Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения -Дискуссии

Мартыненко Г.Я.
Cтепенные средние в теории золотого сечения
Oб авторе

Классическая золотая пропорция обладает двумя важными свойствами: свойством аддитивности и свойством мультипликативности. Оба свойства вытекают из системы уравнений классической формулировки золотой пропорции:

,

где с — «целое», состоящее из а — «большего» и b — «меньшего».

Оба уравнения отражают феномен «соучастия» «большего» и «меньшего» в «целом», а также единство «целого» и его частей.

Второе уравнение можно переписать в виде

.

Это выражение суть не что иное как среднее геометрическое, которое и выполняет прежде всего холистическую функцию. Однако эффект целостности может формироваться и посредством других видов средних: средней гармонической, средней арифметической, средней квадратической и др.

Обратимся к средней гармонической и построим новую систему уравнений. Первое уравнение оставим неизменным, а вместо второго, основанного на средней геометрической, введем уравнение, построенное на основе средней гармонической:

.

Перейдем к «долевому» варианту второго уравнения, полагая «целое», равным единице:

.

Теперь преобразуем это выражение в квадратное уравнение:

.

Решая это уравнение, получаем:

,

Следовательно, .

Итак, при заданных условиях «большее» равно 0,586, «меньшее» — 0,414, а отношение «большего» к «меньшему» равно . Таким образом, мы получили «золотое соотношение», связанное с замечательным числом .

Теперь перейдем к интерпретации через среднюю квадратическую.

«Долевая» система уравнений имеет вид:

а квадратное уравнение:

Итак, при заданных условиях «большее» равно 0,732, «меньшее» — 0,268, а отношение «большего» к «меньшему» — .

Таким образом, мы получили еще одно замечательное соотношение, но уже основанное на средней квадратической.

В заключение рассмотрим пропорцию, основанную на средней арифметической.

Исходная система уравнений имеет вид:

Уравнение для отыскания очень простое:

, откуда получаем

Итак, при заданных условиях «большее» равно 0,667, «меньшее» — 0,333,
а отношение «большего» к «меньшему» равно 2.

Подведем итоги, оформив их в виде таблицы.

Поря­док сред­ней

Тип сред­ней

–1

Средняя гармони­ческая

0

Средняя геометри­ческая

1

Средняя арифмети­ческая

2

Средняя квадрати­ческая


Из таблицы следует, что

1) по мере возрастания порядка средней возрастает доля «большего» и отношение «большего» к «меньшему» в полном соответствии с правилом мажорантности средних (Общая теория…, 1977).

2) Все сечения характеризуются участием замечательных чисел 2, 3, 5, (Стахов, 2006).

3) Большинство чисел таблицы имеют тригонометрические репрезентации, например, в последней строке есть (Цыпкин, 1985).

Конечно, список сечений, приведенный в таблице, не является полным. Можно
в принципе использовать любые, в том числе экзотические, степени средней. Так, если такая степень будет равна 1/2, то ,, а .

Литература

Общая теория статистики. Под редакцией Боярского А.Я. М., Изд-во МГУ, 1977

Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии // Проблеми гармонi п, симетрi п i золотого перетину в природi, науцi та мiстецтвi. Вiнниця: Вiнницький державний аграрний унi верситет, 2003. С. 8–26.

Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ: Справочник. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1985


Мартыненко Г.Я., Cтепенные средние в теории золотого сечения // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14652, 05.12.2007

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru