В статье П.Я. Сергиенко «Обзор-4. Сакральная геометрия «золотых сечений» «золотого эллипса» http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001b/00161288.htm проводится критический анализ основных соотношений «золотого» эллипса, введенного польским ученым Яном Грежджельским в его книге «Энергетично-геометрический код Природы» (1986) и при этом делается вывод о том, что геометрические построения Яна Грежджельского являются ошибочными, так как «Ян Грежджельский геометрически не построил ни «золотых» треугольников, ни «золотого» эллипса. Он продемонстрировал замечательный образец интуитивного восприятия гармонии форм пространственных отношений. Но слабые знания элементарной геометрии и незнание алгоритма построения «золотого сечения» не позволили ему геометрически моделировать свои интуитивные восприятия. Приходится только удивляться тому, как можно такие «доказательства» принимать за истинные открытия в науке».

Цель настоящей статьи – реабилитировать доброе имя Яна Грежджельского и показать, что он, используя геометрические соотношения «золотого» прямоугольного треугольника, построил оригинальную геометрическую фигуру, которая является эллипсом по определению и основана на «золотой пропорции» .

«Золотой» прямоугольный треугольник

Кроме широко известного «золотого» равнобедренного треугольника, в архитектуре широко используется еще один вид треугольника, основанного на золотом сечении. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором отношение катетов АС/СВ = (Рис.1).

Если теперь длины сторон прямоугольного треугольника АВС обозначить через x, y, z, а также учесть, что отношение y/x =, тогда в соответствии с теоремой Пифагора длина z может быть вычислена по формуле:

.

(1)

Если принять x=1, y=, то

Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t::1, называется золотым прямоугольным треугольником.

Таким образом, в «золотом» прямоугольном треугольнике с малым катетом, равным единице, величина большего катета равна , а величина гипотенузы равна t. Заметим, что если малый катет «золотого» прямоугольного треугольника равен t , то больший катет равен t ґ , а гипотенуза равна t ².

Рисунок 1. «Золотой» прямоугольный треугольник

Таким образом, в «золотом» прямоугольном треугольнике отношение большего катета к меньшему равно , а отношение гипотенузы к меньшему катету равно t, то есть «золотой пропорции».

Считается, что именно этот прямоугольный треугольник является главной геометрической идеей пирамиды Хеопса.

«Золотой» эллипс

Золотой эллипс формируется с помощью двух ромбов ACBD и ICJD, вписанных в эллипс (Рис. 2). «Золотые» ромбы ACBD и ICJD состоят из 4-х прямоугольных треугольников типа OCB или OCJ, которые являются золотыми прямоугольными треугольниками (Рис. 1).

Рисунок 2. Золотой эллипс

Рассмотрим теперь основные геометрические соотношения золотого эллипса на Рис. 2. Пусть фокусное расстояние эллипса AB = 2. Так как по определению эллипса, сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов является постоянной величиной, то отсюда вытекает следующее выражение:

AC + CB = AG + GB.

(2)

Из определения «золотого» прямоугольного треугольника существуют следующие соотношения, связывающие стороны «золотых» прямоугольных треугольников OCB и OCJ. Поскольку меньший катет OB треугольника ОСВ равен 1, то есть OB =1, то из этого следует, что его гипотенуза СВ равна «золотой пропорции», то есть СВ=t. С другой стороны, больший катет ОС этого треугольника равен ОС= .

Рассмотрим теперь «золотой» прямоугольный треугольник OCJ. В этом треугольнике меньший катет ОС= . С другой стороны, больший катет

OJ = OCґ = ґ = t,

то есть гипотенуза CB «золотого» прямоугольного треугольника ОСВ равна катету OJ другого «золотого» прямоугольного треугольника OCJ, то есть

CB = OJ = t.

Вычислим теперь значение гипотенузы CJ второго «золотого» прямоугольного треугольника OCJ. Согласно определению «золотого» прямоугольного треугольника гипотенуза CJ связана с меньшим катетом ОС соотношением:

CJ = t ґ ОС= t ґ .

Таким образом, при выборе фокусного расстояния эллипса на Рис. 2, равным АВ=2, мы имеем следующие значения для сторон «золотых» равнобедренных треугольников OCB и OCJ:

Для треугольника OCB

OB=1; ОС= ; СВ=t

Для треугольника OCJ

ОС= ; OJ = t; CJ = t ґ .

В своей статье П.Я Сергиенко рассматривает еще одно «контрольное» соотношение для эллипса (Рис.3):

b2 = a2 – c2

(3)

Рисунок 3. Эллипс

Определим значения a, b и c для случая фигуры на Рис. 2. Нетрудно видеть, что а = IO = ОJ = t; b = ОС= и с=1. Но тогда выражение (3) можно переписать в виде:

()2 = t 2 – 1

(4)

или

Всем, кто знаком со свойствами «золотой пропорции», хорошо известно следующее тождество для «золотой пропорции»:

t ² = t + 1,

что эквивалентно тождеству (5).

Из проведенных рассуждений можно сделать следующий вывод. Геометрическая фигура на Рис.1, предложенная польским ученым Яном Грежджельским обладает всеми свойствами эллипса, в частности, она удовлетворяет «контрольному соотношению» (3). А это означает, что эта фигура является исторически первым «золотым» эллипсом, который был введен Яном Грежджельским еще в 1986 г. Автору неизвестны работы П.Я. Сергиенко по «золотым» эллипсам или «золотым» треугольникам, опубликованные до 1986 г. Поэтому его претензии на приоритет открытия, по крайней мере, «золотого» эллипса безосновательны.

Безосновательным является также упрек П.Я. Сергиенко в адрес Яна Грежджельского о том, что он обладал «слабыми знаниями элементарной геометрии и незнанием алгоритма построения «золотого сечения». Для того, чтобы убедиться в том, что Ян Грежджельский был не только квалифицированным математиком, но и глубочайшим мыслителем 20-го века, консультациями которого пользовался знаменитый фантаст Станислав Лем, недостаточно только прочитать его книгу «Энергетично-геометрический код Природы». Надо с ним пообщаться. Мне это удалось, когда в начале 90-х годов 20-го века Ян Грежджельский приехал ко мне в гости в Винницу. В этот же период мне удалось организовать лекцию Яна Грежджельского на философском семинаре Института кибернетики Академии наук Украины. И я вспоминаю, какое огромное впечатление на украинских академиков произвела лекция Яна Грежджельского. Но это так, к слову.