Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения -Дискуссии

А.П. Стахов
Гиперболические функции Фибоначчи и Люка:
история и приложения
Oб авторе

Аннотация

Недавно в математику введен новый класс гиперболических функций. К этому открытию независимо друг от друга пришли украинские ученые Боднар О.Я., Стахов А.П., Ткаченко И.С. и Розин Б.Н. В статье обсуждается история возникновения нового класса гиперболических функций и их приложения в современной науке.

1. Классические гиперболические функции

Из средней школы мы хорошо знаем тригонометрические функции, а именно синус, косинус и производные от них тангенс, котангенс и другие. Мы также знаем, что существует ряд математических соотношений, связывающих тригонометрические функции. Все, кто изучал тригонометрию, помнят об одном из них, связывающим косинус и синус:
cos2x +sin2x = 1. (1)

Однако не все выпускники средней школы знают, что кроме тригонометрических синусов и косинусов существуют еще так называемые гиперболические функции, а именно гиперболический синус, гиперболический косинус и другие. Тригонометрические и гиперболические функции вместе с некоторыми другими важными математическими функциями образуют очень важный класс так называемых элементарных функций, которые очень широко используются в математике.

В отличие от тригонометрических функций, которые не имеют определения в аналитической форме, гиперболические функции могут быть представлены в следующем виде:

  1. Гиперболический синус
    (2)
  2. Гиперболический косинус
(3)

где число е – одна из важнейших математических констант математики (основание натуральных логарифмов).

Существует ряд изящных математических выражений для гиперболических функций. Одно из них, связывающих гиперболический синус и косинус, имеет следующий вид:
ch2x - sh2x = 1. (4)

Гиперболические функции так же широко распространены в математике, как и тригонометрические функции. Наиболее известным примером их применения является неевклидова геометрия, созданная гениальным русским геометром Николаем Лобачевским в первой половине 19 в. Именно поэтому геометрию Лобачевского называется также гиперболической геометрией. В начале 20 в. известный немецкий математик Герман Минковский использовал гиперболические функции для весьма интересной геометрической интерпретации теории относительности Эйнштейна («четырехмерный мир Минковского»).

2. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

Одним из современных математических результатов в теории чисел Фибоначчи является открытие так называемых гиперболических функций Фибоначчи и Люка [1-4]. Расскажу об истории их открытия. В 1984 г. издательство «Радио и связь» (Москва) опубликовало мою книгу «Коды золотой пропорции» [5]. В этой книге знаменитые формулы Бине, выведенные в 19-м веке, были приведены в несколько необычном виде:

(5)
(6)
>

где (золотая пропорция), а дискретная переменная k принимает значения из множества 0, ± 1, ± 2, ± 3, …

Заметим, что формулы Бине (5), (6) представляют собой удивительные математические формулы, которые связывают целые числа и иррациональные. Действительно, левые части выражений (5), (6) всегда представляют собой целые числа, числа Люка Ln и числа Фибоначчи Fn. C другой стороны, левые части выражений (5), (6) представляют собой суммы и разности иррациональных чисел t 2k и t -2k. Особенно невероятными кажутся формулы Бине для чисел Фибоначчи, в которых числа Фибоначчи выражаются суммой или разностью типа t 2k ± t -2k , деленной на иррациональное число .

Одним из внимательных читателей моей книги [5] был кандидат физико-математических наук Иван Семенович Ткаченко, которого я пригласил для работы на кафедре прикладной математики и вычислительных систем Винницкого политехнического института, организованной в 1989 г. (позже И.С. Ткаченко защитил докторскую диссертацию в области экономики). Однажды он взволнованно сообщил мне, что в результате изучения формул Бине, приведенных в книге [5], он увидел их аналогию с гиперболическими функциями (2), (3) и что на этой основе может быть разработан новый класс гиперболических функций. Действительно, выражения (5), (6) по своей форме напоминают классические гиперболические функции (2), (3). Таким образом, в книге [5] по существу была впервые изложена идея “гиперболических функций Фибоначчи и Люка», развитых в работах [1-4].

Суть гиперболических функций Фибоначчи и Люка [1], вытекающих из формул Бине (5) и (6), состоит в следующем. Если мы заменим дискретную переменную k в формулах (5) - (6) непрерывной переменной x, принимающей значения из множества действительных чисел, то мы придем к четырем непрерывным функциям переменной x:

Гиперболический синус Фибоначчи

. (7)

Гиперболический косинус Фибоначчи

. (8)

Гиперболический синус Люка

(9)

Гиперболический косинус Люка

. (10)

Заметим, что функции (7)-(10) основаны на знаменитой золотой пропорции , которая играет в этих функциях ту же роль, что и число е в классических гиперболических функциях (2), (3).

Заметим также, что для дискретных значений переменной x=k=0, ±1, ±2, ±3, ... фибоначчиевые и люковые гиперболические функции (7)-(10) совпадают с числами Фибоначчи и числами Люка, причем
sFk = F2k; cFk = F2k+1; sLk = L2k+1; cLk = L2k. (11)

Таким образом, основной результат, вытекающий из этих достаточно элементарных рассуждений (мы просто заменили дискретную переменную k на переменную x), состоит во введении двух новых типов элементарных функций, гиперболических функций Фибоначчи и Люка, задаваемых (7)-(10). Эти функции очень похожи по своей форме на классические гиперболические функции, но отличаются от них одной особенностью. В отличие от классических гиперболических функций новые гиперболические функции имеют числовой аналог, а именно, числа Фибоначчи являются дискретным аналогом фибоначчиевых гиперболических функций, а числа Люка – дискретным аналогом люковых гиперболических функций. Именно этот факт является чрезвычайно важным для объяснения причин широкого проявления чисел Фибоначчи и Люка в живой природе (явление филлотаксиса). Но главной особенностью является то, что в качестве основания новых функций используется «золотая пропорция».

Конечно, можно иронизировать по поводу нового класса гиперболических функций, задаваемых (7)-(10). Все ведь так просто! Заменили в формулах (2), (3) число е на число t и получили новый класс гиперболических функций. Где же здесь «математическое открытие»? Кто-то сказал, что «открытие интимно, близко к тебе, пока живет в твоей голове, затем оно становится шлюхой, доступной каждому». Вряд ли кто-либо до нас с Ткаченко догадывался, что кроме классических гиперболических функций могут существовать другие гиперболические функции. Но после того, как подобные функции были открыты и они стали «шлюхой, доступной каждому», некоторые современные «ученые» начали подвергать это «открытие» сомнению ввиду предельной простоты этого открытия. Но такие же замечания можно высказать и по поводу, например, открытия пифагорейцами «несоизмеримых отрезков», которое может доказать сейчас любой школьник. Что же это за «открытие»? Заслуга пифагорейцев состоит, однако, в том, что они СДЕЛАЛИ ЭТО ПЕРВЫМИ! Точно также наша с Ткаченко заслуга состоит в том, что ФОРМУЛЫ (7)-(10) БЫЛИ ВВЕДЕНЫ НАМИ В НАУКУ ВПЕРВЫЕ!

Таким образом, разработка теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка была начата мною с И.С. Ткаченко еще с 1984 г., то есть сразу же после публикации моей книги [5]. Первая наша статья с Ткаченко, в которой описаны гиперболические функции Фибоначчи и Люка была опубликована в виде препринта где-то в 1987 или 1988 г., но первая наша совместная статья в серьезном научном журнале «Доклады Академии наук Украины» появилась только в 1993 г. [1]. Новый класс гиперболических функций был высоко оценен выдающимся украинским математиком академиком Ю.А. Митропольским, который не стал «зубоскалить» по поводу нового класса гиперболических функций, а дал блестящую рецензию на эту статью.


3. Работы Боднара и Ясинского


3.1. Геометрия Боднара

Где-то в 1989 или 1990 г. уже имея на руках препринт с изложением гиперболических функций Фибоначчи и Люка, я встретился во Львове с украинским архитектором кандидатом архитектуры Олегом Боднаром. То, что он мне рассказал, меня просто потрясло. Оказывается, что независимо от нас с Ткаченко Олег Боднар пришел к тем же гиперболическим функциям, которые отличаются от наших с Ткаченко функций только постоянными коэффициентами. Боднар назвал эти функции «золотыми» гиперболическими функциями. Однако основное научное достижение Боднара состоит все же в другом. Используя свои «золотые» гиперболические функции, Боднар разработал новую геометрическую модель филлотаксиса, изложенную в его книге «Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусствt» [6]. Именно использование «золотых» гиперболических функций, которые в дискретных точках совпадают с числами Фибоначчи и Люка, позволило Боднару доказать, почему на поверхности «филлотаксисных объектов» появляются «фибоначчиевые» спирали. Я многократно подчеркивал в своих работах, что открытие львовского архитектора может быть сравнено с открытиями Кеплера или Ньютона, потому что он раскрыл «механизм» роста филллотаксисных объектов и показал, что в основе живой природы лежит специальная геометрия, основанная на «Золотом Сечении»! И не вина Боднара в том, что современная наука пока не в состоянии оценить это выдающееся открытие. А разве по-другому было с открытиями Николая Лобачевского или Эвариста Галуа в 19 веке? Ведь было время, когда теория «казанского ректора» Лобачевского было предметом «зубоскальства» в российской академической науке (Остроградский), а гениальные математические работы Галуа французские академики-математики выбрасывали в мусорную корзину. Ведь работы Лобачевского были признаны российской академической наукой только после их признания Гауссом и другими западными учеными. Я уверен, что наступит время, когда открытие Боднара будет внесено в реестр выдающихся научных открытий 20-го века.


3.2. Гиперболические функции Ясинского


В 2003 г. под моим научным руководством в украинском городе Винница на базе Винницкого аграрного университета была проведена Международная конференция «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве». В работе конференции приняли участие многие известные специалисты. Одним из них, с которым я познакомился на конференции, был полковник Ясинский С.А. (Санкт-Петербург). Он подарил мне только что опубликованную книгу [7]. Когда уже после конференции я прочитал книгу Ясинского, меня просто «резанули» некоторые факты. Критикуя нашу работу с Ткаченко [1], Ясинский указывает на тот их недостаток, что в знаменателе «гиперболического синуса и косинуса» (7), (8) имеется число , что недопустимо с точки зрения “проблемы параметризации» (кстати, в гиперболических функциях Люка (9), (10) такой коэффициент отсутствует). Но неужели Ясинскому непонятно, что как только мы уберем коэффициент из знаменателя выражений (7) и (8), мы сразу же потеряем связь нового класса гиперболических функций с числами Фибоначчи! Далее Ясинский вводит так называемые «Фидиевые гиперболические функции» (с.106). И вот здесь меня ждал сюрприз. Дело в том, что введенные Ясинским «Фидиевые гиперболические функции» на 100% совпадали с «золотыми» гиперболическим функциями Боднара; при этом никакой ссылки на работы Боднара в книге [7] нет. Прочитав книгу Ясинского еще более внимательно, я обнаружил новые «ляпсусы» подобного рода. Например, Ясинский широко использует обобщенные числа Фибоначчи, введенные в математику Джееем Капраффом, Мидхатом Газале и Александром Татаренко, но никаких ссылок на работы этих авторов в книге Ясинского нет. Видимо, это сделано с целью создания иллюзии, что эти важные обобщения чисел Фибоначчи сделаны Ясинским.

Мне не хотелось бы обсуждать проблему приоритета в открытии нового класса гиперболических функций. Ясно одно, что Ясинский к этим функциям никакого отношения не имеет. Ясно также, что мы с Ткаченко пришли к этим функциям независимо от Боднара. Боднар пришел к этим функциям интуитивно и затем «подогнал» их по форме к классическим гиперболическим функциям (2), (3), что с точки зрения геометрической теории филлотаксиса не совсем удобно, потому что именно наличие коэффициента в выражениях (7), (8) приводит к тому, что в дискретных точках функции (7), (8) согласно (11) совпадают с числами Фибоначчи, что важно для теории филлотаксиса, то есть функции (7), (8) значительно ближе к реальной действительности, чем «золотые» гиперболические функции Боднара. Мы с Ткаченко пришли к функциям (7)-(10), отталкиваясь от формул Бине (5), (6), то есть, основываясь на строго математической точке зрения. Приятно отметить, что именно наша статья с Ткаченко [1], опубликованная в «Докладах Академии наук Украины» привлекла внимание математической общественности, что подтверждается ссылкой на эту статью в статье Fibonacci Hyperbolic Functions. From WolframMathWorld [8]. Хотя, конечно, было бы неплохо, чтобы бы там была ссылка и на книгу Боднара [6]. Но ни в коем случае ни на книгу Ясинского [7]. При этом важно подчеркнуть, что новый класс гиперболических функций открыты представителями украинской науки!


4. Дальнейшее развитие теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка


Свое дальнейшее развитие теория гиперболических функций Фибоначчи и Люка получила работе Стахова и Розина [2, 3]. В этой работе введены так называемые симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка.

Симметричный гиперболический синус и косинус Фибоначчи:

; (12)

Симметричный гиперболический синус и косинус Люка:

(13)

Как показано в работах [2, 3], основной особенностью функций (12), (13) является то, что при дискретных значениях переменной x, то есть, когда x принимает значения из множества {0, ±1, ±2, ±3, …}, гиперболические функции Фибоначчи и Люка (12), (13) совпадают с числами Фибоначчи и числами Люка.

Следующим научным результатом в этом направлении является введение нового класса гиперболических функций Фибоначчи и Люка, основанных на формулах Газале [4]:

Гиперболический синус Фибоначчи порядка m

(14)

Гиперболический косинус Фибоначчи порядка m

(15)

Гиперболический синус Люка порядка m

(16)

Гиперболический косинус Люка порядка m

(17)

Заметим, что гиперболические функции (14)-(17) являются обобщением симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка, введенными в [2, 3]. При m=1 функции (14)-(17) сводятся к симметричным гиперболическим функциям Фибоначчи и Люка (12), (13).


5. Некоторые следствия из новой теории гиперболических функций

5.1. «Непрерывный» подход к теории чисел Фибоначчи.


Какое же значение имеют введенные выше гиперболические функции Фибоначчи и Люка для развития современной науки, в частности, математики? Чтобы ответить на этот вопрос, напомним, что для дискретных значений x=k (k=0, ± 1, ± 2, ± 3, …) фибоначчиевые и люковые синусы и косинусы, задаваемые (7)-(10) и (12), (13) совпадают с классическими числами Фибоначчи и Люка. Именно этот математический факт позволяет развить так называемый «непрерывный» подход к теории чисел Фибоначчи, которая является частью теории чисел, изучающей такие «дискретный объекты» как натуральные числа. Тогда традиционный «дискретный» подход к теории чисел Фибоначчи может быть заменен «непрерывным» подходом, когда мы вначале находим некоторые тождества для гиперболических функций Фибоначчи и Люка, а затем даем им «фибоначчиевую» интерпретацию. То есть гиперболические функции Фибоначчи и Люка (7)-(10), (12), (13) являются более сложными математическими объектами, чем классические числа Фибоначчи и Люка. А «теория чисел Фибоначчи» при этом как бы «вырождается», так как сводится к более общей теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка. То есть математикам-фибоначчистам после введения нового класса гиперболических функций, задаваемых (7)-(17), вроде бы ничего не остается делать, как «сушить весла». Центр этих исследований смещается к гиперболическим функциям Фибоначчи и Люка!


5.2. Новые гиперболические модели Природы.


Но самый больший математический интерес представляют формулы, задаваемые (14)-(17). Трудно вообразить, что количество новых гиперболических функций Фибоначчи и Люка, задаваемых (14)-(17), бесконечно, так как каждому m (m – положительное действительное число) соответствует свой вариант гиперболических функций. Самое важное, что новый класс гиперболических функций представляет собой фундаментальный интерес для гиперболической геометрии и теоретической физики, так как порождает бесконечное число новых геометрических моделей Природы, и может привести к переосмысливанию «гиперболической геометрии Лобачевского» и «пространства Минковского» (гиперболической интерпретации специальной теории относительности Эйнштейна.


Литература:


1. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993 г.

2. Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function - Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 23, No.2, р. 379-389.

3. Alexey Stakhov and Boris Rozin. The Golden Section, Fibonacci series and new hyperbolic models of nature A. Visual Mathematics, Volume 8. No.3, 2006 http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/stakhov/index.html

4. Стахов А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm

5. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва: Радио и связь, 1984.

6. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов: Свит, 1994.

7. Ясинский С.А. Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи. Москва. Горячая линия-Телеком, 2004.

8. Fibonacci Hyperbolic Functions. From WolframMathWorld http://mathworld.wolfram.com/FibonacciHyperbolicFunctions.html


А.П. Стахов, Гиперболические функции Фибоначчи и Люка: история и приложения // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14429, 31.05.2007

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru