1.Введение

Как известно, математика исторически началась с двух практических задач – счета и измерения. Проблема счета, в конечном итоге, привела к формированию понятия натурального числа – первого основополагающего понятия математики, без которого немыслимо ее существование. Для изучения свойств натуральных чисел в древнегреческой науке возникла теория чисел – первая фундаментальная теория математики. «Ключевым» античным открытием в этой области является позиционный принцип представления чисел, предложенный вавилонскими математиками. Это принцип лежит в основе десятичной системы и двоичной системы – основы современных компьютерных технологий.

Проблема измерения лежит у истоков возникновением геометрии («науки об измерении Земли»). Однако «ключевое» математическое открытие в этой области было сделано в научной школе Пифагора. Речь идет о доказательстве существования несоизмеримых отрезков – открытия, которое по значимости для математики и науки в целом сравнивают с открытием геометрии Лобачевского в первой половине 19-го века и теории относительности Эйнштейна в начале 20-го века. Это открытие привело к введению в математику иррациональных чисел – второго (после натуральных чисел) основополагающего понятия математики. «Проблема несоизмеримости» вызвала первый в истории математики кризис в ее основаниях. Для ее разрешения выдающийся геометр Евдокс предложил метод исчерпывания, с помощью которого он построил теорию несоизмеримости - одно из величайших достижений древнегреческой математики. Эта теория, изложенная в «Началах» Евклида, в основном совпадает с современной теорией иррациональных чисел, предложенной Дедекиндом и Кантором в 1872 году.

Современная математика находится в состоянии глубочайшего кризиса, который начался в начале 20-го века и из которого не видно выхода. Анализ этого кризиса проведен в книге известного американского математика Мориса Клайна [1], почетного профессора Нью-Йоркского университета. В своей замечательной книге [1] Клайн пишет:

«История математики знает не только величайшие взлеты, но и глубокие падения ... Осознание того, что сверкающая великолепием витрина человеческого разума далеко не совершенна по своей структуре, страдает множеством недостатков и подвержена чудовищным противоречиям, могущим вскрыться в любой момент, нанесло еще один дар по статусу математики. Но бедствия, обрушившиеся на математику, были вызваны и другими причинами. Тяжелые предчувствия и разногласия между математиками были обусловлены самим ходом развития математики за последние сто лет. Большинство математиков как бы отгородились от внешнего мира, сосредоточив усилия на проблемах, возникающих внутри самой математики, - по существу, они порвали с естествознанием».

И далее:

«Естествознание было кровью и плотью математики и питало ее живительными соками. Математики охотно сотрудничали с физиками, астрономами, химиками и инженерами в решении различных научно-технических проблем, а часто и сами являлись выдающимися физиками и астрономами. В 17-18 вв., а также на протяжении большей части 19 в. различие между математикой и теоретическим естествознанием отмечалось крайне редко. Многие ведущие математики, работая в области астрономии, механики, гидродинамики, электромагнетизма и теории упругости, получили здесь несравненно более важные результаты, чем в собственно математике. Математика была царицей и одновременно служанкой естественных наук (выделено А.С.)».

Таким образом, вслед за Бэконом, Фурье, Клейном, Курантом и другими выдающимися математиками, Морис Клайн усматривает причину современного кризиса в математике в ее отходе от естествознания, которое в течение многих столетий было главным источником развития математики. Отход математики от теоретического естествознания является крупнейшей «стратегической ошибкой» математики 20-го века и главной причиной ее современного кризиса.

Еще одной причиной является фрагментарность современной математики, которая в настоящее время представляет собой набор различных слабосвязанных математических теорий, не имеющих общей цели и направленности. Попытки объединить различные математические теории предпринималась многими математиками. В 19-м веке выдающийся математик Феликс Клейн попытался объединить все ветви математики на основе икосаэдра, Платонового тела, дуального додекаэдру [2]. По существу исследования Клейна можно рассматривать как дальнейшее развитие так называемой «икосаэдро-додекаэдрической идеи», которая, начиная с Пифагора, Платона, Евклида и Кеплера, «красной нитью» проходит через всю историю науки. Клейн трактует икосаэдр, основанный на золотом сечении, как геометрический объект, из которого, по его мнению, вытекают ветви пяти математических теорий: геометрии, теории Галуа, теории групп, теории инвариантов и дифференциальные уравнения. Главная идея Клейна предельно проста: "Каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра». К сожалению, эта замечательная идея не получила развития в современной математике, что является еще одной «стратегической ошибкой» в ее развитии [3, 4].

В работе [3] я попытался проанализировать «стратегические ошибки» в развитии математики, а в работе [4] – показать роль «Золотого Сечения» и «Математики Гармонии» в преодолении этих «стратегических ошибок».

В настоящей статье я хотел бы еще раз привлечь внимание к этой проблеме, сконцентрировав внимание на связи «Математики Гармонии» с основаниями математики, в частности, с двумя фундаментальными теориями математики - теории чисел и теории измерения.

формате PDF (216Кб)