Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения -Дискуссии

Алферов Сергей А.
О взаимообратных числах
Oб авторе

В хорошей сказке без присказки не обходится. Надеясь на хороший итог, начнем и здесь с предисловия (в котором, как в присказке, приходится вспоминать былое).

Как-то в одном из текстов довелось привести формулу для некоторых взаимообратных чисел. Взаимообратных – то есть дающих «1» в произведении. Она приведена внизу вместе с графиком, построенным по ней.


Из приведенных в тексте таблиц и из графика следовало свойство: D Ф2-1 = f(t) = 2/t. Оно явилось вторым обобщающим свойством вместе с исходным: Ф2*Ф1 = 1


А недавно было опубликовано письмо «О серебрянности». В нем в исходном информационном массиве были представлены «уравнения Стахова и Сороко». Приведем абзац этого письма, где представлены эти уравнения.

Берем для анализа квази-систему_1, как имеющую более гармоничный ряд корней (в начальной области), которому соответствуют основные (бинарные и тринарные) числа биоформ Шевелева. И в этой квази-системе основным считаем уравнение Сороко, как по настоящему «континуумное уравнение». Диапазон «континуума» в уравнении Стахова «растянут» от «Ґ » до «1» (от «2» до «1» в усеченном ряду корней). Понятно, что это не отвечает удобным представлениям смыслов и взаимосвязей в «континууме».

Канонический вид уравнения Стахова, как помните, имеет представление степеней через «суммирование единицы». Форма записи этого уравнения более соответствует взаимодействию внутри квази-системы, делает квази-систему более лаконичной в целом и не «теряет» решение (x=0, y=Ґ).

Поэтому будем использовать именно эту запись. Повторим ее:

В письмо, исходя из его целей, вошла не вся информация, касающаяся этих 2-х уравнений. Приведем ниже еще нечто.


=Ё= Самое важное содержится, наверное, здесь. Посмотрите на такое представление уравнения Сороко: |xn1/2| = |1/2 – xnn|. Эта запись алгебраически показывает интересный общий смысл уравнений xn + xnn = 1. При разных «n» значения «x» и «xn=1-x» симметричны относительно оси «x=1/2», относительно середины «континуума». Значения xn и xnn находятся в равновесии. Вот он - принцип их гармонии.

Постоянно в рамках некой целостности («1», континуума) эта пара значений занимает равновесное положение. Причем каждое такое числа и ее степень, равная номеру шага в ряду корней, находятся в гармонии относительно первого шага, который задает равновесие. В момент «n=0» эти значения находятся точно на концах континуума. В момент «n=1» значения оказываются в одной точке «едино и неслиянно». В момент «n=2» они расходятся в точки значений Золотой пропорции… И уходя дальше, они будут только бесконечно приближаться к полному диапазону континуума, такому, который был в начале.

Вот так это можно показать на рисунке.

По виду графики напоминают показательные функции y=ax с осью ординат посередине (в x=0,5). Понятно, что любая показательная линия обязательно пересечет коридор континуума (- 1/2 ё +1/2), и никогда не достигнет оси «X». Но интересно, а какая из них (с каким основанием «а») наиболее близко пройдет к этим линиям. Может, и не стоило бы об этом говорить, если бы не одна маленькая «деталь». То, что эта функция должна пройти через точки Золотой пропорции, мы задаемся сами, и получаем из этого некоторое значение а=355,11339…, при котором

.

После совпадения в точках «n=1» и «n=2» наша показательная линия расходится шире той, что на рисунке, в сторону границ «континуума».

А странная деталь – это значение «x», когда показательная функция n=4:

Об имеющейся связи с показательными (или обратными им логарифмическими) функциями говорит вид формулы «n=f(x)» по системе координат верхнего рисунка. Эта формула, которая достаточно очевидна, приведена около рисунка слева внизу. Надо только напомнить, что значение отношения логарифмов с одним основанием инвариантна величине основания и равны «logx(1-x)».

=Ё= Теперь мы можем воочию убедиться в качествах уравнений из квази-системы_1 для «онто­логи­чес­кого» анализа. А также – в особенностях их взаимоотношений.


Смотрите сами на рисунок. Глаза увидят, сердце подскажет, ум сформулирует…


И красные прямые – это лишь акценты взгляда, зацепки, вопросы, и только направления дальнейшего анализа…

А нужен ли он?.. Что даст подтверждение этих пересечений в данных осях?



=Ё= Здесь есть интересная аналогия с построениями из «встречи с А.П.Саврухиным», когда мы видели геометрический смысл среднего геометрического и когда видели не стандартные формулы окружности (об этом позднее).

Внизу показана окружность на диаметре «континуума».

Из среднего геометрического для «x» и «1-x» можно записать: .

Для полноты напомним, что при единичном диаметре (при основе континуума) можно также записать: |y|=h=r1Ч r2.

Важно то, что простая математическая формула 1- xn=xnn в системе координат «n от xn» показывает именно симметричность некоего процесса. Работа одновременно «xn» и «1-xn» отражается и в формуле для «n». Интегральной характеристикой этого симметричного процесса можно представить как раз величину «h» … И величина «hn» обретает некое понятие (смысл) лишь при наличии намерения (свободы) следующего шага «n+1»

Эта окружность включает в себя все решения уравнения Сороко, показывая одновременно динамику отношений. А значения корней «x» дают такие точки на диапазоне континуума, что высота из этих точек до окружности континуума равна радикалу из целочисленной степени значения «x». И снова, имеет значение именно радикал, то есть среднее геометрическое именно 2-х элементов или гармонизация 2-х элементов через площадь…



В том же упомянутом выше письме ставился вопрос о названиях. Как удобнее называть:

  • уравнение Стахова или, например, уравнение континуума через разность двух степеней,
  • уравнение Сороко или, например, уравнение континуума через сумму с одной степенью,…?



А теперь представлю своего товарища по переписке на протяжении последних 2-х лет. Виктор Белянин, физик-теплотехник, в одном из своих исследований также пришел к тригонометрическим соотношениям с участием Золотой пропорции. Не раз делал мне строгие «остережения» по поводу ощущений-рассуждизмов. Так было и на этот раз.


В.Б. - То, что ты называешь «квази-системой» мне не нравится (не лучше, чем «система»). Это натуральная псевдо-система, ибо никак нельзя назвать системой два уравнения: y=ax и 1/x=a/y. Это тривиально. Решая одно уравнение, ты автоматом получаешь и обратное значение корня, а это, в свою очередь, – корень второго уравнения. Напиши просто, что, решая такое-то уравнение, тебя интересуют не только его корни, но и обратные значения. И не надо морочить нашему брату голову. Все должно быть очень просто. Тогда это интересно.

Ты часто пишешь «континуум». Но это - непрерывность, сплошность. Какой может быть континуум при дискретных значениях «n»?


С.А. - Для меня «континуум» – это, прежде всего, непрерывная совокупность, непустое связное множество (например, точек линии), к тому же компактное. Это мощность всех действительных чисел, отраженная (выраженная) в диапазоне 0 – 1. То есть это «диапазон включенности всего» и это особенно выразительно, когда диапазоном является «0ё 1».

А главное, график «уравнения Сороко», непрерывная линия расположена в «0ё 1». А «n» — не обязательно целочисленный… Конечно, в уравнении (пока что) степень целочисленная. Но график то непрерывен... Устраивает ли тебя этот ответ-вопрос?...

«Объяснюсь». Я иду от ощущений (впрочем, как и все). При этом для описания ощущения использую или существующие термины, или... (как получится). При этом движение часто — не закончено. Сам понимаешь, что форма не идеальна. А, увлекшись, можно вообще нагородить... Кстати, «ощущение» в общем смысле – это взаимодействие… И силовое взаимодействие в неживой природе – это тоже своеобразное «ощущение».


В.Б. - Пример. Натуральный ряд целых чисел 1, 2, 3, 4,... Можно построить график по точкам 1,2,3,4,..., так что будет сплошная линия. Тогда по твоей версии этот ряд можно признать континуумом целых чисел. Тебя устраивает такой ход рассуждений?


С.А. - Разница в том, что натуральный ряд не ограничен, а... А уравнение «xa + x = 1» в осях «a» и «x» располагается в коридоре x=0ё 1. Мне это представляется континуумом...


В.Б. - «Уравнение «xa + x = 1» в осях «a» и «x» располагается в коридоре x=0ё 1». Ну и что? Не коридор порождает континуум, а непрерывность!!! Уравнения дают решения, а решения, попадая в коридор 0-1, его не заполняют непрерывным образом! Они только (!) там находятся. И больше ничего! Мало ли решений различных уравнений может попадать в этот коридор. Это ничего не значит. Континуум – термин, употребляемый для обозначения образований, обладающих известными свойствами непрерывности!!! Где в решениях уравнения Сороко непрерывность? В математике числовым континуумом является только система действительных чисел. Она непрерывна! Система уравнений Сороко дает дискретные решения, между которыми числовая пропасть. Они (решения) не дают непрерывность! То, что ты их соединяешь кривой, от этого пропасть не исчезает. Обманываешь только себя. Именно это я и хотел сказать, когда приводил пример с натуральным рядом чисел. Если ты три числа 1-2-3 соединил прямой, то это не значит, что ты ликвидировал разрыв между этими числами. График никогда не является исходной структурой, не является основой. Это только наглядная иллюстрация.


С.А. – Виктор, я и раньше «намекал» на возможность нецелочисленных степеней. Вместо «n» писал «a». В этом случае континуум есть?


В.Б. - При разговоре о континууме речь может идти только о корнях уравнений, а не о самих уравнениях, ибо уравнения ни в каком коридоре располагаться не могут. Корни уравнений, т.е. решения уравнений, в коридоры попадать могут. А что есть уравнение, у которого показателем степени является любое действительное число, мне, извини, мало понятно. Поэтому про уравнения, с показателем «а» я ничего сказать не могу. Если «а» равно «n» (n=1,2,3,...), то все понятно, а если n = (иррациональное число), то понятного сразу становится меньше.

И вообще, об уравнениях, которые давали бы непрерывные решения (чтобы обеспечить континуум в коридоре), я ничего не слыхал. Так что на этом пути возникает масса проблем. И все, видимо, из-за желания сохранить красивое слово «континуум». Пока все на эту тему.


С.А. – Сейчас ты говоришь точно и о том самом. Итогом этого небольшого разговора может быть твой последний абзац. С формально-рациональной точки ты, наверное, прав. Но мной руководит не просто желание что-то «утвердить», но «упорядочить», хотя бы для себя. Это попытка выражения того, что ощущается... Конечно, здесь все зависит от степени адекватности. Вот это то меня и волнует. И за вскрытие этого тебе - «спасибо».

Понимаешь, я смотрю на это уже не как на математику... Пусть это будет называться не уравнение, а тождество для «1», которое правильно на определенном диапазоне действительных «х» и «а»... Так можно называть? (На самом деле, иначе получается странное уравнение с бесконечным количеством решений; то есть оно как бы теряет предметный смысл. Но, вот попробуй составить еще подобное лаконичное «уравнение» с равенством «1»...)

Я бы еще подумал в этом направлении... Но давай пока поставим в этом разговоре точку (или многоточие).


В.Б. - Согласен поставить точку в разговоре о континууме. Второй виток разговора, если он будет, должен созреть.



С окончанием этого диалога заканчивается длинное предисловие. Чтобы закончить и тему! Пролог переходит в эпилог.

Характерной особенностью взаимообратных значений Ф12 по «рамочной формуле» в начале текста была их разность, равная «2/t». Характерное отношение для разности этих взаимообратных чисел можно обобщить, как «m/t», где «m» и «t» какие-то произвольные числа.

Составим общие выражения для этих разностей.

Для a>1: или a2t – ma – t = 0.

Для a<1: или a2t + ma – t = 0.


Отсюда мы получаем 2 варианта положительных корней:



Тогда возникают вопросы:

1. Соблюдается ли значение разности «2/t» для нецелых «t»?

2. Если рамочная формула в начале текста строит только какой-то свой ряд взаимообратных чисел, то могут быть какие-то другие формулы?...

Есть 3-ий и 4-ый. Но появляется здесь главный простой вопрос. А не связана ли эта формула с числами «уравнений Стахова и Сороко»? И наоборот?! …

Едва ли стоит напоминать формулы, приведенные несколько страниц выше. В крайнем левом столбце нижней таблицы приведены значения «t» для «рамочной формулы». В крайнем правом — значения «n» для уравнений Стахова и Сороко. Результаты их сходятся в середине. Полностью совпадая… В таблице приведены значения с точностью 7 знаков.


t

Взаимообратные

n

x (Ф1)

y (Ф2)

0

0

Ґ

ѕ

0,5

j 13

j 23

0,1865266

1

Ц 2- 1

Ц 2+1

0,6067801

11/3

0,5

2

1

2

j 1

j 2

2

2,5534846

0,6823278

1,4655712

3

3

0,7207592

1,3874258

3,8958017

3,0497772

0,7244919

1,3802776

4

3,5097554

0,7548777

1,3247179

5

3,9439219

0,7780896

1,2851990

6

4

0,7807764

1,2807764

6,1328032

4,3584517

0,7965443

1,2554229

7

4,7573478

0,8116523

1,2320546

8

5

0,8198039

1,2198039

8,6250372

5,1433825

0,8243006

1,2131497

9

5,5185751

0,8350790

1,1974914

10

5,8844537

0,8443976

1,1842762

11

6

0,8471271

1,1804604

11,3206560

7

0,8672954

1,1530097

14,1852191

8

0,8827822

1,1327822

17,1942383


Какие здесь можно сказать словами выводы… Конечно, все поставленные выше вопросы оказались сняты. Эти выражения работают на всем диапазоне вещественных чисел, задавая все взаимообратные числа.

Приведенные выше графики для уравнений по «x» и «y» дают непрерывные линии для непрерывного ряда значений. Этим же линиям принадлежат значения Ф1 и Ф2.

Величина «2/t» оказывается равной для всех разностей «Ф21». Это по своему удивительно… Вы можете взять любое число, вычислить обратное ему, а потом их разность – это будет отношение «2» к общему их оператору «t».

Оператор «t» (>0) равен: .

Едва ли надо искать какие-то другие выражения для взаимообратных чисел, кроме канонического и этих. Эти — существуют и «показали» свою функциональность… И взаимодействуют они на находящемся чуть-чуть в стороне операторе (принципе) «2/t»


Фундаментальна – взаимообратность, взаимодополнительность в произведении до «1». Символом этого как раз и является символ «Инь- Янь»:

Золотая пропорция – первое и уникальное из взаимообратных чисел. Хотя бы из того здесь, что единственное строится на целых «t» и «m» и равных «2». Это третий целочисленный шаг (0, 1 и 2). Символом его может быть символ «знамени мира»:

Но остались еще вопросы. Прежде, чем их зададим, посмотрим некоторые свойства взаимообратных чисел.

На аспекты этой темы получилось выйти в очередной раз при анализе свойств логарифмических спиралей. Посмотрите этот рисунок. Здесь изображен участок спирали в 90°, опирающийся на орто-оси. Основание спирали может быть сформулировано, как для скручивающейся через «q»; или для раскручивающейся через «k». Понятно, что они – взаимообратны. Эти значения связаны в спирали таким соотношением: (см. рисунок).

Для 2-х взаимообратных величин можно из известных неравенств составить также такое общее неравенство для всех случаев жизни: .



Так все-таки… Что выражают в своем диапазоне эти выражения, да еще плюс обобщенная форма для выражений Шевелева?


Можно ли называть их (или какие-то из них) выражениями (тождествами) континуума?


Алферов Сергей А., О взаимообратных числах // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13226, 19.04.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru