыщенная математическими тайнами, загадками, головоломками, чудесами, этаким математическим Зазеркальем (Гарднер, 1972; Барр, 1964). Большую симпатию к золотому сечению и числам Фибоначчи испытывают и те математики, для которых золотые структуры являются ярким примером реализации процесса математического творчества (Пойя, 1976) и даже эстетическим объектом, аналогичным музыкальным вариациям на заданную тему (Реньи, 1980). Это означает, что золотой пропорции и числам Фибоначчи в математике отводится ее увлекательная и смекалистая часть, загадочная и изящная в своей простоте. По большому счету, это не так уж и плохо.

Итак, математика гармонии, будучи элементарной с точки зрения математического инструментария, является неэлементарной в том смысле, что она входит как органическая составляющая в занимательную математику, наполненную чудесами и тайнами. В этом первая черта ее неэлементарности. Это не простая, а хитроумная элементарность.

А теперь вернемся к изобретателю новой системы счисления – Дж. Бергману. Скорее всего, юный Бергман не был математиком высокого уровня, но как талантливый и одаренный интуицией мальчишка, он наверняка увлекался занимательной литературой, которой в Америке пруд пруди. Вспомним хотя бы М. Гарднера. И через эту литературу, как я предполагаю, он мог познакомиться с золотым сечением и числами Фибоначчи, а возможно с пифагорейской теорией чисел. Одним словом, его открытие – игра свободного, парадоксального, не отягощенного ученостью и озабоченностью ума.

Математико-гармонические гармонии — неисчерпаемый источник увлекательных свойств, которые производят прямо-таки мистическое впечатление. Все новые и новые свойства открываются чуть ли не ежечасно. Причем эти свойства удивительно красивы, рождая у многих восторг, восхищение и даже эстетический трепет. Любопытно, что золотые структуры красивы сами по себе, изнутри, вне сферы их приложения. Но они же являются и средством описания прекрасного в реальном мире, и если ученому улыбается удача, то эстетическая составляющая этой удачи слагается из гармонии, идущей от метода (математика гармонии) и от исследуемого объекта. В этом тоже можно усмотреть еще один признак неэлеменарности математики гармонии.

Но увлекательному и загадочному присуще и агональное (игровое) начало (агональность — от греческого слова αγον, которое означает «состязание», «соперничество», «соревнование»). В этом мы уже частично убедились, когда говорили о загадках, головоломках, фокусах, являющихся результатом игры не только умного, но и веселого ума. Их занятность не лежит на поверхности, для ее разгадывания нужна смышленость, интуиция, и эти два качества создают основу для соревновательности, состязательности как формы игрового поведения.

А теперь опустимся вглубь веков.

Пифагор Самосский, для которого «все есть число», числовую гармонию понимает как игры богов. Олимпийские игры, соревнование хора и героев в трагедиях Эсхила, Софокла и Эврипида были отражением этой большой игры.

Знаменитая книга Леонардо Пизанского «Liber abaci» есть не что иное как «россыпь головоломок». Хитроумная задача о кроликах — одна из таких занимательных задач. Примечательно, что происхождение книги Фибоначчи тесно связано с «математическими турнирами» (т. е. с состязанием как игрой), которыми увлекался обласкавший Фибоначчи чудаковатый император Священной Римской империи и король легкомысленного Неаполитанского королевства Фридрих II Гогенштауфен (Яглом, 1987).

Всем известно, что Лука Пачоли в своей книге «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» познакомил европейцев с золотым сечением. Эта задача была помещена в раздел необычайных задач. Там же нашла свое место и знаменитая задача о разделе ставки между игроками при прекращении в определенный момент игры в кости. Эту задачу Б. В. Гнеденко (Гнеденко, 1981, с. 9) считает предтечей теории вероятностей. И хотя решение Пачоли было неверным, она на протяжении столетий с завидным постоянством занимала умы математиков. Среди них можно назвать Дж. Кардано (1501–1576), известного в первую очередь своей причастностью к решению уравнения третьей степени, которое уже в новейшее время используется при нахождении корней уравнений высоких степеней в обобщениях золотого сечения. Но Кардано в «Книге об игре в кости» пытался также решить и задачу о разделе ставки. К этой задаче обратился и Николо Фонтана по прозвищу Тарталья (Заика) (1500–1557) в книге «Общий трактат о мере и числе». Его вариант решения изложен в разделе, озаглавленном «Ошибка брата Луки из Борго».

Итак, уже в XVI веке были заложены начала комбинаторики, инспирированные азартными играми. Игровой характер имели и комбинаторные задачи, связанные с числами Фибоначчи и золотым сечением.

Не вдаваясь глубоко в историю игровых задач, отметим, что Б. Паскаль (1623–1662), в переписке которого с П. Ферма родилась современная теория вероятностей, своей работой «Трактат об арифметическом треугольнике» внес значительный вклад в развитие комбинаторики на основе изучения азартных игр. Этот треугольник при определенных деформациях используется уже в новейшее время как способ интерпретации золотого сечения и одного очень популярного его обобщения — p-сечений Алексея Стахова (Стахов, 2002).

Современник Паскаля великий Кеплер, поклонник и исследователь чисел Фибоначчи, горячий проповедник и теоретик гармонии космоса, был безудержным фантазером и борцом даже в состязании между собственными идеями. Вот как он пишет о себе сам: «Загадки и хитроумнейшие шутки доставляли ему живейшую радость, с аллегориями он забавлялся, прослеживая их до мельчайших подробностей… Когда он писал о каких-нибудь проблемах, особую радость доставляли ему парадоксы» (Кеплер, 1982).

Первый теоретик математики гармонии Эдуард Люка (1842–1891) считается одним из великих дилетантов от математики. Весь свой талант он посвятил свободной математической игре (The World of Mathematics, 1956, c. 504), не слишком следуя академическим канонам. Он также питал слабость к математическим загадкам и головоломкам, что нашло отражение в его четырехтомном труде, посвященном математическим развлечениям «Récréation mathématiques” (Газале, 2002, с. 223).

Мидхат Газале, вполне серьезно относясь к золотому сечению и числам Фибоначчи, не упускает случая, чтобы подчеркнуть неисчерпаемую занимательность этих структур, их обаяние и увлекательность, а некоторые задачи рассматривает как математические фокусы. Вот некоторые цитаты из его книги: «Подобно многим другим практикам от математики, я одно время забавлялся с числами Фибоначчи…» (Газале, 2002, с. 10). «Я не нашел в себе сил сопротивляться очарованию золотого сечения и его многочисленного семейства, а когда узнал о числах Падована… так и вовсе пришел в полный восторг» (Газале, там же).

Алексей Стахов также отдает должное занимательности «золотоносных» структур (например, коровам Генри Даденея), а также различного рода вариациям на тему Фибоначчи, подобным тем, которые используются в музыкальных импровизациях (Стахов, Слученкова, Щербаков, 2003). То же самое можно сказать и о вариациях на тему Фибоначчи венгерского ученого Альфреда Реньи (Реньи, 1980).

Отметим также, что почти все авторы, внесшие большой вклад в развитие математики гармонии – прекрасные стилисты, мастера слова. Вспомним хотя бы Луку Пачоли, его «закрученные» гимнообразные панегирики золотому сечению. Вспомним и яркий, парадоксальный, динамичный стиль Иоганна Кеплера, порою страстный, порою саркастический, порою ироничный. Если говорить о современных авторах, то в первом ряду мастеров стиля я бы назвал Мидхата Газале, который завораживает и очаровывает легкостью и изяществом своего парящего слова, своим умением сочетать серьезное с забавным. Эти стилистическим пассажем я как бы хочу сказать: математика гармонии стильна, и в своей стильности она не элементарна.

Литература

Абачиев С.К. Математика гармонии глазами историка и методолога науки. http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321185.htm

Барр С. Россыпи головоломок. Перев с англ. М.: Мир, 1987.

Буало Н. Поэтическое искусство. М., Наука, 1957.

Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1986.

Воробьев В. В. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1969.

Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов. Перевод с англ. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. Пер. с англ. М.: Наука, 1977.

Гилберт К., Кун Г. История эстетики. Перевод с англ. М.: Издательство иностранной литературы, 1960.

Заренков Н.А. Биосимметрика. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

Кеплер И. О шестиугольных снежинках. М. : Наука, 1982.

Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1975 (Серия «Популярные лекции по математике»).

Мартыненко Г. Я. Золотое сечение формулы изобретения // Научно-техническая информация. Серия 2. 2002, № 10. С. 22–25.

Мартыненко Г. Я. Ритмико-смысловая динамика русского классического сонета. СПб., Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2004. 32 с.

Новожилов А. Г. Составление формулы изобретения в странах с германской системой патентования // Вопросы изобретательства. 1965, № 11. С. 13–17.

Пойя Д. Математическое открытие. Перевод с англ. М.: Наука 1976.

Реньи А. Вариации на тему Фибоначчи / Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. С. 326–352.

Стахов А. П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. М., Советское радио, 1977.

Стахов А. П. «Золотая» пропорция в цифровой технике / Автоматика и вычислительная техника, 1980, № 1, с. 27–33.

Стахов А. П. Коды золотой пропорции. М.: «Радио и связь», 1984.

Стахов А., Слученкова А., Щербаков B. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СПб: Питер, 2006.

Тиммердинг Г. Е. Золотое сечение. Перевод с нем. М.: КомКнига, 2005.

Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. М.: М.КомКнига, 2006.

Хейзинга Й. Homo ludens. В тени завтрашнего дня. Перевод с англ. М.: Прогресс, 1992.

Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование. М.: Советское радио, 1980.

Яглом И. М. Предисловие к книге: Барр С. Россыпи головоломок. Перев. с англ. М.: Мир, 1987.

Bardakov V.E., Vesnin F.Yu. A Generalization of Fibonacci Groups // Algebra and Logic, Vol.42, № 3, 2003. Р. 72–89.

Bergman G. A Number System with an Irrational Base / Mathematical Magazine, 1957, № 31, P. 98–115.