Под солнцем жарким Средиземноморья

В веселом Самосе великий Пифагор,

Удовлетворял свой ненасытный взор

Небесных сфер пленительным раздольем.

Он услаждал свой слух их звоном стройным,

Слагавшимся в согласный перебой

Волны волной, их шумною игрой

И искристым блистаньем беспокойным.

И лиру в руки взяв, он натяженье струн

Велел согласным быть с ритмичным ходом волн,

Расчислив гармонично каждый тон.

Так подчиняется мятущийся табун

Веленью пастыря. И молвила озвученная лира:

Все есть число, число – властитель мира.

Поводом для написания данной статьи послужил разговор с моим дачным соседом Васильевым Александром Ивановичем – профессиональным инженером-строителем, который многие годы преподавал архитектурно-строительное дело в Военно-инженерной академии, а сейчас возглавляет строительно-проектировочную фирму. В ходе нашей беседы, посвященной вполне земным и насущным делам, он поинтересовался, чем в настоящее время я увлечен. Я ему рассказал о своих занятиях золотым сечением и числами Фибоначчи, о сообществе «Золотое сечение» и прочих золотосеченских делах. Интересно, что он ничуть не удивился, а по-деловому и со знанием дела включился в разговор, обнаруживая великолепное знакомство с «техническими деталями». Он мне рассказал, что у них, архитекторов-проектировщиков, гармонический антураж, в частности пропорционирование – некоторая традиция и некоторый объем знаний, прочно вошедший в учебный процесс, приобретший даже некоторый рутинный характер. Затем он на несколько секунд прервал наш разговор и принес свои настольные книги: «Принцип пропорции» И. Ш. Шевелева (Шевелев, 1986) и «Методы архитектурной гармонии» Я. Д. Глинкина (Глинкин, 1979). После этого он заговорил о Фидии и Ветрувии, что меня тоже очень порадовало.

Еще одним поводом для данной заметки послужила книга И. М. Яглома «Математические структуры и математическое моделирование (Яглом, 1980), в которой блестяще изложена история греческой математики, а также интригующая статья А. П. Стахова, в которой излагается интересная гипотеза Прокла, касающаяся истоков математики гармонии (Стахов, 1989). Эти две работы побудили меня обратиться к еще нескольким публикациям, которые будут упоминаться по ходу изложения. И вот уже сейчас, когда статья уже почти готова, на сайте Академии тринитаризма появилась большая статья А. П. Стахова и И. Г. Райяна (Стахов, Райян, 2009), в которой подробно освещена история математики гармонии от Пифагора до наших дней. Эта статья оказалась весьма релевантной в контексте античного направления в математике гармонии, которое рассматривается в данной статье.

Свою умную и увлекательную книгу «Что такое математика?» американские ученые Пойген Х. О. и Рихтер П.Х. (Пойген, Рихтер, 2000) начинают так: «Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Под волевой деятельностью авторы понимают, по-видимому, все виды деятельностной активности, ставя их в один ряд с умозрительным суждением и стремлением к эстетическому совершенству. Об эстетике математики мы будем говорить ниже, а ее умозрительность будет обсуждена в данной статье. Вслед за процитированной фразой американские математики пишут: «Ее основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки». Именно с точки зрения этих трех противопоставлений, которые на меня произвели весьма благоприятное впечатление, я буду строить свое изложение.

А теперь остановимся кратко на истории греческой математики и месте в ней математики гармонии.

Но сначала несколько слов о времени ее возникновения.

Математика возникла в Древнем Египте и древнем Вавилоне. Жителям этих стран были вооружены многими математическими сведениями. Они, по-видимому знали арифметическую и геометрическую прогрессию, кубические и квадратные уравнения, даже формулу, связанную с именем Пифагора и его теоремой. Но математики как таковой в современном понимании еще не было, хотя египтяне и вавилоняне успешно пользовались набором арифметических и геометрических средств на практике.

А теперь перенесёмся мысленно в Древнюю Грецию, где математика превратилась в науку.

То, что это произошло именно в Греции, часто называют «греческим чудом». По до конца не понятным причинам произошел какой-то внезапный интеллектуальным взрыв, подобным духовному подъему, который был в Советском Союзе в 60-е гг. Причины такого подъема как в Греции, так и в Советском Союзе до сих пор никто толком не объяснил.

Что касается математического подъема в Древней Греции, то здесь можно найти кое-какие причины (Аносов, 2003).

В Греции впервые в истории, благодаря, может быть, досугу, которым были обеспечены все свободные граждане. получили поддержку все виды творчества без оглядки на практическую пользу. Приоритет отдавался общественному благу и эстетическому совершенству.

Греческому обществу был присущ дух соревновательности (и не только в спорте), стремление к победе, превосходству, причем победители не жаждали награды в виде материальных благ. Победитель довольствовался славой и уважением сограждан.

Все это способствовало расцвету искусства, философии, науки.

В математике успеха можно было достичь только лишь применяя строго логические рассуждения без всяких утилитарных поползновений. Только такие люди имели доступ к изысканнейшему из наслаждений – наслаждению разума и духа.

В Греции дедуктивное построение математики приобрело статус респектабельного занятия, плодом которого явилось систематическое дедуктивное изложение геометрии, к которой греки питали особую слабость.

Но это произошло не сразу. И все, конечно же началось с Пифагора и его школы.

Для Пифагора и пифагорейцев было характерно стремление к раскрытию гармонии мира. Это стремление реализовывалось ими на фундаменте геометрии (учении о формах), арифметике (учении о числах) и гармонии (учении о музыке). Поскольку все сущее они хотели свести к системе числовых отношений («все есть число») центральное место в пифагорействе занимала арифметика. Сам Пифагор излагал свою математику с заметным налетом мистики. Это проявилось, в частности, в чрезвычайном внимании пифагорейцев к мировым константам и разного рода «магическим» числам. Но в пифагорействе очень сильным было и рациональное начало, реализованное в серьезных математических достижениях. Принято считать, что с именами Пифагора и его современника Фалеса Милетского связано вообще конституирование математики как науки. Именно в трудах этих ученых родился аксиоматический, доказательный метод, который доминирует в математике вплоть до наших дней.

В трудах других древнегреческих ученых (Платона, Аристотеля, Эвклида) и др. аксиоматический метод обрел контуры законченной теории. Абстрактная математика была создана греческими мыслителями, исходя из их философских, религиозных и этических принципов с решительным, высокомерным и даже агрессивно- пренебрежительным отношением к каким-либо приложениям. И все же одно приложение греческая аксиоматика имела, но оно было, с одной стороны, очень абстрактным, распространяясь на гармонию Вселенной в целом, а с другой, было ориентировано в сторону музыки, которая для греков была воплощением гармонии, а сама Вселенная рассматривалась ими как музыка сфер.

Но греки пифагорейских времен были увлечены не только учением о музыке. Важное значение они придавали и конструированию музыкальных инструментов и «низменным» математико-акустическим изысканиям. Более того, они занимались конструированием, а такое времяпровождение - не только не наука, а скорее ремесло, хотя, конечно, и с возвышенными целями. И все это делалось на основе чисел, теория которых также имеет истоки в учении пифагорейцев. Речь идет о целых числах, но иррациональные числа тоже были открыты греками, хотя они их вывели за пределы арифметики, отдав на откуп геометрии.

Аксиоматика пифагорейцев получила дальнейшее развитие в разработанных Платоном общих принципов дедуктивных рассуждений и в его попытках создать полную систему устройства мира. Космология Платона, построенная на основе платоновых тел, соответствующих правильным многогранникам, в течение многих веков рассматривалась как основа мироздания. Платон также ввел в активный оборот идею золотого сечения и дал ему содержательное толкование. Несомненным достижением Платона следует считать также и то, что он находил много общего между математикой и искусством. Так, в одном из диалогов Платона (Платон, с. 317-320, 1972) о математиках, ваятелях и живописцах говорится так: «Выводы они свои делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведениям ваяния и живописи; от них может падать тень и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором».

Аристотель (384-332 г. до н. э.) продолжил строительство абстрактной математики, разделив науки на дедуктивные и индуктивные, все свои симпатии, однако, отдавая последним. Он ввел в научный оборот также понятие «предложения», совокупность которых образует костяк выводной науки, в которой основными элементами были аксиомы и теоремы. В целом, как считает И. М. Яглом (Яглом, 1980), Аристотель завершает становление греческой математики как чисто логической дисциплины.

После Аристотеля греческая математика как дедуктивная дисциплина (или как метаматематика) ничем новым принципиально не обогатилась, хотя конкретные достижения были очень значительными. Из следующих за Аристотелем ученых следует назвать прежде всего Евклида Александрийского (365 – около 300 гг. до н. э.), который в своих «Началах» составил свод математических знаний, включавший основные достижения предшествующих ему древне-греческих математиков, как тех, которые делали крен в сторону аксиоматики, так и тех, которые тяготели к гармоническим изысканиям.

Значительно позднее, уже на закате греческой цивилизации Прокл высказал гипотезу, что Эвклид создавал «Начала» для того, чтобы дать полную теорию идеальных фигур, в частности платоновых тел. Основной смысл гипотезы Прокла может заключаться в том, что она рассматривает «Начала» Эвклида как фундамент Математики гармонии (Стахов, 2009), поскольку в них впервые систематически рассматривается проблематика золотого сечения и правильных многогранников. К этому можно добавить, что на основе известного алгоритма Эвклида любое число может быть представлено в виде непрерывной дроби. Эти структуры уже в XX в. стали активным рабочим инструментом в теории гармонии (Ойстин, 2003, с. 51).

Итак, черту под этапом становления и развития греческой математики от Пифагора до Аристотеля подвел Эвклид. Эта математика достигла высочайшего уровня абстракции и безукоризненности дедукции, вновь достигнутые, как отмечает И. М. Яглом (Яглом, 1980), в послегреческую эпоху лишь математиками XIX века, т. е. только через 20 столетий. Столь же высокого мнения об аксиоматике Эвклида и ученик Колмогорова Владимир Андреевич Успенский: «… достойно удивления и восхищения то обстоятельство, что более двух тысяч лет назад мыслящие люди ставили перед собой задачу заложить логический фундамент математики (и блестяще решили эту задачу!). Этот факт служит опровержением известного тезиса, что движущей силой науки являются исключительно практические потребности, ведь и строгость, и само содержание трактата Эвклида превосходили практические потребности того времени» (Успенский, 2009, с. 308). Но каким бы ни был собственно научный вклад Эвклида, эти достижения затмил его вклад в систематизацию и распространение математических знаний. В течение 20 столетий «Начала» были не только ядром математического образования, но и находились в центре западной культуры. Такая констатация очевидно, но все же трудно удержаться, чтобы не привести высказывания о «Началах» двух выдающихся людей, сыгравших огромную роль в истории западной цивилизации (Стилвел, 2004). Вот слова из Автобиографии Авраама Линкольна: «Он изучил и овладел шестью книгами Эвклида, поскольку он был членом конгресса». Так ли надо понимать Линкольна, что и остальным членам конгресса были не чужды эвклидовы аксиомы? А вот, что пишет в своей Автобиографии (т. 1) Бертран Рассел: «В возрасте одиннадцати лет я начал изучать Эвклида… Это было одно из самых великих событий моей жизни. Такое же ослепительное, как и первая любовь. Я не представлял, что в мире существовало нечто столь восхитительное».

Комментируя эти высказывания Стилвел далее пишет: «Возможно, низкий культурный статус математики сегодня, не говоря уже о незнании математики политиками и философами, отражает отсутствие Начал, соответствующих современному миру».

Следует обратить внимание на еще одно крайне важное обстоятельство. Выше мы говорили о становлении греческой математики как преимущественно абстрактно-доказательной дисциплины. Но в греческой математики получило развитие и другое направление – математико-гармоническое. Причем второе направление, с одной стороны, имело поддержку в абстрактной математике, для которой гармония была реализацией (или приложением) абстрактных математических представлений. Такая гармония также имела достаточно абстрактный характер – как способ познания мироздания и само мироздание. Обратим внимание еще на один крайне важный момент. «Математическая Вселенная», которую строили греческие математики, если и была абстрактной, то не совсем. Эта Вселенная находилась в полной гармонии с жизнью эллинов того времени, например, духовной, общественной, политической. Кроме того, некоторая метафизичность того же Аристотеля или Эвклида была связана с медленным, величественным течением времени. Статичность греческой жизни с ее «вечными», застывшими неподвижными храмами, амфитеатрами, статуями и колоннадами под вечным южным солнцем, на берегах вечного бесконечного моря и бездонного синего неба – все это великолепие чудесным образом гармонировало с красивыми, правильными геометрическими фигурами: треугольниками, многоугольниками, многогранниками, которые занимали умы и чувства греческих мыслителей.

Но эти храмы, колоннады, скульптуры возводились и ваялись не только по наитию. Трудно представить, чтобы великий Фидий не обладал обширнейшими знаниями в геометрии, пусть и прикладной. И он воплощал эти знания в камень и металл. А если вспомнить о конструировании музыкальных инструментов, которое под знаменем гармонии входило а пифагорейское учение, то прикладная сфера математики гармонии еще более расширяется. Другими словами, математическая гармония находила реализацию не только в умопостигаемых объектах, но и в повседневной реальности.

Особенно четко это проявилось в научной деятельности знаменитого Архимеда Сиракузского 287-212 гг. до н. э.), который метаматематикой в стиле Аристотеля почти не интересовался, зато достиг триумфальных, ослепляющих результатов в прикладной математике, ориентированной в сторону естествознании (физика, гидростатика, механика, оптика). Причем интересно то, что Архимед открывал свои законы материального пространства исходя с совершенной геометрической формы (каковой является, например, архимедова спираль), к которой реальные объекты только более или менее приближаются. Именно в соответствии с этими совершенными, гармоничными формами он конструировал свои устройства и машины. И еще один важный момент: Архимед вывел совершенные формы из статики, придал им жизнь, они стали работать – так, как работает его спираль в облике винта в подъемном механизме в облике болта и гайки в крепеже и – позднее в облике вертолетного винта у Леонардо да Винчи и в облике корабельного винта или воздушного лайнера. В результатах деятельности Архимеда задышала первая промышленная революция, которая произошла чуть ли не через два тысячелетия.

Еще одним прорывом в прикладную математическую гармонию стала деятельность Ветрувия (вторая половина I века нашей эры). Ветрувий – римский архитектор и инженер, создатель осадных орудий и баллистики, архитектор, который обобщил достижения античной мысли заложил основы пропорционирования в изобразительном искусстве, архитектуре и градостроительстве опираясь на пропорции человеческого тела. Девиз Ветрувия: Прочность, Польза, Красота. Разве не отвечает, например, этому девизу построенный Ветрувием римский акведук. Этот девиз звучит очень современно, не правда ли? Иначе говоря, теория пропорций, которая до Ветрувия была чем-то умозрительным и даже порой схоластическим, в трудах римского архитектора обрела жизнь, она стала рабочим инструментом, вошла в кровь и плоть инженерного дела. Ветрувийский человек в исполнении Леонардо да Винчи, воплотивший в себе идею гармонической пропорциональности и движения, стал символом, знаменем гармонических изысканий.

Ветрувий своим творчеством поставил жирную точку в развитии античной науки и искусства.

После Ветрувия на европейском континенте в математике в том числе и той, которая была ориентирована в сторону гармонии, вплоть до эпохи Возрождения образовалось огромное зияние длиной более чем в полтора тысячелетия.

В нашем краткой заметке мы прошли мимо теории чисел – еще весьма серьезного увлечения греков. Теория чисел – ветвь математики, имеющая дело с целыми положительными числами, то есть числами натурального ряда. Эта теория, не получила должного развития, учитывая потенциал греческих математиков. И виновато здесь их великое достижение – быть может, чересчур раннее открытие «несоизмеримых величин», которые отпугнули греческих математиков от числовых изысканий. Вместо этого они утонули в дебрях чистой аксиоматической геометрии. В итоге почти на два тысячелетия авторитет греческой математики затормозил эволюцию численных методов, которые позднее образовали фундамент точных наук (Курант, Роббинс, 2001, с. 21).

А теперь подведем итоги. В виде нескольких тезисов.

1. Греческая математика со времен Пифагора до Аристотеля и Эвклида развивалась преимущественно как абстрактная, выводная, доказательная дисциплина.

2. Для греческих математиков было характерно пренебрежительное отношение к применению математических идей на практике.

3. Прикладной аспект такой абстрактной математики был также крайне абстрактным – это гармония Вселенной.

4. Высочайшим среди искусств считалась музыка, которую греки относили как и математику к умопостигающим дисциплинам. Именно поэтому греки говорили о музыке сфер.

5. В большинстве случаев идеи абстрактных математиков реализовывались на практике без их участия. Для абстрактных математиков, живших в мире идей, это было занятие второго сорта, занятием, не достойным высокого звания математика и геометра. Прикладными делами занимались люди, привязанные к материалу, в основном ваятели и зодчии или конструкторы музыкальных инструментов. Интересно, что многие абстрактные идеи эллинов были реализованы спустя столетия, если не тысячелетия.

6. Идеи греческой математики простирались преимущественно на статические, неподвижные безвременные структуры, которые соответствовали замедленному течению жизни эллинов.

7. На закате греко-римской цивилизации (Архимед, Ветрувий) среди исследователей наметилось а) смещение интереса от абстрактных структур к реальности, b) переход к изучению динамическим структур,
c) формирование новой профессии – профессии инженера, архитектора, дизайнера, занятого конструированием прочных, полезных и гармоничных объектов.

И в заключение обратим внимание читателя на панегирик высочайшего эмоционального накала в адрес великого открытия Пифагора, касающееся музыкальной гармонии: «Это великое открытие – первый шаг к тому, что физический мир может иметь в своей основе математическую структуру, вдохновило их на поиск числового закона, управляющего движением планет, «гармонией сфер». Такой закон не мог быть выражен на основе того, что пифагорейцы обычно признавали; тем не менее представляется обоснованным рассмотреть понятие числа, чтобы удовлетворить потребности геометрии (а следовательно, механики), как естественное расширение программы пифагорейцев. В этом смысле закон гравитации Ньютона выражает гармонию, которую искали пифагорейцы. Даже в самом строгом смысле Пифагор сегодня жив. Имея цифровые компьютеры, цифровые часы, цифровые аудио и видео…. мы находимся ближе чем когда-либо к миру, где все есть число» (Стилвен, 2001, с. 26-27).

И еще. Бытует мнение, что математические идеи, относящиеся к гармонии, не встречают сочувствия у современных математиков. Наш небольшой экскурс в историю греческой математики, показал, что эти математики не проходят мимо достижений античных мыслителей в этой области. В исторических или обзорных работах А. Н. Колмогорова (1988), И. М. Яглома, Д. Стилвена, Р. Куранта и многих других рассматривается и золотое сечение, и свойства многогранников, и достижения Пифагора, Платона, Эвклида, Архимеда, Ветрувия и др. Причем оценки математиков не только профессиональны, но и доброжелательны. Быть может, без особой акцентации именно гармонических моментов, но перечисленные ученые и не ставили своей целью делать эту акцентацию. У них, наверное, и так хватает хлопот. Такой акцентацией должны заниматься люди, для которых этот вид занятий если и не является смыслом жизни, то по крайней мере составляет значительную ее часть. Причем, отдавая должное математико-гармоническим изысканиям, не следует впадать в преувеличения и тем более в экзальтацию. Математика гармонии столь безусловна, что достойна трезвого к себе отношения.

Литература

Аносов Д. В. Взгляд на математику и нечто из нее. Библиотека «Математическое просвещение». Вып.3. М.: МЦНМ, 2003.

Глинкин Я. Д. Методы архитектурной гармонии. Л.: Строиздат, 1979.

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001.

Колмогоров А. Н. Математика –наука, профессия. Библиотека «Квант». Вып. 64. М.: Наука. Гл. редакция физико-математической литературы, 1988.

Оре Ойстин. Приглашение в теорию чисел. Перев. с англ. М.: Едиториал УРСС, 2003.

Платон. Сочинения в 3-ч т. Перевод с древнегреч. под ред. А. Ф. Лосева и В. Ф. Асмуса. М.: Мысль, 1972, Т. 3, ч. 1.

Пойген Х.-О., Рихтер П.Х. Что такое математика (элементарный очерк идей и методов. Перев с англ. Под ред. А.Н.Колмогорова. М.: МЦНМО, 2000.

Стахов А. П. Гипотеза Прокла: новый взгляд на "Начала" Евклида и

Математика Гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567,

публ.15195, 28.03.2009.

Стахов А. П., Райлян И. Г. «Золотая» научная парадигма: этапы большого пути от Пифагора, Платона и Евклида до «Математики Гармонии» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15615, 26.10.2009.

Стилвен Джон. Математика и ее история. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

Успенский В. А. Апология математики: сборник статей /Владимир Андреевич Успенский. СПб.: Амфора. ТИД Амфора, 2009.

Шевелев И. Ш. Принцип пропорции. О формообразовании в природе, мерной трости древнего зодчего, архитектурном образе, двойном квадрате и взаимопроникающих подобиях. М.: Стройиздат, 1986.

Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование. М.: Советское радио, 1980.