1. Введение

Мне очень приятно проинформировать всех читателей сайта, в частности, членов Международного Клуба Золотого Сечения, о том, что на сайте «Академия Тринитразма – Институт Золотого Сечения – Математика Гармонии» появилась биография Сергея Эйзенштейна, выдающегося советского кинорежиссера и теоретика искусства. Одним из увлечений Сергея Эйзенштейна было «Золотое Сечение». И поэтому вполне естественным является публикация на сайте статьи о «Золотом Сечении», написанной Сергеем Эйзенштейном http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321047.htm, а также включение его биографии в раздел «Персоналии» Института Золотого Сечения http://www.trinitas.ru/rus/002/a0232002.htm.

В этой связи хотелось бы еще раз поговорить об истории «Золотого Сечения» и его роли в развитии современной науки.

2. Знали ли Пифагор и Платон о «Золотом Сечении»?

Казалось бы, зачем задавать такой странный вопрос? Ведь большинство исследователей давно уже пришло к выводу, что нет никаких сомнений в том, что как Пифагору, так и Платону «Золотое Сечение» было известно. Но, оказывается, в современной российской науке есть группа «новых русских исследователей», которые, ссылаясь на «первоисточники», утверждают обратное. Спор на эту тему очень сложный особенно по Пифагору. Ведь Пифагор не оставил после себя никаких трудов. Поэтому, этот спор может разрешить только сам Пифагор. Для этого, как остроумно предложил один исследователь, достаточно попросить Григория Грабового продемонстрировать свои выдающиеся способности и воскресить Пифагора, который и даст нам ответ на поставленный вопрос. Ну а если говорить серьезно, то в этом вопросе мы можем полагаться только на мнение «авторитетов».

Платон, в отличие от Пифагора, оставил после себя труды. И мы начнем из Платона. В качестве первого «авторитета» мы пригласим Эйзенштейна. Как подчеркивается в его статье, математическое выражение идеи Золотого Сечения волновало ещё древних. Первое приближение к такому выражению даёт Платон в ответе на вопрос: как могут две части составить целое. Идея Платона подтверждается следующей цитатой из его «Тимея», приведенной в статье Эйзенштейна:

«Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться связь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет средним, а среднее — первым и последним. Таким образом, всё по необходимости будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое»

Таким образом, у Эйзенштейна нет сомнений в том, что Платон одним из первых дал четкое геометрическое определение «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», называемой в настоящее время «Золотым Сечением».

Теперь обратимся вновь к Пифагору и к мнению современных историков математики на эту тему. В книге «Биографический словарь деятелей в области математики» (Киев, Изд-во «Радянська школа», 1979), написанной известными украинскими историками математиками А.И Бородиным и А.С. Бугаем, в статье «Пифагор» мы читаем следующее:

«Учение Пифагора и его учеников касалось гармонии, геометрии, теории чисел, астрономии и т.д. Но сами пифагорейцы более всего ценили результаты, полученные в теории гармонии, ибо они подтверждали их идею, что числа определяют все. Некоторые древние ученые утверждают, что понятие о золотом сечении... Пифагор позаимствовал у вавилонян». И далее: «Есть сведения о том, что Пифагор построил «космические фигуры», то есть, пять правильных многогранников».

Таким образом, Бородин и Бугай утверждают, что Пифагор знал как «Золотое Сечение», так и «космические фигуры», называемые в современной науке «Платоновыми телами».

Конечно, мнение каких-то сомнительных историков математики из «Недружественной Хохляндии» вряд является авторитетным для «новых русских исследователей». Поэтому привлечем в качестве эксперта по этому вопросу современного российского специалиста доктора философских наук и кандидата физико-математических наук, профессора А.В. Волошинова, возглавляющего кафедру культурологии Саратовского государственного технического университета. Он является автором широко известной книги «Математика и Искусство» (Москва, Просвещение, 2000). Кроме этой книги, проф. Волошинов опубликовал еще одну книгу «Венок мудрости Эллады» (Москва, Дрофа, 2003). В этой книге, написанной с огромным мастерством, в статье «Пифагор» мы читаем:

«Особое внимание пифагорейцы уделяли пентаграмме – пятиконечной звезде, образованной диагоналями правильного пятиугольника. В пентаграмме пифагорейцы обнаружили все известные в древности пропорции: арифметическую, геометрическую, гармоническую, а также знаменитую золотую пропорцию, или золотое сечение. Совершенство математических форм пентаграммы находят отражение в совершенстве ее формы. Пентаграмма пропорциональна и, следовательно, красива. Видимо именно благодаря совершенной форме и богатству математических форм пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа здоровья и тайного опознавательного знака. С легкой руки пифагорейцев пятиконечная звезда и сегодня является символом многих государств и реет на флагах едва ли не половины стран мира».

Таким образом, по мнению проф. Волошинова, которого трудно обвинить в дилетантизме и незнании «первоисточников», «Золотое Сечение» было известно пифагорейцам.

Самым известным математическим сочинением античной науки являются Начала Евклида. Это научное произведение написано Евклидом в 3 веке до новой эры и содержит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики. Сведения об Евклиде крайне скудны. Кроме нескольких анекдотов, нам известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I (306–283 до н.э.) он преподавал во вновь основанной школе в Александрии. Начала Евклида превзошли сочинения его предшественников в области геометрии и на протяжении более двух тысячелетий оставались основным трудом по элементарной математике. В 13 частях, или книгах, Начал содержится большая часть знаний по греческой геометрии и арифметике, начиная с Пифагора и заканчивая Евклидом. Важно подчеркнуть, что Начала Евклида – это «итог трехсотлетнему развитию греческой математики», то есть в своих Началах Евклид использовал все математические достижения пифагорейцев, в частности, рассказал о «несоизмеримых отрезках», открытых в научной школе Пифагора. Один из «новых русских» утверждает, что пифагорейцы не знали «Золотого Сечения» хотя бы потому, что они не знали десятичной системы счисления и поэтому не могли выразить «Золотое Сечение» в виде десятичного числа 1, 618.... Но если следовать этой логике, то тогда они не могли знать и иррациональное число √2, которое они открыли при исследовании отношения диагонали квадрата к его стороне, так как они не могли представить это число в десятичной системе счисления (но они его все же как-то открыли). В общем, «новые русские» дошли до абсурда в своих стремлениях доказать, что пифагорейцы не знали «Золотого Сечения»!

Именно из «Начал Евклида» к нам пришла знаменитая геометрическая задача, называемая задачей о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, названная позже «Золотым Сечением». И вроде бы этот факт не оспаривается «новыми русскими». А в 13-й, то есть заключительной книге Начал Евклид изложил геометрическую теорию «Платоновых тел», в том числе додекаэдра и икосаэдра, основанных на «Золотом Сечении»!

А теперь обратимся к книге «Структурная гармония систем» (Минск, Наука и техника», 1984), написанной известным белорусским философом профессором Э.М. Сороко. Приведем только некоторые цитаты из этой замечательной книги:

«Фригийские гробницы и античный Парфенон, «Канон» Поликлета и Афродита Книдская Праксителя, наиболее совершенный греческий театр в Эпидавре и древнейший из дошедших до нас театр Диониса в Афинах — все это яркие образцы ваяния и творчества, исполненные глубокой гармонии на основе золотого сечения.

Театр в Эпидавре построен Поликлетом Младшим в 40-ю Олимпиаду. Рассчитан на 15 тысяч человек. Театрон (место для зрителей) делится на два яруса: первый имеет 34 ряда мест, второй — 21 (числа Фибоначчи!). Раствор угла, объемлющего пространство между театроном и скеной (пристройка для переодевания актеров и хранения реквизита), делит окружность основания амфитеатра в отношении 137°,5: 222°,5 = 0.618. Это соотношение реализовано практически во всех античных театрах. Данная пропорция у Витрувия в его схематических изображениях такого рода построек, составляет 5:8, то есть рассматривается как отношение чисел Фибоначчи.

Театр Диониса в Афинах трехъярусный. Первый ярус имеет 13 секторов, второй -21 (третий неполон). Соотношение растворов углов, делящих окружность основания на две части — то же — 137°, 5: 222°,5».

И далее: «Теория измерения гармонии по принципу деления целого в среднем и крайнем отношении, разработанная античными математиками, и составила тот фундамент, ту стартовую площадку, на которой впоследствии были воздвигнуты и получили движение концепции гармонии в новоевропейской науке и эстетике».

И наконец, заключительным аккордом в споре о том – знали ли Пифагор и Платон о «Золотом Сечении» звучит цитата из широко известного высказывания гениального российского философа и главного мирового специалиста по эстетике греческой культуры и Возрождения Алексея Федоровича Лосева:

«С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — Золотого Сечения... Их (древних греков) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

Эта цитата взята из статьи А.Ф. Лосева «История философии как школа мысли», опубликованной в журнале «Коммунист» (1981, №11). Важно подчеркнуть замечание Лосева по поводу «антинаучной беспомощности» тех, кто пытается опровергнуть роль системы космических пропорций древних греков (в том числе и «Золотого Сечения») в истории культуры. К сожалению, «новые русские» и здесь нашли аргумент против Лосева, как впрочем, и против Цейзинга, и теоретиков архитектуры Корбюзье и Гримма, которые отстаивали выдающееся значение «Золотого Сечения» в истории культуры. В статье одного из «новых русских» все эти выдающиеся ученые и мыслители были названы «дилетантами», не изучившими «первоисточники» (какие?).

3. Знали ли древние египтяне о «Золотом Сечении»?

А теперь поговорим о египетской культуре. Знали ли египтяне «Золотое Сечение» и «Платоновы тела»? Сейчас существует практически единодушное мнение о том, что главной геометрической идеей Пирамиды Хеопса является «золотой» прямоугольный треугольник, в котором отношение гипотенузы к меньшему катету равно «Золотой Пропорции». Именно такое архитектурное решение приводит к «главному секрету» пирамиды Хеопса: отношение суммарной внешней площади граней пирамиды к ее основанию равно «Золотой Пропорции»!

Дополнительную информацию о роли «Золотого Сечения» в египетской культуре дает брошюра «Феномен Древнего Египта» (1993), написанная известным российским теоретиком архитектуры Игорем Шмелевым. В этой брошюре дан анализ так называемых «Панелей Хеси-Ра», извлеченных из гробницы египетского архитектора Хеси-Ра. Но предоставим слово самому автору научного открытия:

«Но теперь, после всестороннего и аргументированного анализа методом пропорций мы получаем достаточные основания утверждать, что панели Хеси-Ра — это система правил гармонии, кодированная языком геометрии…

Итак, в наших руках конкретные вещественные доказательства, «открытым текстом» повествующие о высочайшем уровне абстрактного мышления интеллектуалов из Древнего Египта. Автор, резавший доски, с изумительной точностью, ювелирным изяществом и виртуозной изобретательностью продемонстрировал правило ЗС (Золотого Сечения) в его широчайшем диапазоне вариаций. В результате была рождена ЗОЛОТАЯ СИМФОНИЯ, представленная ансамблем высокохудожественных произведений, не только свидетельствующих о гениальной одаренности их создателя, но и убедительно подтверждающих, что автор был посвящен в магические таинства гармонии. Этим гением был Золотых Дел Мастер по имени Хеси-Ра».

Таким образом, Игорь Шмелев с полной ответственностью заявляет, что древние египтяне знали Золотое Сечение, и именно оно лежало в основе «Теории Гармонии», созданной египтянами.

Еще одним подтверждением идей Шмелева являются исследования российского искусствоведа Натальи Померанцевой, изложенные в книге «Эстетические основы искусства Древнего Египта» (Москва, Искусство, 1985).

А вот еще одно подтверждение глубоких знаний египтян в области геометрии. Знали ли египтяне додекаэдр? Историки математики признают, что древние египтяне обладали сведениями о правильных многогранниках. Но знали ли они все пять правильных многогранников, в частности додекаэдр и икосаэдр, как наиболее сложные из них? Древнегреческий математик Прокл приписывает построение правильных многогранников Пифагору. Но ведь многие математические теоремы и результаты (в частности Теорему Пифагора) Пифагор позаимствовал у древних египтян в период своей весьма длительной «командировки» в Египет (по некоторым сведениям Пифагор прожил в Египте в течение 22 лет!). Поэтому мы можем предположить, что знание о правильных многогранниках Пифагор, возможно, также позаимствовал у древних египтян (а возможно, у древних вавилонян, потому что согласно легенде Пифагор прожил в древнем Вавилоне 12 лет). Но существуют и другие, более веские доказательства того, что египтяне владели информацией о всех пяти правильных многогранниках. В частности, в Британском Музее хранится игральная кость эпохи Птоломеев, имеющая форму икосаэдра, то есть «Платонового тела», дуального додекаэдру. Все эти факты дают нам право выдвинуть гипотезу о том, что египтянам был известен как икосаэдр, так и додекаэдр.

4. Знал ли Леонардо да Винчи о «Золотом Сечении»?

В сочинениях «новых русских» можно найти еще одно любопытное утверждение: Леонардо да Винчи не знал Золотого Сечения, потому что упоминания о нем нет в его «Записях». Обратимся опять к мнению «авторитетов».

Приведем цитату из статьи Эйзенштейна:

«Sectio aurea» — назвал это сечение Леонардо да Винчи, которому в бесконечном ряде исследователей и любителей, занимающихся увлекательнейшей проблемой золотого сечения от древности до наших дней, принадлежит почётное место в определении его свойств.

Его свойство — действительно то свойство, которое мы искали.

Проф. Гримм ([«Пропорциональность в архитектуре», M., 1935], стр. 33) пишет в «Итогах исключительных свойств золотого сечения»:

«... 2. Одно золотое сечение из всех делений целого даёт постоянное отношение между целым и его частями; только в нём от основной величины, от целого находятся в полной зависимости оба предыдущих члена, причём отношение их между собой и с целым не случайное, а постоянное отношение, равное 0,618… при всяком значении целого».

В этой цитате упоминается также о книге российского архитектора проф. Гримма «Пропорциональность в архитектуре» (1935). Цель книги сформулирована во «Введении» следующим образом: «Ввиду исключительного значения Золотого Сечения в смысле такого пропорционального деления, которое устанавливает постоянную связь между целым и его частями, и дает постоянное между ними соотношение, недостигаемое никаким другим делением, схема, основанная на нем, выдвигается как нормативная на первое место и принята нами в дальнейшем как при проверке основ пропорциональности исторических памятников, так и современных сооружений... Считаясь с этим общим значением Золотого Сечения во всех проявлениях архитектурной мысли, теорию пропорциональности, основанную на делении целого на пропорциональные части, отвечающие членам геометрической прогрессии Золотого Сечения, следует признать основой архитектурной пропорциональности вообще».

А теперь попытаемся защитить Леонардо да Винчи от «новых русских». Кроме мнения Эйзенштейна, имеется много других авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение». Э.М. Сороко, который считается одним из наиболее авторитетных ученых в области «Теории гармонии и Золотого Сечения», в своей знаменитой книге «Структурная гармония систем» (1984) пишет по этому поводу следующее: «Термин «золотое сечение» (aurea sectio) идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал».

Но наиболее ярким свидетельством огромной роли Леонардо да Винчи в развитии теории Золотого Сечения является его влияние на творчество выдающегося итальянского математика эпохи Возрождения Луки Пачоли, с которым он сблизился в Милане. В момент знакомства с Лукой Пачоли, который именовал себя Лука ди Борго Сан Сеполькро, последний был уже знаменитым математиком, автором книги «Сумма об арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональностях», изданной в Венеции в 1494 г. В Милан Пачоли прибыл в 1496 г. Леонардо да Винчи оставил несколько записей, которые свидетельствуют о его знакомстве с Лукой Пачоли: «Научись умножению корней у маэстро Луки», «попроси брата из Борго показать тебе книгу «О весах»». Считается, что именно под влиянием Леонардо да Винчи Лука Пачоли начинает писать свою «вторую великую книгу», названную им «О божественной пропорции». Эта книга была опубликована в 1496 г. Для этой книги Леонардо сделал иллюстрации. Об авторстве Леонардо сохранилось свидетельство самого Пачоли: «...таковые были сделаны достойнейшим живописцем, перспективистом, архитектором, музыкантом и всеми совершенствами одаренным Леонардо да Винчи, флорентийцем, в городе Милане...»

Что могут противопоставить «новые русские» современному интеллекту в лице Сороко, Волошинова, Шевелева, Шмелева, Померанцевой? Проверенный способ – это отнести их к разряду «дилетантов», не изучавших «первоисточники», как это уже было сделано «новыми русскими» с Цейзингом, Корбюзье и Лосевым.

5. «Золотое Сечение» в современной науке

Я не являюсь специалистом в области искусства и мне трудно спорить с «новыми русскими», которые являются в основном представителями искусства, по поводу роли «Золотого Сечения» в искусстве. Однако для меня большими авторитетами в этой области являются такие представители философии и искусства как Цейзинг, Корбюзье, Эйзенштейн, Лосев, Шевелев, Шмелев, Марутаев, Померанцева, Сороко, Боднар, Волошинов, Коробко и другие выдающиеся мыслители и ученые. И я думаю, что «новым русским» необходимо умерить свой пыл в развенчивании «Золотого Сечения» («мыльный пузырь», «красивая сказка» и т.д.) и приписывании ярлыков инакомыслящим («дилетанты»), а прислушаться к мнению перечисленных выше действительно крупных ученых.

Приведем мнение Эйзенштейна по поводу роли «Золотого Сечения» в искусстве:

«Строй вещей, скомпонованных, согласно пропорциям, по золотому сечению, обладает в искусстве совершенно исключительной силой воздействия, ибо создает ощущение предельной органичности.

Согласно этому построены лучшие памятники Греции и Ренессанса. Им же пропитана композиция интереснейших произведений живописи. Вообще в области пластических искусств золотое сечение и композиционное использование его более чем популярны.

Совершенно очевидно, что ничего «мистического» в основе его особой и исключительной воздейственности нет. Мы достаточно обстоятельно старались показать, почему этот эффект столь сугубо органичен и почему именно эта закономерность даёт наибольший отклик внутри нас самих: всеми фибрами если не души, то, во всяком случае, нашего организма мы в единой закономерности простейшего движения — роста — совпадём с тем, что представлено нам в произведении».

И далее в статье Эйзенштейна приводятся примеры использования «Золотого Сечения» в поэзии Пушкина и в киноискусстве («Броненосец Потемкин»), а также в живописи (картина Сурикова «Боярыня Морозова»). Заметим, что исследования Цейзинга, Корбюзье и Эйзенштейна свидетельствует о том, что «Золотое Сечение» достаточно широко используется в искусстве.

Что касается использования «Золотого Сечения» в современной науке, то я могу еще раз повторить только то, что я уже сказал в своих статьях, которые опубликованы мною в достаточно престижных научных журналах («Украинский математический журнал», «Доклады Академии наук Украины», сборник статей «Метафизика: Век XXI», международный журнал «Chaos, Solitons & Fractals» и др.), а также в статьях, опубликованных на сайте «Академия Тринитаризма». В частности в статье «Метафизика и Золотое Сечение» http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321037.htm я написал следующее:

«Похоже, что длившаяся несколько тысячелетий драматическая история Золотого Сечения в начале 21-го века — «Века Гармонии» — может закончиться большим триумфом для Золотого Сечения. Плитки Пенроуза, резонансная теория Солнечной системы (Молчанов, Бутусов), квазикристаллы (Шехтман), фуллерены (Крото и Смолли, Нобелевская Премия 1996 г.) стали только предвестниками этого триумфа. «Математика гармонии» (Стахов), гиперболические функции Фибоначчи и Люка (Стахов, Ткаченко, Розин), «геометрия Боднара», «Закон структурной гармонии систем» (Сороко), «теория E-infinity» (Эль Нашие), матрицы Фибоначчи и «золотые» квадратные матрицы (Стахов) и, наконец, «золотые» геноматрицы (Петухов) – вот далеко не полный перечень современных научных открытий, основанных на Золотом Сечении. Эти открытия дают основание высказать предположение, что Золотое Сечение является некоторым «метафизическим» знанием, «проточислом», «универсальным кодом Природы», который может стать основой для дальнейшего развития науки, в частности, математики, теоретической физики, генетики, компьютерной науки».

То есть, в современной науке происходит процесс ее «глобальной фибоначчизации», который приведет (и уже привел) к новым научным открытиям. Это понимают пока не все представители современной науки. О представителях искусства мне говорить сложно.

На этом я и хотел бы завершить свои заметки по поводу «Золотого Сечения», написанные под впечатлением статьи Эйзенштейна.