Это вторая монография автора, целиком посвящённая золотому сечению и комплексу связанных с ним проблем. В первой части, вслед за обсуждением исходных положений, вопросов философско-методологического характера, различных определений золотого сечения и золотой константы ϕ, подробно, на основе общих принципов, рассматривается математическая теория золотого сечения и её возможные расширения. Отдельными главами представлены основания, геометрия, теоретико-числовой формализм и допустимые уровни обобщения. В четырёх главах второй части излагается история золотого сечения с древнейших времен до начала 70-х гг. прошлого века. Обширные выдержки из первоисточников дают возможность непосредственно заглянуть в творческую лабораторию причастных к истории золотого сечения таких выдающихся исследователей как Платон, Евклид, Фибоначчи, Пачоли, Леонардо да Винчи, Дюрер, Кеплер, Бине, Цейзинг, Фехнер, Люка, Клейн, Корбюзье, Дали. Немало здесь и российских авторов: Г. Гримм, Э. Розенов, Л. Сабанеев, П. Флоренский, А. Лосев, С. Эйзенштейн, Н. Воробьёв и другие Особняком стоит изложенная в шестой главе история пентаграммы, вводящая в таинственный мир эзотерических толкований, используемых в магический практике оккультных сообществ. Представлен обширный материал иллюстративного характера, большой список цитированной литературы, книга снабжена именным указателем.

Для всех, кто проявляет интерес к вопросам, связанным с идеей математической гармонии, к элементарной и высшей математике золотого сечения. В равной степени книга адресована читателям-гуманитариям, интересующимся прежде всего богатой и интригующей историей золотого сечения, включая ее эзотерическую составляющую.

Оглавление

Предисловие

Часть I

Глава 1. Определения и общие положения

1. Геометрические построения

2. Алгебраическая форма

3. Вычисление и запись

4. Одинарный код

5. Определённый интеграл и бесконечные ряды

6. Тригонометрические и экспоненциальные представления

7.Квадратное уравнение

8. Линейная рекурсия второго порядка

9. Числа Фибоначчи и Люка

10. Треугольник Паскаля

11. О математической гармонии

12. Константа ϕ в математике

13. Геометрия золотого домена

14. Границы золотого домена

Глава 2. Геометрия ТЗС

1. Отрезки и фигуры

2. Парабола

3. Параболоид вращения

4. Логарифмическая спираль

5. Архимедовы спирали

6. Овалы Кассини, лемниската Бернулли

7. Синусоидальные спирали

8. Заполнение плоскости и фракталы

9. Трёхмерные тела

10. Платоновы, архимедовы и каталановы тела

11. Правильные звёздчатые многогранники

Глава 3. Tеоретико-числовой формализм ТЗС

1. Определения константы ϕ и некоторые её свойства

2. Числа Фибоначчи и Люка: основные характеристики и свойства

3. Соотношения между золотой константой, числами Фибоначчи и Люка

4. Числа Фибоначчи и Люка, золотая константа и ФМК

5. Производящие функции для {Fn} и {Ln}

6. Полиномы Фибоначчи, Люка и Чебышева

7. Гиперболические формы золотой константы

8. Глобальные и гиперболические аттракторы

9. Закон Бенфорда

10. Числа Фибоначчи и феномен первого знака

11. Треугольник Паскаля

12. Метод ЗС и задача из физики

13. Золотые р-сечения

14. Золотые подмножества квадратных уравнений

Глава 4. Обобщения и возможные расширения ТЗС

1. Вводные замечания

2. Элементы теории в кратком перечислении

3. С чего начинается теория

4. Свойства семейства констант ϕ_m

5.Теория ЛМФ и семейство чисел ϕ_mk

6.Экспонента, периоды и закон Бенфорда

7.Обобщённый закон Бенфорда

8. Константа да Винчи. Восьмиугольник в архитектуре

9. Фигурные числа. Золото семиугольных чисел

10. Золотоносные бесконечные суммы

11. Тонкие связи между константами ϕ и ϕ₂

12. Третий уровень обобщения ТЗС

13.Итоги

Часть II

Глава 5. С древнейших времён до Кеплера

1. Начало

2. Космология Платона

3. Геометрия Евклида

4. Фибоначчи и Пингала

5. Лука Пачоли

6. Леонардо да Винчи. Восьмиугольник в архитектуре

7. Витрувианский человек

8. Альбрехт Дюрер

9. Иоганн Кеплер

Глава 6. История пентаграммы

1. Античный период и Средние века

2. Пентаграмма масонов и мартинистов

3. Новое время и современность

4. Фигуры в пентаграмме и перевёрнутая звезда

5. Пентаграмма, Бафомет и карты Таро

6. Утренняя звезда и пентаграмма на небе

7. Анализ и выводы

Приложение. Пентаграмма в рисунках

Глава 7. С XVII века до начала XX века

1. Адольф Цейзинг

2. Густав Фехнер

3. Филлотаксис

4. Феликс Клейн и икосаэдр

5. Додекаэдр и икосаэдр

6. Додекаэдр и икосаэдр: живая природа

7. Герман Гримм

8. Теодор Кук

9. Язык математики и Д’Арси Томпсон

10. Джей Хэмбидж

11. Лейси Каски

12. Золотые вехи и знаковые события. Эдуард Люка

Глава 8. До начала 70-х годов XX века

1. Волновой принцип Эллиотта

2. Генрих Тимердинг 315

3. Модулор Ле Корбюзье

4. Эмилий Розенов

5. Леонид Сабанеев

6. Павел Флоренский

7. Алексей Лосев

8. Сергей Эйзенштейн

9. Сальвадор Дали

10. Николай Воробьёв

11. Бергман, Цекендорф и юпана инков

12. Вернер Хоггатт и Альфред Бруссo

13. Матиясевич и 10-я проблема Гильберта

14. Золотоискатели

15. Портретная галерея

Заключение

Именной указатель

Литература

Список рисунков, таблиц и графиков

Предисловие

Настоящая работа является последней частью гексалогии, касающeйся золотого сечения (ЗС) и множества связанных с ним вопросов. В самом начале, в 1989 году, был двадцатистраничный фрагмент в трёхсотстраничной монографии Числа и величины в современной физике [Аракелян³] (в дальнейшем А³), относящийся к обобщению математической модели ЗС. Значительно позже, в 2007 году, в трёх главах из девяти капитальной монографии Фундаментальная теория ЛМФ [А^7,e,f,g] ЗС рассматривается как приложение фундаментальной теории ЛМФ, основанной на идее единствa математической логики (Л), числовой математики (М) и фундаментальной физической теории (Ф). После появились работы, целиком посвящённые различным проявлениям принципа золотого сечения (ПЗС). Всесторонний анализ и обсуждение этого принципа, включая его основания, обширный материал справочного характера по применению ПЗС в природе и искусстве и обобщение в рамках теории ЛМФ, содержится в книге Теория ЛМФ и принцип золотого сечения [А^15,а–h]. В статье Пик “острова стабильности” и принцип золотого сечения [А¹⁴] предпринята попытка применения ПЗС в ядерной физике при анализе таблицы химических элементов Менделеева. Наконец, о содержании последней по времени большой статьи О мировой гармонии, теории золотого сечения и её обобщениях [А¹⁶] говорит само название.

В мире интерес к ЗС и “вокруг него” сейчас выше, чем когда-либо. Тема ЗС повсеместно включается в программы школьного и университетского образования, а количество всевозможных публикаций по данной тематике и смежным вопросам практически необозримо. Есть немало профессионально написанных работ, но ещё больше любительской экзотики, чрезмерной восторженности, некритических оценок и недостоверных данных, выдающих желаемое за действительное. Вопреки распространённому мнению, достаточно надёжные факты применения ПЗС за пределами математики можно пересчитать на пальцах. История ЗС полна заблуждений, спорных гипотез и “притянутых за уши” фактов, основанных на сомнительных измерениях. Вместе с тем, это заслуживающий серьёзного отношения важный фрагмент философии, методологии, науки, культуры и оккультизма. Отдельный интерес представляет история двумерного символа ЗС – пентаграммы и её модификаций, которая является преимущественно историей эзотерических толкований, нередко используемых в магический практике, и лишь в малой степени затрагивается исследованиями научного характера. Заметна потребность и в законченной теории золотого сечения (ТЗС) в узком и расширенном вариантах. Формальные исследования различных сторон ЗС и его ближайшего окружения, особенно чисел Фибоначчи, Люка и Пелля, в последние десятилетия настолько продвинулись, что фактически стали приобретать статус отдельной области чистой математики, почти готовой к представлению в виде цельной теории и в качестве составной части общей теории математической гармонии.

Предлагаемая вниманию читателя книга задумана как работа, призванная, во-первых, представить ТЗС в её простейшем и обобщённом вариантах в виде системы, состоящей из элементов, объединяемых на основе исходных положений и таких универсальных принципов, как сохранение, наименьшее действие, минимальность и оптимальность; во-вторых, изложить историю ЗС в форме очерков, охватывающих период с древнейших времён до начала семидесятых прошлого столетия. Арифметику ЗС с её многочисленными формулами, дополняемыми таблицами и графиками, как и геометрию ЗС с множеством двумерных фигур и трёхмерных тел, мы постараемся свести в одну математическую структуру, выводимую из нескольких постулатов общего типа, неизменно приводящих к золотой константе ϕ – центральному числовому элементу всей модели. В изложении истории ЗС особое место занимают обширные выдержки из первоисточников, которые дают возможность ощутить вкус реальной истории, которую не заменить пересказами и можно только слегка дополнить комментариями и пояснениями. При этом, подобно тому как достаточно полное представление математики ЗС невозможно без большого количества формул, геометрических фигур, таблиц и графиков, изложение истории ЗС связано с необходимостью показа множества рисунков, иллюстрирующих текст наглядными образами, наполняющими его живым содержанием.

Среди потока публикаций по золотому сечению заметное место занимают работы, претендующие на обобщение ТЗС. Обычно рассматриваются квадратные уравнения, рекуррентные последовательности второго и высших порядков, гиперболические и тригонометрические функции, связи золотого числа ϕ с другими математическими константами (МК) и некоторые другие формы математического представления ЗС. Одна из главных задач настоящей работы – выяснить, как, в каких пределах и какими средствами допустимо обобщение ТЗС без потери формальной и онтологической связи с канонизированной математической первоосновой и традиционными толкованиями. В противном случае может получиться, возможно, и интересная, математическая конструкция, уводящая, однако, в сторону, в оторванные от золотых истоков заоблачные математические дали. Следует полагать, что любая математическая модель прикладного характера, претендующая на описание реалий внешнего мира, должна ограничиться применением лишь тех формальных средств, того математического инструментария, который необходим для решения поставленной цели и который онтологически оправдан.

Уже здесь, в предисловии, приходится признать, что это непростая, а в рамках самой теории практически неразрешимая, трудно поддающаяся корректной формулировке и постановке задача методологического свойства. Метатеоретический анализ, рефлексия над обобщаемой теоретической конструкцией, как правило, чреваты неоднозначностью, необязательностью выбора, наличием альтернатив. По крайней мере, так обычно обстоит дело в фундаментальной науке. Выражаясь вольно, можно сказать, что когда исследователь в полном математическом снаряжении начинает атаку на реальные или мнимые тайны природы, пытаясь поверить алгеброй гармонию (А.С.Пушкин. Моцарт и Сальери), он имеет дело с лукавым, неподатливым и невосприимчивым к лихим наскокам противником. Субъективный фактор в серьёзной интерактивной игре типа “математика–природа” практически неустраним. В большинстве подобных случаев логическая непреложность, абсолютная объективность и единственность выбора существуют лишь в научно-популярной литературе и учебниках, не лучшего притом образца. Конкретно, если речь о таком непростом вопросе, как обобщение ТЗС, при любом его решении не следует делать вид, что это и есть то самое, другого не дано. Надо быть откровенным до конца и открыто признавать, что в действительности это всего лишь выбор автора, в который он верит, более того, в котором он, возможно, искренне и глубоко убеждён и старается убедить в этом других, пытаясь представить своё субъективное понимание и полученное решение в объективном свете.

Коротко об особенностях работы в целом. Основной текст монографии состоит из двух Частей, с четырьмя Главами в каждой и Приложения к шестой главе, а также из Предисловия и Заключения. Имеются Именной указатель и большой список цитированной Литературы. В именном указателе ссылки на имена авторов приводятся только в тех случаях, когда они даны не в квадратных скобках ссылок, или не являются частью какого-либо известного термина, понятия или словосочетания, таких как числа Фибоначчи, закон Бенфорда, печать Кромвеля, Начала Евклида, космология Платона. В работе много таблиц и графиков, очень много, особенно в приложении, рисунков; полные списки тех и других даны в самом конце работы. Выдержки из первоисточников выделены золотистым или серым фоном, используются и другие формы выделения, в том числе шрифты, более или менее созвучные исторической эпохе обсуждаемого автора. Фамилии цитируемых авторов даются в тексте, безымянные работы представлены своими названиями, иногда в сокращении. В случае упоминания двух и более работ данного автора обычно используется аббревиатура его имени из одной, иногда, во избежание разночтений, нескольких букв, причём работы пронумерованы. Отдельные же главы обозначены латинскими индексами a, b, c, … . Например, А^7,d означает главу с индексом d в работе под номером 7 автора с присвоенной ему аббревиатурой А. Добавим, что большинство цитированных работ, в том числе старинные трактаты, выложены в интернете и соответствующие гиперссылки даны стандартным синим цветом в списке литературы.

В качестве полезного для читателя ориентира представим в краткой, тезисной форме содержание отдельных глав и Заключения.

Глава 1. Определения и общие положения – это как бы преамбула, пролегомены к тексту последующих трёх глав. В самых общих чертах даны различные эксплицитные и имплицитные определения золотого сечения и константы ϕ, подробнее рассмотренные в третьей главе. Обсуждаются некоторые вопросы философско-методологического характера, в частности представление о теории золотого сечения как о важнейшем фрагменте концепции мировой гармонии, восходящей к глубокой древности. Очерчены границы золотого домена: в первом, нуждающемся в дальнейшем уточнении и конкретизации приближении ТЗС определена как теория геометрических носителей золотой пропорции, константы ϕ, чисел Фибоначчи и их гомологов.

Глава 2. Геометрия ТЗС начинается с традиционного деления отрезка в крайнем и среднем отношении, с геометрических построений первого и второго золотого сечения и завершается платоновыми (додекаэдр и икосаэдр), архимедовыми, дуальными им каталановыми телами и правильными звёздчатыми многогранниками. Приведены все основные фигуры и тела ЗС: всевозможные треугольники, пентаграмма, десятиугольник, ромбы, эллипсы, парабола и параболоид вращения, овалы Кассини, логарифмическая спираль, архимедовы, синусоидальные спирали и так далее, а также золотые фракталы, “золотоносные” плитки для плотного заполнения плоскости. Даны важнейшие числовые параметры и характеристики геометрических объектов золотой геометрии, включая координаты трёхмерных тел в декартовой системе координат как наиболее эффективный способ их идентификации. В этой главе немало формул, но ещё больше рисунков с изображением геометрических объектов.

Глава 3. Tеоретико-числовой формализм ТЗС является наиболее объёмной и заполненной математическими конструкциями среди всех глав Части I. Многое из того, что лишь слегка обозначено в первой главе, в том числе результаты исследования по золотым подмножествам квадратных уравнений, даётся здесь в развёрнутом виде. Подробно рассмотрены такие важные фрагменты ТЗС, как последовательности Люка, числа и полиномы Фибоначчи и Люка, полиномы Чебышева, составленный из симметрично расположенных биномиальных коэффициентов треугольник Паскаля, производящие функции с их характеристическими уравнениями и соответствующие последовательности для чисел Фибоначчи и Люка. Достаточно полно представлена связь этих чисел с фундаментальными математическими константами (ФМК), в том числе предложенные Рамануджаном необычные соотношения. Любопытны неординарные свойства, касающиеся чисел Фибоначчи и правила третьего члена, как и малоизвестные математические константы, получаемые бесконечным суммированием величин, обратных числам Фибоначчи, Люка и их производным. Особое внимание уделено экспоненциальным – прямым и обратным гиперболическим и тригонометрическом формам выражения золотой константы и её гомологов, а также закону Бенфорда в приложении к числам Фибоначчи. Глава содержит более четырёх с половиной сотен пронумерованных формул, в особенности для чисел Фибоначчи и Люка, немало таблиц, графиков и небольшое количество рисунков.

Глава 4. Обобщения и возможные расширения ТЗС завершает Часть I. Обобщение математической теории, или модели прикладного значения – дело достаточно тонкое, о чём уже сказано выше. Чисто механические обобщения, каких видимо-невидимо, далеко не всегда приемлемы, поскольку недопустимо искусственно разрывать “пуповину”, соединяющую обобщённую конструкцию с исходным началом. Рассмотрены три уровня обобщения ТЗС, связанные с правилом сохранения мантиссы (ПСМ), экспоненциальным обобщением в рамках теории ЛМФ и последовательностями Люка. В обобщённых теориях появляются семейства констант, начинающиеся с константы ϕ, которая тем самым утверждается в статусе уникума бесконечного множества однотипных математических величин. Подробно рассмотрена, в отдельности и в сопоставлении с золотым числом ϕ, вторая по значимости константа да Винчи, двумерным геометрическим символом которой является правильный восьмиугольник, или вписанная в него восьмиконечная звезда. Обобщения приводят к появлению новых интересных особенностей, связанных, в частности, с квазифибоначчиевыми последовательностями, периодами в так называемых приведённых последовательностях и с обобщённым законом Бенфорда.

Глава 5. С древнейших времён до Кеплера начинается с отрывков из Истории Геродота и Начал Евклида и завершается Гармонией мира Кеплера. Изложены Гипотеза Прокла, золотая космология пифагорейцев и Платона по Тимею, построение додекаэдра по XIII книге Начал. Любопытна и познавательна история последовательности Фибоначчи, которая фактически начинается не с задачи о кроликах в трактате Liber abaci средневекового итальянского купца и математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи), а с правил стихосложения, предложенных античным индийским математиком Пингала. Приведён отрывок из изданного в начале XVI века трактата францисканского монаха и математика Пачоли, который считается первой в истории книгой, целиком посвящённой золотому сечению, названному им De divina proportione – божественной пропорцией. Представление таких авторов, как Фибоначчи, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и Иоганн Кеплер сопровождается текстами и рисунками из их произведений.

Глава 6. История пентаграммы заметно отличается от остальных трёх глав второй части тем, что науки здесь почти нет совсем и вся по меньшей мере пятитысячелетняя история основного двумерного символа золотого сечения это, по сути, история его многочисленных эзотерических толкований. Мистическая сила, приписываемая пентаграмме в различных культурах и почти во все времена, включая и современную эпоху, настолько сильна и многосложна, что рассмотрением пентаграммы и её модификаций затрагиваются самые разные стороны магической символики и оккультной практики. Здесь и знаковая символика различных оккультных сообществ и тайных организаций, загадочный Бафомет Элифаса Леви, его же тетраграмма и перевёрнутая пентаграмма, идея микрокосма, печать Кромвеля и карты Таро, теософ Елена Блаватская и масон Альберт Пайк, розенкрейцеры, масоны, мормоны, вычерчиваемая на небе Венерой и обнаруживаемая энтузиастами в разных частях земной поверхности пентаграмма и многое другое. Глава и особенно Приложение к ней содержат огромное количество рисунков, относящихся к разным периодам истории и отражающих в многообразии её форм всевозможные грани, толкования и применения этого наиболее, пожалуй, популярного магического символа.

Глава 7. С XVII века до начала XX века включает период резкого падения интереса к ЗС с последующим, начиная с известной книги Цейзинга, возрождением интереса к нему и даже возведением Goldener Schnitt в ранг универсального закона гармонии. Помимо Адольфа Цейзинга, основными на данном отрезке истории исследователями золотой пропорции могут считаться Густав Фехнер, Феликс Клейн, Герман Гримм, Теодор Кук, Д’Арси Томпсон, Джей Хэмбидж и Лейси Каски, представленные выдержками и многочисленными рисунками из их оригинальных работ. Французской математик Эдуард Люка ввёл удовлетворяющие линейным рекуррентным уравнениям второго порядка и названные впоследствии его именем последовательности, частным случаем которых являются ряды Фибоначчи и Люка. Изложена также история филлотаксиса (листорасположения), ведущая своё начало с трудов “отца ботаники” Теофраста и Истории растений Плиния Старшего, продолженная много позже исследованиями Леонардо да Винчи, Иоганна Кеплера, Шарля Бонне, братьев Браве, Вильгельма Гофмейстера и других, а фактически завершённая уже в наши дни созданием основанной на ЗС и числах Фибоначчи адекватной математической модели филлотаксиса.

Глава 8. До начала 70-х годов ХХ века посвящена исследованиям, предшествующим более позднему и современному периоду повышенного интереса к ЗС, ознаменовавшегося появлением специализированных журналов, ассоциации и основанного А.П. Стаховым Института Золотого Сечения, многостраничных, красочно оформленных сайтов в интернете, изданием многочисленных работ по ЗС, числам Фибоначчи и смежным вопросам. Здесь много российских имён: Эмилий Розенов, Леонид Сабанеев, Павел Флоренский, Алексей Лосев, Сергей Эйзенштейн, Иван Жолтовский, Николай Воробьёв, Юрий Матиясевич, наряду с такими зарубежными авторами, как Ральф Эллиотт, Абрахам Витгоф, Сриниваса Рамануджан, Матилла Гика, Вольфганг фон Версин, Генрих Тимердинг, Ле Корбюзье, Сальвадор Дали, Джордж Бергман, Эдуард Цекендорф, Вернер Хоггатт, Альфред Бруссo и другие. Выдержки из трудов большинства этих и других авторов могут сказать читателю больше, чем любой пересказ или комментарий. В завершение главы дана портретная антология почти всех наиболее значительных, или традиционно предполагаемых таковыми, “золотоискателей” за весь доступный обозрению исторический период, за исключением не успевших ещё стать историей последних четырёх десятилетий.

Заключение представляет собой нечто вроде развёрнутой аннотации или обширного резюме из сотни кратких тезисов, отражающее наиболее существенные положения, выводы, построения, содержательные особенности и “изюминки” настоящей работы. При этом наиболее важные понятия, элементы, концептуально значимые универсалии, первоисточники и имена авторов отмечены курсивом. А в самом конце указаны относящиеся к ТЗС, её истории и возможным обобщениям основные постулаты, ключевые положения, позиции, выводы и оценки.

Остаётся лишь добавить, что монография адресована как любителям математики золотого сечения, включая её высшие разделы, “неизвестные страницы” и последние исследования автора, так и тем, кто сторонится математики или же больше интересуется многотысячелетней историей “божественной пропорции” и связанными с ней фактами и развитиями. Спецификой второй части работы обусловлено и рассмотрение в главе oб истории пентаграммы толкований, способных привлечь внимание любителей эзотерики – мистики, числовой магии и сакральной геометрии.

Автор искренне признателен всем, кто принял активное участие в обсуждении рукописи монографии и своими замечаниями, советами, пожеланиями и дополнениями способствовал улучшению текста. С благодарностью будут приняты и любые замечания читателей по поводу содержания, структуры, оформления и т.п. книги, которые могут быть отправлены по электронному адресу hrantara@gmail.com.

Особая благодарность дорогому племяннику, разносторонне развитой личности Ованесу Львовичу Оганяну, который с самого начала энергично поддержал идею написания данной книги и оказал неоценимую финансовую помощь, необходимую для издания работы в её нынешнем виде.

формате PDF (21369Кб)