Игру нельзя».

Йохан Хейзинга, Homo ludens

Принято считать, что математика гармонии не выходит за пределы несколько усложненной элементарной математики. Это, наверное, так. Например, Генрих Тимердинг в блестящей книге «Золотое сечение» (Тимердинг, 2005) отмечает, что ее математическая часть есть лишь систематизация математических сведений из школьной математики, причем для понимания такой математики достаточно быть на уровне третьего классе (Tertia) начальной школы. Но так было в начале XX века в г. Брауншвейг (Нижняя Саксония) – тогда, когда была написана книга Тиммердинга (1918 г.) и когда в германской школе что-то говорилось о золотом сечении. В наше время таких речей почти не слышно. По крайней мере в российской школе, полностью игнорирующей идею золотого сечения и чисел Фибоначчи.

Что касается «серьезных» ученых, то они считают, что математика гармонии – это некая периферия, что это некий математический «фольклор», что это «ненужная» математика, что это математические «байки», хотя и занимательные, но в лучшем случае могущие претендовать лишь на то, чтобы занять умы смекалистых школьников. Не случайно, основательные отечественные исследования по математике гармонии (теории возвратных последовательностей и чисел Фибоначчи) вышли в свет как результат занятий со школьниками, претендующими на участие в математических олимпиадах (Маркушевич, 1951; Воробьев, 1969).

Итак, идеи золотой гармонии игнорируются как со стороны отягощенных своей серьезностью и мудростью математиков, так и со стороны далеких от математических изысков преподавателей средней школы.

Единственным подиумом (исключая, естественно активных сторонников и разработчиков математики гармонии), где без всякой стыдливости демонстрируются достоинства золотой математики, является занимательная математическая литература, насыщенная математическими тайнами, загадками, головоломками, чудесами, эдаким математическим Зазеркальем (Гарднер, 1972; Барр, 1964). Большую симпатию к золотому сечению и числам Фибоначчи испытывают и те математики, для которых эти структуры являются ярким примером реализации процесса математического творчества (Пойя, 1976) и даже эстетическим объектом, аналогичным музыкальным вариациям на заданную тему (Реньи, 1980). Это означает, что золотой пропорции и числам Фибоначчи в математике отводится ее увлекательная и смекалистая часть, загадочная и изящная в своей простоте. По большому счету это не так уж и плохо. Вдохновляет то, что золотая математика свободна как от унылости далекой от жизни математики избранных, так и от монотонного однообразия стандартной математики школ, если они даже называются гимназиями, колледжами и лицеями. Крайне любопытен при этом еще один интригующий факт. Авторы популярных и занимательных книг, получая результат, связанный с математикой гармонии, часто не сознают этого. Так, Стивен Барр в своей книге головоломок (Барр, 1975) в задаче № 95 («Задача на построение») (с.76-77) и задаче № 97 («Еще о диагоналях») (с. 78) приходит к решению кубического уравнения Падована-Газале, корень которого равен 1,325. И еще один любопытный случай. В популярной книге Л. Садовского и А. Садовского (Садовский Л., Садовский А., 1980, с. 144–149), посвященной применению теории игр и исследования операций в спорте, приводится оптимизационная «Задача о финишном рывке». В этой задаче на примере соревнований конькобежцев решается проблема оптимального выбора точки на дистанции, в которой один из соперников, если он желает выиграть, должен начинать ускоряться, чтобы приступить к финишному рывку. После ряда выкладок авторы приходят к решению квадратного уравнения, корнем которого является золотое число 0,618.

Математика гармонии – неисчерпаемый источник увлекательных свойств, которые производят прямо-таки мистическое впечатление. Все новые и новые свойства открываются чуть ли не ежечасно. Причем эти свойства удивительно красивы, всякий раз рождая восторг, восхищение и даже благоговейный эстетический трепет. Любопытно, что золотые структуры красивы сами по себе, изнутри, вне сферы их приложения. Но они же являются и средством описания прекрасного в реальном мире, и если ученому улыбается удача, то в эстетическая составляющая этой удачи слагается из гармонии, идущей от метода (математика гармонии) и от исследуемого объекта.

Итак золотые структуры – это загадочная, увлекательная часть математики, пусть и элементарной, но наполненной чудесами и тайнами. Такие «цветистые» слова для математики не характерны. Что за чудеса такие? Что за тайны? Какие еще загадки? Что это? – просто метафора или за ней прячется что-то непостижимое, что-то сверхъестественное, сакральное, мистическое? Не дыма без огня, наверное. Во всяком случае космические корни таких чудес – не только плод склонного к фантазмам воображения. Видимо, математико-гармонические структуры привлекательны не только эстетически, но и содержат мистическую, сакральную составляющую.

Но увлекательному и загадочному присуще и агональное (игровое) начало (агональность – от греческого слова , которое означает «состязание», «соперничество», «соревнование»). В этом мы уже частично убедились, когда говорили о загадках, головоломках, фокусах, являющихся результатом игры не только умного, но и веселого ума. Их занятность не лежит на поверхности, для ее рызгадывания нужна смышленость, интуиция (чем больше, тем лучше), и эти два качества создают основу для соревновательности, состязательности как формы игрового поведения.

А теперь опустимся вглубь веков.

Пифагор Самосский, для которого «все есть число», числовую гармонию понимает как игры богов. Олимпийские игры и соревнование хора и героев в трагедиях Эсхила, Софокла и Эврипида были отражением этой большой игры.

Знаменитая книга Леонардо Пизанского «Liber abaci» есть не что иное как «россыпь головоломок». Хитроумная задача о кроликах – одна из таких занимательных задач. Примечательно, что происхождение книги Фибоначчи тесно связано с «математическими турнирами» (т. е. с состязанием как игрой), которыми увлекался обласкавший Фибоначчи чудаковатый император Священной римской империи и король легкомысленного Неаполитанского королевства Фридрих II Гогенштауфен (Яглом, 1987).

Всем известно, что Лука Пачоли в своей книге «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» познакомил европейцев с золотым сечением. Эта задача была помещена в раздел необычайных задач. Там же нашла свое место и знаменитая задача о разделе ставки между игроками при прекращении в определенный момент игры в кости. Эту задачу Б.В.Гнеденко (Гнеденко, 1981, с. 9) считает предтечей теории вероятностей. И хотя решение Пачоли было неверным, она на протяжении столетий с завидным постоянством занимала умы математиков. Среди них можно назвать Дж. Кардано (1501-1576), известного в первую очередь своей причастностью к решению уравнения третьей степени. Его метод уже в новейшее время используется при нахождении корней уравнений высоких степеней в обобщениях золотого сечения. Но Кардано в «Книге об игре в кости» пытался также решить и задачу о разделе ставки. К этой задаче обратился и Николо Фонтана по прозвищу Тарталья (Заика) (1500–1557) в книге «Общий трактат о мере и числе». Его вариант решения изложен в разделе, озаглавленном «Ошибка брата Луки из Борго».

Итак, уже в XVI веке были заложены начала комбинаторики, инспирированные азартными играми. Игровой характер имели и комбинаторные задачи, связанные с числами Фибоначчи и золотым сечением.

Не вдаваясь глубоко в историю игровых задач, отметим, что Б. Паскаль (1623–1662), в переписке которого с П. Ферма родилась современная теория вероятностей, своей работой «Трактат об арифметическом треугольнике» внес значительный вклад в развитие комбинаторики на основе изучения азартных игр. Этот треугольник при определенных деформациях используется уже в новейшее время как способ интерпретации золотого сечения и одного очень популярного его обобщения – p-сечений Алексея Стахова (Стахов, 2002).

Первый теоретик математики гармонии Эдуард Люка (1842–1891) считается одним из великих дилетантов от математики. Весь свой талант он посвятил свободной математической игре (The World of Mathematics, 1956, c. 504), не слишком следуя академическим канонам. Он также питал слабость к математическим загадкам и головоломкам, что нашло отражение в его четырехтомном труде, посвященном математических развлечениям «Recreation mathematiques” (Газале, 2002, с. 223).

Мидхат Газале, вполне серьезно относясь к золотому сечению и числам Фибоначчи, не упускает случая, чтобы подчеркнуть неисчерпаемую занимательность этих структур, их обаяние и увлекательность, а некоторые задачи рассматривал как математические фокусы. Вот некоторые цитаты из его книги: «Подобно многим другим практикам от математики, я одно время забавлялся с числами Фибоначчи…» (Газале, 2002 с. 10), «Я не нашел в себе сил сопротивляться очарованию золотого сечения и его многочисленного семейства, а когда узнал о числах Падована… так и вовсе пришел в полный восторг» (Газале, там же).

Алексей Стахов также отдает должное занимательности «золотоносных» структур (например, коровам Генри Даденея), а также различного рода вариациям на тему Фибоначчи, подобным тем, которые используются в музыкальных импровизациях (Стахов, Слученкова, Щербаков, 2003). То же самое можно сказать и о вариациях на тему Фибоначчи венгерского ученого Альфреда Реньи (Реньи, 1980).

Чтобы у читателя не сложилось мнение, что математика гармонии – это что-то вроде увеселительного клуба или клуба веселых и находчивых, заметим, что в последние годы математика гармонии стремится стать мостом между элементарной математикой и высшей, вовлекая, с одной стороны, в орбиту своей компетенции все более сложные области современной математики высокого полета, а с другой, внося активный вклад в расширение возможностей новейших методов, например, фрактальной геометрии. При этом, становясь все более серьезной, математика гармонии не утрачивает шарма очаровывающей привлекательности.

Литература

Барр С. Россыпи головоломок. Перев с англ. М.: Мир, 1987.

Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов. Перевод с англ. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. Перев. с англ. М.: Наука, 1977.

Гнеденко Б. В. Из истории науки о случайном. М.: Знание, 1981.

Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1975 (Серия «Популярные лекции по математике»).

Пойя Д. Математическое открытие. Перевод с англ. М.: Наука, 1976.

Реньи А. Вариации на тему Фибоначчи / Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. С.326–352.

Садовский Л. Е., Садовский А. Л. Математика и спорт. М.: Наука, 1980.

Стахов А., Слученкова А., Щербаков B. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СПб: Питер, 2006.

Тиммердинг Г. Е. Золотое сечение. Перевод с нем. М.: КомКнига, 2005.

Хейзинга Й. Homo ludens. В тени завтрашнего дня. Перевод с англ. М.: Прогресс, 1992.

Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование. М.: Советское радио, 1980.

Яглом И. М. Предисловие к книге: Барр С. Россыпи головоломок. Перев. с англ. М.: Мир, 1987.

The World of Mathematics. New York, Simon & Schuster, 1956.