|
Классическая золотая пропорция обладает двумя важными свойствами: свойством аддитивности и свойством мультипликативности. Оба свойства вытекают из системы уравнений классической формулировки золотой пропорции:
,
где с — «целое», состоящее из а — «большего» и b — «меньшего».
Оба уравнения отражают феномен «соучастия» «большего» и «меньшего» в «целом», а также единство «целого» и его частей.
Второе уравнение можно переписать в виде
.
Это выражение суть не что иное как среднее геометрическое, которое и выполняет прежде всего холистическую функцию. Однако эффект целостности может формироваться и посредством других видов средних: средней гармонической, средней арифметической, средней квадратической и др.
Обратимся к средней гармонической и построим новую систему уравнений. Первое уравнение оставим неизменным, а вместо второго, основанного на средней геометрической, введем уравнение, построенное на основе средней гармонической:
.
Перейдем к «долевому» варианту второго уравнения, полагая «целое», равным единице:
.
Теперь преобразуем это выражение в квадратное уравнение:
.
Решая это уравнение, получаем:
,
Следовательно, .
Итак, при заданных условиях «большее» равно 0,586, «меньшее» — 0,414, а отношение «большего» к «меньшему» равно . Таким образом, мы получили «золотое соотношение», связанное с замечательным числом .
Теперь перейдем к интерпретации через среднюю квадратическую.
«Долевая» система уравнений имеет вид:
а квадратное уравнение:
Итак, при заданных условиях «большее» равно 0,732, «меньшее» — 0,268, а отношение «большего» к «меньшему» — .
Таким образом, мы получили еще одно замечательное соотношение, но уже основанное на средней квадратической.
В заключение рассмотрим пропорцию, основанную на средней арифметической.
Исходная система уравнений имеет вид:
Уравнение для отыскания очень простое:
, откуда получаем
Итак, при заданных условиях «большее» равно 0,667, «меньшее» — 0,333,
а отношение «большего» к «меньшему» равно 2.
Подведем итоги, оформив их в виде таблицы.
Порядок средней |
Тип средней |
|
|
|
|
–1 |
Средняя гармоническая |
||||
0 |
Средняя геометрическая |
||||
1 |
Средняя арифметическая |
||||
2 |
Средняя квадратическая |
Из таблицы следует, что
1) по мере возрастания порядка средней возрастает доля «большего» и отношение «большего» к «меньшему» в полном соответствии с правилом мажорантности средних (Общая теория…, 1977).
2) Все сечения характеризуются участием замечательных чисел 2, 3, 5, (Стахов, 2006).
3) Большинство чисел таблицы имеют тригонометрические репрезентации, например, в последней строке есть (Цыпкин, 1985).
Конечно, список сечений, приведенный в таблице, не является полным. Можно
в принципе использовать любые, в том числе экзотические, степени средней. Так, если такая степень будет равна 1/2, то ,, а .
Литература
Общая теория статистики. Под редакцией Боярского А.Я. М., Изд-во МГУ, 1977
Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии // Проблеми гармонi п, симетрi п i золотого перетину в природi, науцi та мiстецтвi. Вiнниця: Вiнницький державний аграрний унi верситет, 2003. С. 8–26.
Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ: Справочник. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1985