В последнее время на сайте «Академия Тринитаризма» появилось несколько статей проф. С.В. Василенко, посвященные «золотому сечению» и его приложениям [1-7]. Сразу хочу сказать, что С.В. Василенко обладает достаточной математической культурой – и с математической точки зрения никак претензий у меня не имеется. Я приветствую появление в нашей среде яркого исследователя, обладающего высокой математической культурой, но при этом хочу сделать одно замечание. К сожалению, большинство публикаций С.В. Василенко являются по существу повторением того, что уже сделано в этой области.

А теперь я хотел бы перейти к критическому анализу публикаций С.В. Василенко, основываясь на моих (с соавторами) публикациях в этой области [8-26] и на публикациях Олега Боднара [27-29]. В статье [4] Василенко попытался «параметризировать» симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка, введенные в статье Стахова и Розина в 2004 г. [9]. Следует отметить, что задолго до него «золотые» «параметризированные» гиперболические функции были введены Олегом Боднаром в его статье [27], опубликованной в 1992 г. В своей статье [26] я изложил критические замечания в адрес статьи [4]. В этой публикации я отметил, что в области «золотых» гиперболических функций (или гиперболических функций Фибоначчи и Люка) есть две пионерные публикации. Это – статья Боднара [27] (1992 г.) и статья Стахова и Ткаченко [8] (1993 г.). Обе статьи опубликованы в академическом журнале «Доклады Академии наук Украины» по рекомендации академика Ю.А. Митропольского. Весьма полезная идея в этой области – это симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка, введенные Стаховым и Розиным в 2004 г. [9]. Дальнейшее обобщение идеи симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка дано в статье Стахова [23], опубликованной на сайте “Академия Тринитаризма» в 2006 г. В этой статье изложена общая теория гиперболических функций Фибоначчи и Люка, основанных на «металлических пропорциях». Странно, что в статье С.В. Василенко [5], посвященной изложению «золотых» гиперболических функций, основанных на «металлических пропорциях» Веры Шпинадель, нет ссылки на статью [23].

В статье Василенко [5] есть некоторые новые результаты, касающиеся моделирования «золотых» гиперболических функций, хотя основные выводы, основанные на «металлических пропорциях» Веры Шпинадель, даны в моей публикации [23], посвященной гиперболическим функциям Фибоначчи и Люка.

Теперь несколько слов о других статьях Василенко [1, 2, 7], в которых он делает обобщения чисел Фибоначчи. Дело в том, что подобного рода обобщения уже сделаны в работах [21, 22], опубликованных мною в международном журнале “Chaos, Soltons and Fractals” (Англия) в соавторстве с E. Gokcen Kocer, Naim Tuglu (Турция) и E. Kilic (Турция). Например, в работе [21] дано так называемое q - расширение p - чисел Фибоначчи и Люка ( p ≥ 0, q ≥ 1). Речь идет о следующей рекуррентной формуле:

Эта формула зависит от двух целочисленных параметров (p ≥ 0, q ≥ 1) и рекуррентно задает бесконечное число новых числовых рядов, частными случаями которых являются классические числа Фибоначчи и Люка (р=1, q=1), p-числа Фибоначчи и Люка (q=1) и «металлические пропорции» (р=1). Кроме того, выведены непрерывные функции для q - расширения p - чисел Фибоначчи и Люка с использованием обобщенных формул Бине. А это, по существу, тот же результат, на который претендует С.В. Василенко в статье [7]. Понимая, что статьи [21, 22] недоступны для русскоязычного читателя, я опубликовал на сайте «Академия Тринитаризма» статью «О новом обобщении чисел Фибоначчи и «золотой пропорции» [25], в котором описал обобщение чисел Фибоначчи и Люка, изложенное в работах [21, 22]. Мне непонятно, почему С.В. Василенко проигнорировал эту статью в своей публикации [7].

Подводя итог критическому анализу работ С.В. Василенко, я хотел бы сказать следующее:

Я далек от обвинений С.В. Василенко в плагиате и считаю, что все исследования, изложенные в работах [1-5, 7], выполнены С.В. Василенко самостоятельно. Хотелось бы отметить достаточно высокий математический уровень работ С.В. Василенко.

Однако, я рекомендую С.В. Василенко, приступая к исследованиям в этой области, внимательно ознакомиться со всеми публикациями в области «золотого сечения» как в русскоязычной, так и англоязычной литературе. Это позволит избежать «ляпсусов», на которые я обратил внимание в этой статье.

В заключение я хотел бы остановиться на статье С.В. Василенко «Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение» [6]. По существу, это - одна из первых попыток связать "Золотое Сечение" с фрактальными структурами, основанными на правильных многоугольниках. И как мне кажется, попытка - весьма успешная. Так что мне хотелось бы поздравить своего земляка проф. Василенко с публикацией оригинальной статьи. Считаю, что в лице проф. Василенко наш Клуб получил серьезного исследователя в области ЗС. И я очень просил бы проф. С.В. Василенко не обижаться на меня за критические замечания, изложенные в настоящей заметке.

Литература:

1.С.Л. Василенко, Обобщенные «золотые» pk-пропорции // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14756, 27.03.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321080.htm

2.С.Л. Василенко, Аналитика «золотых» пропорций // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14795, 12.05.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321085.htm

3.С.Л. Василенко, Развитие задачи о «золотом» сечении и связанных с ним числах Фибоначчи и Люка // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14833, 05.07.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321086.htm

4.С.Л. Василенко, Гиперболические функции «золотого» сечения // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14931, 05.12.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321092.htm

5.С.Л. Василенко, «Золотые» гиперболические миры // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15103, 17.02.2009 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321094.htm

6.С.Л. Василенко, Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15108, 21.02.2009 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321095.htm

7.С.Л. Василенко, Многофункциональное обобщение «золотого» сечения // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15117, 23.02.2009 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321097.htm

8.Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993 г.

9.Stakhov A, Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23(2): 379-389.

10.A.P. Stakhov. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering, 2005, Chaos, Solitons & Fractals, Volume 26, Issue 2: 263-289

11.Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar . Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26(3); 677-684.

12.Stakhov A., Rozin B. The “golden” algebraic equations. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1415-1421.

13.Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1162-1177.

14.Stakhov A., Rozin B. The continuous functions for the Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2006, 28 (4): 1014-1025.

15.Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26 (2): 263-289.

16.Stakhov A. Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1124-1146.

17.Stakhov A. Fibonacci matrices, a generalization of the “Cassini formula”, and a new coding theory. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, Volume 30, Issue 1, 56-66.

18.Stakhov A. The “golden” matrices and a new kind of cryptography. Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.

19.Stakhov A. The generalized golden proportions, a new theory of real numbers, and ternary mirror-symmetrical arithmetic. Chaos, Solitons & Fractals, 2007, Volume 33, Issue 2: 315-334

20.Alexey Stakhov and Boris Rozin. The “golden” hyperbolic models of Universe
Chaos, Solitons & Fractals, 2007, Volume 34, Issue 2: 159-171

21.E. Gokcen Kocer, Naim Tuglu and Alexey Stakhov. On the m-extension of the Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals (In Press), Available online 29 October 2007

22.E. Kilic and A.P. Stakhov. On the Fibonacci and Lucas p-numbers, their sums, families of bipartite graphs and permanents of certain matrices. Chaos, Solitons & Fractals (In Press), Available online 19 November 2007

23.А.П. Стахов, Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm

24.А.П. Стахов, От «Золотого Сечения» к «Металлическим Пропорциям». Генезис великого математического открытия от Евклида к новым математическим константам и новым гиперболическим моделям Природы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14774, 16.04.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321081.htm

25.А.П. Стахов, О новом обобщении чисел Фибоначчи и «золотой пропорции» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14681, 02.01.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321073.htm

26.А.П. Стахов, Комментарий по поводу статьи С.Л. Василенко «Гиперболические функции «золотого» сечения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15033, 09.01.2009 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321097.htm

27.Боднар О.Я. Геометрия филлотаксиса. Доклады Академии наук Украины. 1992, №9, с. 9-15.

28.Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов: Изд-во «Свит», 1994.

29.Боднар О.Я. Золотий перерiз i неевклiдова геометрiя в науцi та мистецтвi. Львiв: Украiнськi технологii, 2006.