…Однако давайте оглянемся на уже известное. Поговорим о среднем геометрическом. Разберемся в его отношениях. Ведь не случайно, наверное, оно постоянно возникает в нашем путешествии по Саду «Золотой пропорции». И оно же, возможно, нас выведет к какой-то теме. Здесь всё взаимосвязано, мы знаем…

Посмотрите этот рисунок одной величины, как средне-геометрической. А в комментарии к нему становится понятен общий геометрический смысл.

Или вот такой рисунок справа. Им задается квадратное уравнение для а=j₁. Здесь b=a+1 и или . Как видите, здесь основная связь – средне-геометрическая…

Давайте посмотрим на ряд значений, образующих какую-то последовательность; посмотрим буквально – то есть «геометрически». Отложенные на линии величины чисел образуют «шкалу».

Любая шкала показывает характер изменения какого-то параметра. Если в природе происходит нарастание какого-то параметра, то оно происходит, обычно, равномерно по отношению к предыдущим значениям, то есть в определенном равномерном отношении, равномерном произведении. Изменение параметра по показательной функции будем называть «природной шкалой». То есть природная шкала – это какая-то показательная функция (экспонента) – для реальных значений какого-то параметра. Или по другому, природная шкала, как шкала значений показательной функции «y=a^x», есть некая логарифмическая спираль. Логарифмическая спираль – образ природной шкалы. Беря логарифм от такой реальной природной шкалы, мы получаем для себя шкалу равномерного суммирования (x=log_aa^x).

Шкала натуральных чисел – это арифметическая прогрессия. А природные шкалы устроены - по геометрической. Люди для удобства «k» превращают в «D ». Кстати, также поступает наш организм при восприятии звука и других объектов восприятия. Но оправдано ли это в познании…

Существует общая особенность нашего восприятия – логарифмическая шкала над реальным миром. Основанием восприятия громкости является «10», основанием для высоты звука – «2», основанием восприятия яркости – «~2,5»… Возьмем произвольную физическую шкалу степенных отрезков (aⁿ). Интересно отметить, что такая шкала степенных отрезков (aⁿ) заворачивается в логарифмическую спираль так, что эти отрезки размещаются между ортогональными осями (т.е. в ритме 90°).

На нижнем рисунке сверху представлена некая «природная шкала» с коэффициентом j ₂ между соседними значениями. Штрихами на общей оси «закреплены» также члены ряда Фибоначчи «1-1-2-3».

На ней воочию видно, что шкала степенных значений j ₂ сдвинута по отношению шкалы ряда Фибоначчи так, что ее отметки (ее числа) делят целочисленный промежуток между отметками шкалы Фибоначчи по Золотой пропорции.

По «k» последовательным членам такой шкалы нам интересно знать их среднее геометрическое. Беря эти значения при возрастающем количестве последовательных членов (k), мы получим некий ряд.

Итак, формула равномерно возрастающей от «а» по геометрической прогрессии шкалы (или природной шкалы): q=a^X, где х – любое вещественное число. Для дальнейшего анализа нам интересны значения «q» при одинаковых шагах (интервалах) «х». Поэтому, во-первых, это может быть положительный участок «х». И, во-вторых, значения степени могут быть натуральным (целочисленным) рядом. Тогда наша формула будет проще: q=aⁿ, где n = 1 ё Ґ. (Логарифмическая шкала от нашей природной выразится, например, так: q_lg = nЧlga)

Итак, общая формула среднего геометрического «природной шкалы»: . (Посмотрите на выражение степени. Это среднее арифметическое и является средним в логарифмической шкале, производной от нашей «природной».) И ниже представлена таблица, интересующей нас зависимости для средне-геометрического «g».

Каждое следующее значение среднего геометрического отличается в Цa. Наше a=j₂ (или j₁). На верхних рисунках мы видели постоянное «гуляние» по нему именно этих табличных выражений. То есть в сетке углов «B₀-B₁» постоянно (везде и всюду на углах B₀ и B₁) порождаются средние геометрические величины.

Возьмем ряд значений среднего геометрического 2-х отрезков. Каждому значению будет соответствовать свой прямой треугольник. Приведем эти треугольники к величине одинакового среднего геометрического: Цab=1 или a=1/b. Каждый такой треугольник будет характеризоваться своим D =a- b. Нетрудно выразить «a» и «b» через эту «D ».

В тексте «О взаимообратных числах» была такая общая формула для выражения отношений, подобных Золотой пропорции:

Здесь D є m/t и, как известно, D =k₂–k₁. А для ЗП D =1. То есть ЗП возникает в отношениях отрезков со своим средним геометрическим, когда оно равно разности отрезков: . Из этой формулы заменой получается интересное уравнение: a² – 3ab + b² = 0, – с единственным решением в виде двух значений ЗП: j ₂ и j₁ для «a» или «b».

Отношения ЗП – это особый случай среднего геометрического. И у нее свой треугольник Золотой пропорции – второй от начала этого текста. Но вот «Золотой треугольник» все же не он… (Им является или 1-ый, или равнобедренный с углом 36° в вершине.)

Построим таблицу разных значений «а» и «b» при условии, что их среднее геометрическое равно «1».

(Интересное соотношение из таблицы: .)

Данные этой таблицы помогают построить нижний левый рисунок. Для сравнения эти же треугольники построены на одной гипотенузе на правом рисунке.

Посмотрите на красивый левый рисунок с одинаковым средним геометрическим. В нем вырисовывается сторонами «b», как ограничивающими касательными, некая кривая. Что же за кривую (какой формулы) образуют эти большие стороны треугольников, как касательные к ней, так что она (кривая) формируется в их множестве минимальными ординатами для каждого «х»? Оформим математически этот сформулированный вопрос.

Это условие для всех «b» можно выразить так (через общее значение для ординаты):

.

Возьмем производную и приравняем к «0» (для связи с минимальным значением):

.

Получаем условие минимального значения функции: bx=2.

(Интересно то, что данную зависимость можно найти простым рассуждением, идя по исходному рисунку от треугольника (из множества) с b=1.)

То есть мы получили, что для каждого «х» значение «у» нашей кривой определяется такой стороной «b», которая равна 2/x или такой прямой y=kx+c, у которой k = - tga = - 1/b = - x/2 при c = y_(x=0) = (a+b)Ч tga = (a+b)/b = 1/b² +1.

Тогда можно составить уравнение: .

И построить точный график.

Какой может быть здесь связь с ЗП, которая связана одним своим коренным свойством (ab=1) со средним геометрическим? Эти отношения связаны с «четверками» или с «квадратами половинок». В этом структурное сходство с формулой Золотой пропорции:

.

Знаки «+» и «- » в структурном сопоставлении не имеют принципиального значения. В формуле параболы знак «- » просто поворачивает ее вниз (можно, например, весь рисунок перевернуть и сместить ось Х).

Эту параболу А.П.Саврухин прокомментировал и дополнил следующим образом. Абсцисса «2» сама является средним геометрическим между величинами на оси «Y», при этом в ее аналогичном прямом треугольнике - a_y=|+1|, b_y=|- 4| (угол y °).

При этом в самом общем виде для параболы всегда выполняется такое среднее геометрическое соотношение: .

Мне же вспомнились овалы Кассини, формула (коэффициент) которых есть средне-геометрическое их радиус-векторов. Причем эта величина для каждого отдельного овала — постоянная…

Овалы Кассини меняют свою форму из-за изменения значения произведения радиус-векторов. Пограничные для разных типов овалов имеют таким произведением определенные значения относительно расстояния «а» между фокусами и центром. Лемниската – первая граничная кривая, срединная между эллипсовидными с «талией» и парными отдельными яйцевидными овалами (стремящимися к 2-м окружностям вокруг полюсов); ее r_1Ч r₂=a². Следующим граничным овалом за лемнискатой является овал с горизонтальными участками; его r_1Ч r₂=(Ц2Ч a)², отметка горизонтального участка y=a, максимальная абсцисса X_max=Ц3Ч a. Будем называть (при «а», отнесенном к «1») «коэффициентом овала» , являющееся средним геометрическим радиус-векторов. Для лемнискаты k=Ц 1, для 2-го граничного овала k=Ц 2. Посмотрите на это семейство овалов Кассини.

Из рисунка видно, что в овалах Кассини соотношение размеров по ортогональным осям строится «на квадратных корнях». Но это только часть видимого. Взаимосвязь через квадратный корень становится еще убедительнее в следующем выражении: . Здесь «k» – это по определению овалов то самое среднее геометрическое радиус-векторов: .

Приведем 3 формулировки этого интересного свойства (или правила) овалов Кассини.

А. алгебраическая:

Коэффициент овала равен квадратному корню из полу-суммы квадратов наибольших значений X и Y (точек пересечения с осями).

Б. «статистическая»:

Коэффициент овала равен среднему квадратичному «габаритных» значений по X и Y.

В. геометрическая:

Коэффициент овала равен равнобедренному катету от гипотенузы, проведенной между точками пересечения с осями X и Y.

Интересно в таком случае, а есть ли здесь знаменитые Цj ₁ и Ц j ₂ ? Есть. Проведите из любого фокуса перпендикуляр на внешний на рисунке овал «Ц5/Ц 3»; соединив его точки с другим фокусом, мы получим «Золотой прямоугольник» с углами «В₁» (при оси фокусов) и «В₀» (при перпендикуляре). Кстати у этого овала k=2, и срединный векторный треугольник является равносторонним…

Кстати, в тексте «Гармония звуков..» был определен класс дискретных функций: , где F_n,m – числа Фибоначчи. Тогда здесь можно выделить класс линий . Овалы Кассини – это a^1Ч b¹ = c. Не менее интересно было бы исследовать образы и других подобных линий-функций …

Мы можем построить на этой постоянной величине схему, в которой будет видно изменение и соотношение (пределы) радиус-векторов. Например, для лемнискаты (где ).

То есть множество прямоугольных треугольников, располагаясь вершинами на отрезке 1ё 2, образует на основании проекциями катетов соотношение «r₁+r₂». Три треугольника на рисунке соответствуют (задают) по порядку крайней левой точке, центральной точке и крайней правой точке (на оси X).

Так что же за тайна в среднем геометрическом? Почему она так часто присутствует там, где гармония? Может быть этот треугольник Золотой спирали расставит все точки… (Он же — в овалах Кассини.) И это соотношение … Этот треугольник – основа Золотого пространства, формируемого Золотыми спиралями.

Золотое пространство с-троит-ся на среднем геометрическом!

Остается, правда, один вопрос. Все наши «работающие» средние геометрические – это радикалы от 2-х элементов. Почему? И еще добавка к этому: в верхней таблице значений средне-геометрического по нескольким последовательным элементам природной шкалы эти значения вычисляются квадратным радикалом… Так все-таки, что причастно гармонии: квадратный радикал или любые средние геометрические?.. Для нее безразлична «мерность» или как-то она связана с «площадными» мерами?...

Кстати, насчет квадратного корня. Евгений Скляревский, например, подсчитал, что получение точного значения Золотой пропорции по формуле приближения в виде бесконечных вложенных радикалов из «1» происходит быстрее в 1¹/₃, чем по формуле бесконечной цепной дроби…

Текст закончился многоточием; вопросы остались. По прошествии времени я отправил его Виктору Белянину. К тому моменту Виктор успел системно изложить свои взгляды по истории Золотой пропорции. Ответ на мое «послание» не заставил себя ждать. В нем главной по теме была следующая фраза: «Сергей, ты пишешь, что я невольно сопоставляю ЗП и геометрическую прогрессию... Нет, я говорю о геометрической пропорции, а не о геометрической прогрессии. Это «две большие разницы»». И разговор получил продолжение.

Привет, Виктор.

Если я правильно понимаю, геометрическая пропорция образует выражение b²=ac. (Ее называют еще непрерывной пропорцией.) То есть она выражает и среднее геометрическое 2-х чисел, и геометрическую прогрессию со знаменателем (коэффициентом) q=a/b=b/c. То есть она – частный случай для 2-х объектов и в среднем геометрическом, и в геометрической прогрессии, соответственно, для 2-х чисел и 2-х интервалов (шагов). Тогда можно сказать, что 4 стихии у Платона образуют геометрическую прогрессию «Огонь - Воздух – Вода – Земля» с каким то знаменателем. И еще можно сказать, что они образуют логарифмическую спираль…

Вроде бы обосновали физики, что материальный мир мог быть только 3-х мерным. Так все-таки случайна или нет «2-х мерность» гармонии в 3-х мерном мире?..

Кстати, определение «деление отрезка в среднем и крайнем отношении» сформулировано Пачоли или Платоном? (Пары элементов любой пропорции так и называются: средние и крайние.) Если Платоном, то ведь построение геометрической пропорции на целостном отрезке и есть Золотое сечение… А?! Или он говорил только о величинах (числах)? Тогда получается, что, перейдя на отрезки, Пачоли и вышел на Золотое сечение…

И тогда: феномен ЗП превратился в явление, когда Кеплер первый (вроде бы) показал связь ЗП и аддитивного ряда… И ведь он же (вроде бы) привел привычное нам алгебраическое выражение для ЗП?... У Пачоли оно было другое. Если все так, то прозрение ЗП – заслуга Пачоли (как и бух.учет), а научное осознание и победное шествие ЗП начинается с Кеплера.

Привет, Сергей!

1. Геометрическая пропорция: b²=ac. Непрерывная пропорция: a/b=b/c=c/d=d/e=... Называть геометрическую пропорцию непрерывной пропорцией не всегда корректно!

Далее. Прежде чем говорить, что у Платона есть геометрическая прогрессия, надо выяснить существовало ли тогда это понятие, строили ли тогда спирали (первую спираль построил, кажется, Архимед, живший значительно позже Платона). А просто так приписывать древним то, что нам хочется — это ошибка. Против этого я и выступаю, чтобы очищать ЗС от выдумок. Опираться надо на античные тексты, мыслить их категориями и их понятиями, а не сочинять что-либо в кабинетной тиши.

2. А кто тебе сказал, что гармония 2-х мерна? А трехмерной гармонии нет?

3. «Деление отрезка в среднем и крайнем отношении» сформулировано Евклидом.

4. Платон нигде (!) никаких (!) построений на целостном отрезке не выполняет! Не сочиняй! А если знаешь, где он это делает, то укажи мне это место.

5. «Величины» и «числа» в Древней Греции — это не одно и тоже! То, что можно было делать с величинами, никогда греки не делали с числами. Этому посвящены очень обширные статьи.

Виктор.

Виктор, — стоп, стоп.

Помилуй. Да, я просто рассуждаю, причем для тебя. Рассуждаю от нынешнего уровня. И ничего не приписываю древним...

Я смотрю, не в тон попал. Теперь для сближения — по порядку.

(На 1). Не настаиваю. Но в отношении непрерывной пропорции взял из справочника.

Там она точь-в-точь геометрическая. Ты как бы более прав. Но согласимся, что геометрическая — это 1 звено цепочки непрерывной...

(На 2). Пропускаю. Без комментариев здесь. Хорошо бы при встрече...

(На 3). Евклид жил после Платона?.. Значит ЗC начинается с Евклида (неважно, как он это называл)… Или с древних архитекторов, которые использовали соответствующие меры-инструменты, хотя и не называли их термином, похожим на современный… Вообще, какой момент осмысления означает, что «принцип» осознан, то есть включен в общую систему знаний?...

(На 4). Так я и не сочиняю, просто спрашиваю. Виктор, я вообще мало читал о ЗП у других авторов перед тем, как она меня увлекла.

(На 5). Этого я вообще не знаю. Я говорил от себя.

Сергей.

Сергей, привет!

…Математика — вещь четкая.

(На 1). Все правильно. Если ты подразумеваешь в тексте одно звено, то надо писать геометрическая, если цепочку — то надо писать непрерывная. Должна быть строгая терминология. Я за это.

(На 3). «Евклид жил после Платона?»

Евклид жил после Платона спустя примерно 60-75 лет.

«Значит ЗC начинается с Евклида (неважно, как он это называл)».

ЗС с Евклида не начинается (так я считаю). Он решил задачу деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Это был его промежуточный результат для других целей. Это совпадает с ЗС. Но того смысла в деление отрезка, который в это вкладываем мы, Евклид не вкладывал. Совпадение — да, смысл — нет. Прочти еще раз первую страницу моей статьи о Платоне.

<…>

(На 5). «Этого я вообще не знаю. Я говорил от себя».

Величины и числа в Древней Греции — это длинная история. Только краткий пример. Греки отрезок в пять единиц (величина) — делили пополам. Но число 5 они пополам не делили. Отношение 5:2 у них было, но дроби 5/2 у них не было.

Удачи, Виктор

Виктор, я хотел тебе привести для проверки фразу «Величина измеряется числом». После твоей ремарки надо сказать (дополнить), что «понимание величины и числа — самостоятельно и исторично».

Вообще, твоя статья «о Платоне и ЗП» мне очень нравится. Проникновение и в букву, и в дух (то есть в эпоху, в мировоззрение и т.д.) древних текстов, конечно необходимо, чтобы делать правильные выводы. И это интересно. И ты правильно делаешь. В книге (в отличие от статьи) же нужно меньше споров с современниками, это отвлекает...

История ЗП — тема благодарная. Хотя бы на моем примере. Я не углублялся в историю. Но надо подходить к ней именно так: разделяя, понимая и собирая вновь «дух и букву», смысл и текст.

Сергей, привет!

Ты прав — надо четко разделять ЗП и ее историю, где много и много сказочного.

Никто до сих пор ее историей серьезно не занимался. Многие же увлеклись обаянием ЗП и насочиняли.

Два с лишним года копания в истории математики и философии привели меня к выводу, что нельзя сегодняшними мерками оценивать древних. Нельзя им приписывать из конъюнктурных соображений лишних знаний. Они не одно столетие (!) решали задачу х³ = 2а³ (удвоение куба). Сейчас это решается за минуту…

* * *

К этому времени мне уже получилось посмотреть «дискуссию» на тему истории ЗП на новосибирском сайте «a3d». Эмоциональное самовыражение, часто переходящее в стёб... Да это и неизбежно в формате, когда все сразу не скажешь… Конечно, эмоциональное заводит. И может служить катализатором дальнейших поисков и писаний. Лишь бы не остался турнирный «захлест». Но главное – уровень слышания оппонента и отношения друг к другу. А вот здесь и проблемы. И польза здесь от разговора – стремящаяся к нулю.

Странно, когда в «научные тексты» привносятся «политика» и межличностное отношение. В «идеологических» текстах сразу проявляется разделение «свой-чужой». «Политика» здесь - это 2-ые и 3-ьи цели, мешающие главной (вроде бы) – поиску и выявлению истины. Косвенно это говорит о личном интересе, или какой-то обиде (сохраняющейся травме)... И начинается «ерничанье», покровительственная самоирония и прочая «народность» и «юмор»… Мотивы и тактика — понятны. Они — политические, а не научные. Зачем же идти в поводу этого, зачем идти «на сближение»?... Это – не общее движение к истине.

Как неприятно смотреть на такие «научные споры», где расчет идет на подавление оппонента, на уничтожение. Какая уж там истина; она становится сразу средством. В этой «политике» прикрываются неким «великим предметом спора» и делают свою позицию и себя присвоением его. А противника в споре (уже – противника) – выставляют противником самого «великого предмета». Политика…

Так получается и в споре об исторических аспектах Золотой пропорции. В этом разговоре очень важна четкость позиций. Спорят-то люди. ЗП здесь ни при чем. Важно четко разделить саму ЗП, ее историю, и тем более толкование истории.

Золотая пропорция - удивительна. Своим проявлением в очень многом. (Можно перефразировать известную мысль Менделеева о химии). Но тем и труднее пытаться упорядоченно говорить о ней, ее «геометрии», «алгебре», «прикладных реализациях» — и всё во взаимосвязи. (Хоть предметную классификацию делай...)

Необходима книга, которая расчистит многое, связанное с Золотой пропорцией… Нужна книга о ЗП, в которой совершенно «по-олимпийски», без влияния эмоций и споров, кто-то попытается упорядочить и историю, и багаж знаний о ЗП. В том числе и в терминах.

Кроме прояснения исторических аспектов самой ЗП, мне хотелось бы, чтобы в книге было (далее пишу все в кучу, без расставления по местам, уровням и т.д.):

• — понимание, когда и где появилось осознание феномена ЗП,
  
• — произошло ли это у Пачоли и произошло ли «случайно», благодаря ошибке трактования Платона (добавлению арифметической связи),
  
• — знали ли (выделяли ли особенным образом и явно) архитекторы древности Золотую пропорцию, хотя бы и геометрически (но тогда, как они ее выделили, по каким соображениям-наблюдениям),
  
• — кто обнаружил связь ЗП с рядами Фибоначчи достоверно первым,
  
• — вообще, откуда Фибоначчи взял эти ряды после купеческой поездки в Арабию,
  
• — переходя к современности, мы видим кучу обозначений для ЗП: Ф, ф, PHI, j, t, j₁/j ₂, …; причем идет борьба, что считать за ЗП: «0,618» или «1,618»… Ерунда какая-то; не пора ли с этим разобраться. Причем важным здесь является не чей то приоритет и самовыражение. Важно максимально удобное (адекватное алгебре-геометрии-тригонометрии ЗП) выражение всего многообразия проявлений ЗП, открывшихся в последние десятилетия,
  
• — существует потребность в упорядочивании взаимосвязанных свойств ЗП (её алгебры-геометрии-тригонометрии), при котором упоминание «авторов» находится на втором плане; то есть построение книги наподобие справочника по фактам из мира ЗП.
  

В запале спора Виктор Белянин пишет так, что можно его представить противником просвещения. Если захотеть… Как и А.П. Стахов, я считаю необходимым привнесение ЗП в учебный процесс средней школы. Виктор по его словам тоже сторонник привнесения ЗП в школьный предмет по математике. «О ЗП необходимо писать в учебниках по математике! В учебниках, а не устраивать из нее шоу в виде отдельного предмета. Школьники и так перегружены мутью в разных предметах. Это я знаю, т.к. иногда для знакомых занимаюсь с их детьми по математике, химии и физике. ЗП — это красивая задача, но о ней достаточно рассказать на 1-2 уроках, а дальше каждый сам решит, углубляться в ее тему или нет. Такое мое мнение. Красивых задач в математике много, а гармония и красота не обязательно связаны с ЗП, скорее, может быть, даже, и не связаны. Это два таинства и разгадать их никогда не удастся, особенно с помощью чисел. Подойти близко можно, но разгадать по пифагорейски, с помощью чисел – никогда».

Здесь можно поставить очередное многоточие. Мое новое несогласие с Виктором здесь носит, очевидно, «вкусовой характер», оно бездоказательно. Оно построено на внутреннем ощущении и не имеет (пока) рациональных аргументов, приемлемых и убедительных для другой стороны. Набор (подборка) отдельных фактов в онтологическом осмыслении – это лишь «руда», а не кристаллы истины. Придёт время…

Но всё же - о тайне среднего геометрического. Наверное, последний «получил» эту тайну от других «геометрических братьев». Тайна – во взаимопроникновении геометрической пропорции, геометрической прогрессии и средне-геометрического именно при 2-х их элементах: в отрезках, интервалах, числах… Причем пропорция и прогрессия напрямую связаны через непрерывную пропорцию, как связаны принцип (статика) и процесс (динамика). Интересно, что среднее геометрическое некоторой последовательности членов некоторой геометрической прогрессии отличается от средних геометрических для соседних последовательностей (по числу членов) в квадратный корень из основания прогрессии. Структуры же обобщающих формул среднего геометрического двух чисел взаимосвязаны с формулой Золотой пропорции…