В связи с завершением работы над книгой Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific, 2009 (книга планируется к публикации в первой половине 2009 г.), я приступил к реализации проекта «Реформа математического образования на основе Математики Гармонии». Первым шагом в этом направлении является подготовка программы курса «Математика Гармонии и «Золотая» Научная Революция», который, по моему мнению, должен быть введен в учебные планы подготовки аспирантов и магистров всех технических, математических и физических специальностей.

1. Обоснование курса

Как известно, возвращение к прошлому является плодотворным источником познания настоящего и прогнозирования будущего. Возврат к истокам математики, ее истории является одной из важнейших предпосылок преодоления кризиса в современной математике (Морис Клайн. Математика. Потеря определенности (пер. с англ.), 1984 г.). Возвращаясь к античной науке, в частности к греческой науке и математике, мы должны обратить особое внимание на наиболее важную научную проблему, которая стояла в центре античной науки, начиная с Пифагора и Платона. Речь идет о «проблеме гармонии».

Что такое гармония? Известный российский философ Шестаков в своей замечательной книге «Гармония как эстетическая категория» (1973) подчеркивает, что « в истории эстетических учений выдвигались самые разные типы понимания гармонии. Само понятие «гармонии» употреблялось чрезвычайно широко и многозначно. Оно обозначало и закономерное устройство природы и космоса, и красоту физического и нравственного мира человека, и принципы строения художественного произведения, и закономерности эстетического восприятия». Среди различных типов гармонии (математическая, эстетическая, художественная), которые возникли в процессе развития науки и эстетики, точные науки, в частности, теоретическая физика, прежде всего, интересуются математической гармонией. «В этом смысле гармония понималась как равенство или соразмерность частей друг с другом и части с целым. Такое понимание принимало, как правило, математический вид и выражалось в виде определенных числовых пропорций. Это самое внешнее, формальное и эмпирическое понимание гармонии. Оно фиксирует внимание на количественной стороне дела и безразлично к качественному своеобразию частей, вступающих в гармоническое соответствие» (Шестаков). В Большой Советской Энциклопедии» мы находим следующее определение гармонии, которое имеет отношение, прежде всего, к математическому пониманию гармонии: «Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

Отвечая на вопрос, какая математика нужна теоретическому естествознанию, мы должны обратиться к Принципу Математической Красоты Дирака. Дирак утверждал: «Если математическая теория действительно красива, то она обязательно окажется прекрасной моделью важных физических явлений. Вот и нужно искать эти явления, развивать приложения красивой математической теории и интерпретировать их как предсказания новых законов физики, — так строится вся новая физика, и релятивистская, и квантовая».

Пифагорейцы впервые выдвинули идею гармонической организации мироздания. Они предположили, что гармония выражает внутреннюю связь вещей, без которой космос не мог бы существовать. Наконец, согласно Пифагору гармония имеет численное выражение, то есть гармония тесно связана с концепцией числа. Пифагорейцы создали учение о творческой сущности числа, и их теория чисел носила качественный характер.

Возрождение интереса к античным проблемам Гармонии и Золотого Сечения является одной из важнейших тенденций современной науки. Создание Математики Гармонии является отражением этой важной тенденции. Математика Гармонии является новым междисциплинарным направлением современной науки, которое касается современной математики, информатики, теоретического естествознания и математического образования. Математика Гармонии может стать основой для коренного преобразования современной науки и образования, которое может быть названо «Золотой» Научной Революцией. В современном образовании «идея Гармонии» не получила должного отражения. Именно поэтому введение курса «Математика Гармонии и «Золотая» Научная Революция» является жизненно необходимым для современного образования.

Данный курс предназначен для студентов и аспирантов технического, математического и физического профилей. Его главная задача – рассмотреть влияние Математики Гармонии на современные научные революции в математике, теоретическом естествознании, информатике и математическом образовании. Курс будет способствовать развитию нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения.

Основным учебным пособием по данному курсу является книга Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific, 2009.

2. Перечень лекций:

Лекция 1. Учение о гармонии и новый подход к истокам математики

Лекция 2. Золотое Сечение: от «Начал» Евклида к современной науке.

Лекция 3. Платоновы Тела: от космологии Платона к квази-кристаллам Шехтмана. Лекция 4. Числа Фибоначчи и Люка.

Лекция 5. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка и новая геометрическая теория филлотаксиса.

Лекция 6. Треугольник Паскаля, обобщенные р-числа Фибоначчи и Люка и обобщенные золотые р-пропорции.

Лекция 7. «Металлические пропорции», формулы Газале, «золотая» фибоначчиева гониометрия и 4-я Проблема Гильберта.

Лекция 8. Матрицы Фибоначчи и «золотые» матрицы.

Лекция 9. Преобразования Фибоначчи-Лоренца, «золотая» специальная теория относительности и «золотая» интерпретация эволюции Вселенной.

Лекция 10. Алгоритмическая теория измерения.

Лекция 11. «Золотая» информационная технология: компьютеры Фибоначчи.

Лекция 12. «Золотая» информационная технология: коды золотой пропорции и троичная зеркально-симметричная арифметика.

Лекция 13. «Золотая» информационная технология: новая теория корректирующих кодов, основанных на матрицах Фибоначчи, и матричная криптография.

Лекция 14. «Золотая» научная революция, реформа математического образования и Музей Гармонии и Золотого Сечения.

3. Содержание лекций

Лекция 1. Учение о гармонии и новый подход к истокам математики. Проблема гармонии в античной науке. Числовая гармония пифагорейцев. Гармония как единство противоположностей. Гармония и целесообразность. Отражение учения о гармонии в «Началах» Евклида. Концепция гармонии в науке средних веков. Учение о гармонии в науке Возрождения. Учение о гармонии в науке нового времени. Современная математика: кризис и потеря определенности. «Стратегические ошибки» в развитии математики. Разрыв взаимосвязей с теоретическим естествознанием. Пренебрежение «началами». Пренебрежение «Золотым Сечением». Гипотеза Прокла Диадоха и односторонняя интерпретация «Начал» Евклида. Теория бесконечных множеств Кантора как величайшая математическая мистификация 19-го века. Недооценка формул Бине. Недооценка идеи Феликса Клейна о роли Платоновых тел в развитии математики. Недооценка системы счисления Бергмана. Три «ключевые» проблемы математики на этапе ее зарождения и три величайших открытия античной математики: позиционный принцип представления чисел (Вавилон), несоизмеримые отрезки (Древняя Греция) и «Золотое Сечение» (Древняя Греция). Новый подход к истокам математики, основанный на проблеме счета, проблеме измерения и проблеме гармонии. Два математических направления, возникших из такого подхода в греческий период: Классическая Математика, основанная на аксиомах Евклида, и Математика Гармонии, основанная на Платоновых телах и «Золотом Сечении».

Лекция 2. Золотое Сечение: от «Начал» Евклида к современной науке. Золотое Сечение (ЗС) в «Началах» Евклида (Теорема II.11). Геометрическое определение ЗС. Алгебраические свойства золотой пропорции. «Золотое» алгебраическое уравнение. Геометрические свойства ЗС. «Золотые» прямоугольники и «золотой» кирпич. Декагон: связь золотой пропорции с числом p . «Золотой» прямоугольный треугольник и «золотой» эллипс. «Золотые» равнобедренные треугольники и пентагон. “Golden” isosceles triangle and pentagon. ЗС и тайны Египетской культуры: Пирамида Хеопса панели Хеси-Ра. ЗС в греческой культуре. ЗС в искусстве Возрождения. Книга Луки Пачоли De Divina Proportione. Леонардо да Винчи и его роль в применении ЗС в искусстве Возрождения.

Лекция 3. Платоновы Тела: от космологии Платона к квази-кристаллам Шехтмана. Космология Платона и Платоновы Тела. Платоновы Тела в «Началах» Евклида. Архимедовы Тела и звездные правильные многогранники. Тайна Египетского календаря. Додакаэдро-икосаэдрическая доктрина. Иоганн Кеплер: от «Мистерии» до «Гармонии мира». «Космическая чаша» Кеплера. Икосаэдр как главный геометрический объект математики (Феликс Клейн). Крупные научные открытия современной науки, основанные на додекаэдре и икосаэдре: квази-кристаллы и фуллерены. Использование правильных многогранников в искусстве.

Лекция 4. Числа Фибоначчи и Люка. Фибоначчи и его историческая роль в развитии западной математики. «Кролики Фибоначчи» и числа Фибоначчи. Нумерология и числа Фибоначчи. Вариации на тему Фибоначчи. Формула Кеплера. Формула Кассини. Числа Люка. Формулы Бине. Пифагоровы треугольники и числа Фибоначчи. Прямоугольник и спирали Фибоначчи. Химия по Фибоначчи. Симметрия Природы и природа симметрии. Числа Фибоначчи и филлотаксис. «Фибоначчиевые резонансы» генетического кода. Волны Эллиотта. Роль французских математиков Люка и Бине в развитии «Теории чисел Фибоначчи в 19-м веке. Американская ассоциация Фибоначчи. Славянская «золотая» группа.

Лекция 5. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка и новая геометрическая теория филлотаксиса. Простейшие «элементарные функции». Гиперболические функции и их роль в истории науки. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка (определение Стахова-Ткаченко). Формулы для интегрирования и дифференцирования гиперболических функций Фибоначчи и Люка и их основные тождества. Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка (определение Стахова-Розина). Рекурсиные и гиперболические свойства гиперболических функций Фибоначчи и Люка. «Теория чисел Фибоначчи» как вырожденный случай теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка. Золотой Шофар. Загадка филлотаксиса. Геометрическая теория гиперболических функций. Новая геометрическая теория филлотаксиса (геометрия Боднара).

Лекция 6. Треугольник Паскаля, обобщенные р-числа Фибоначчи и Люка и обобщенные золотые р-пропорции. Комбинаторный подход к Математике Гармонии. Биномиальные коэффициенты и Треугольник Паскаля. Обобщенные p-числа Фибоначчи (p=0, 1, 2, 3, …). Обобщенные золотые p-сечения. Обобщение теоремы II. 11 (Евклид). Обобщенные «золотые» алгебраические уравнения и их корни. Обобщенная формула Бине для р-чисел Фибоначчи. Обобщенные p-числаЛюка. Обобщенный принци «Золотого Сечения». Закон структурной гармонии систем (Сороко).

Лекция 7. «Металлические пропорции», формулы Газале, «золотая» фибоначчиева гониометрия и 4-я Проблема Гильберта. V-й постулат Евклида (постулат о параллельных) и геометрия Лобачевского. Классическая модель плоскости Лобачевского. 4-я проблема Гильберта. Лямбда-числа Фибоначчи (λ>0 - заданное положительное действительное число). «Металлические пропорции» Веры Шпинадель. Формулы Газале для λ-чисел Фибоначчи и Люка. «Золотая» фибоначчиевая гониометрия как общая теория гиперболических функций. Рекурсивные и гиперболические свойства λ-функций Фибоначчи и Люка, основанных на «металлических пропорциях». Связь с классическими гиперболическими функциями. «Золотая» фибоначчиевая гониометрия и 4-я проблема Гильберта. Лямбда-метрические формы плоскости Лобачевского. «Золотые», «серебряные», «бронзовые», «медные» и другие λ-метрические формы плоскости Лобачевского как решение 4-й проблемы Гильберта.

Лекция 8. Матрицы Фибоначчи и «золотые» матрицы. Несобственные матрицы. Q-матрица Фибоначчи. Обобщенные Q_p-матрицы Фибоначчи. Детерминанты Q_p-матриц Фибоначчи и их степеней. «Прямые» и «инверсные» матрицы Фибоначчи. G_λ- -матрицы Фибоначчи. «Золотые» Q-матрицы. «Золотые» G_λ--матрицы. Уникальные математические свойства матриц Фибоначчи и «золотых» матриц. Матричное представление генетического кода. «Золотые» геноматрицы Сергея Петухова.

Лекция 9. Преобразования Фибоначчи-Лоренца, «золотая» специальная теория относительности и «золотая» интерпретация эволюции Вселенной. Специальная теория относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Современные представления о скорости света в вакууме и фактор самоорганизации Вселенной в процессе ее эволюции. Основные гипотезы, лежащие в основе новой специальной теории относительности: (1) скорость света в вакууме не является константой и изменяется в зависимости от «параметра самоорганизации»; (2) мы используем «золотые» матрицы, основанные на гиперболических функциях Фибоначчи, для введения преобразования Фибоначчи-Лоренца. Несобственные двумерные преобразования Фибоначчи-Лоренца. «Нормализованная фибоначчиевая скорость света в вакууме» и ее функциональная зависимость от параметра самоорганизации. Космологическая интерпретация: «Большой Взрыв» и возникновение «материальной» и «нематериальной Вселенных. Космологическая интерпретация эволюции «Материальной Вселенной». Две «бифуркационные точки»: «Большой Взрыв» и переход от «Темных Веков» к «Светлому Периоду». Современный период: стремление скорости света в вакууме к своему предельному значению, равному эйнштейновской скорости света в вакууме. Космологическая интерпретация эволюции «Нематериальной Вселенной»: время увеличивается в отрицательном направлении и скорость света в вакууме стремится к предельному значению, равному эйнштейновской скорости света в вакууме, деленной на квадрат золотой пропорции 2,618.

Лекция 10. Алгоритмическая теория измерения. Фундаментальная роль измерения в истории науки. Физическая и математическая теории измерения. Эволюция понятия бесконечности. Актуальная и потенциальная бесконечности. Критика актуальной бесконечности и канторовской теории бесконечных множеств. Конструктивный подход к математической теории измерения. Проблема Баше-Менделеева. Принцип асимметрии измерения. Математическая модель измерения. Классические алгоритмы измерения: двоичный алгоритм, алгоритм последовательного счета, алгоритм считывания. Понятие оптимального алгоритма измерения. Оптимальные алгоритмы измерения, порождающие классические позиционные системы счисления. Оптимальные алгоритмы измерения, основанные на треугольнике Паскаля и биномиальных коэффициентах. Фибоначчиевые алгоритмы измерения, основанные на обобщенных p-числах Фибоначчи. Основной результат алгоритмической теории измерения: бесконечное число новых, неизвестных ранее «оптимальных» алгоритмов измерения. Математические теории, изоморфные алгоритмической теории измерения. Интерпретация алгоритмической теории измерения как общей теории позиционных систем счисления. Изоморфизм между «принципом асимметрии измерения» и «принципом асимметрии живой Природы». Интерпретация алгоритмической теории измерения как математической теории биологических популяций.

Лекция 11. «Золотая» информационная технология: компьютеры Фибоначчи. Роль систем счисления для развития информационной технологии: позиционный принцип представления чисел, десятичная система, двоичная система, троичная система. Роль двоичной системы в современной информационной технологии. Двоичная система и «Неймановские принципы» проектирования компьютеров. Основные недостатки двоичной системы. Возрождение интереса к системам счисления в современной науке: система остаточных классов, троичная система счисления, системы счисления с комплексным основанием, нега-позиционные, факториальные, биномиальные системы. «Троичный принцип Брусенцова» и троичный компьютер «Сетунь» (Московский университет, 1958). Коды Фибоначчи. Представление Цекендорфа. Удивительные аналогии между кодом Фибоначчи и генетическим кодом. «Свертка» и «развертка» фибоначчиевых представлений. Минимальная форма и избыточность кодов Фибоначчи. Арифметика Фибоначчи. Основные фибоначчиевые микро-операции. Выполнение логических операций на основе «базовых микроопераций». Фибоначчиевые счетчики. Фибоначчиево суммирование и вычитание.Египетский метод удвоения и фибоначчиево умножение и деление. Процессор Фибоначчи для помехоустойчивых вычислений. Фибоначчиево позиционное представление сложных математических объектов. Драматическая история проекта «Компьютер Фибоначчи» в Советском Союзе.

Лекция 12. «Золотая» информационная технология: коды золотой пропорции и троичная зеркально-симметричная арифметика. Система Бергмана. Коды золотой р-пропорции как новое конструктивное определение действительного числа и как основа «золотой» теории чисел. «Золотое» представление натуральных чисел. Z-свойство как новое свойство натуральных чисел. F- и L-коды как новые позиционные представления натуральных чисел. «Золотая» метрология и «золотые» аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. «Золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика. Преобразование двоичного «золотого» представления в троичное «золотое» представление. Свойство «зеркальной симметрии». Диапазон представления чисел в троичной зеркально-симметричной системе счисления. Зеркально-симметричное суммирование, вычитание, умножение и деление. Основные арифметические преимущества зеркально-симметричной арифметики.

Лекция 13. «Золотая» информационная технология: новая теория корректирующих кодов, основанных на матрицах Фибоначчи, и матричная криптография. История теории кодирования. Канальные коды. Корректирующие коды. Криптографическое кодирование. Основной недостаток алгебраической теории кодирования: низкая корректирующая способность. Матричный метод кодирования-декодирования, основанный на матрицах Фибоначчи. Основные «контрольные соотношения». Обнаружение и исправление ошибок. Избыточность, корректирующая способность и преимущества матричного фибоначчиевого метода кодирования-декодирования. Недостатки криптографических алгоритмов с «открытым ключом»: низкая скорость шифрации-дешифрации и отсутствие «контрольных соотношений». Концепция «гибридных криптосистем». Матричная и «золотая» криптография.

Лекция 14. «Золотая» научная революция, реформа математического образования и Музей Гармонии и Золотого Сечения.

Революция в математике: новый подход к истокам математики, новые классы рекуррентных соотношений и новые числовые последовательности, новые математические константы, «золотая» фибоначчиевая гониометрия и решение 4-й проблемы Гильберта, новый подход к старейшим математическим теориям (алгоритмическая теория измерения, «золотая» теория чисел и новые свойства натуральных чисел), матрицы Фибоначчи и «золотые» матрицы.

Революция в кристаллографии, химии, теоретической физике и космологии. Квази-кристаллы Шехтмана, фуллерены (Нобелевская Премия по химии- 1996), числа Фибоначчи в Периодической системе химических элементов, преобразования Фибоначчи-Лоренца, «золотая» интерпретация специальной теории относительности Эйнштейна, «золотая» интерпретация эволюции Вселенной.

Революция в биологии, ботанике и генетике. Новая геометрическая теория филлотаксиса (геометрия Боднара), «Золотое Сечение» и сердце, фибоначчиевые резонансы генетического кода, «золотые геноматрицы» Петухова, фибоначчиево деление биологических клеток.

Новые научные принципы: закон структурной гармонии систем Сороко, обобщенный принцип «Золотого Сечения» как обобщение «Принципа дихотомии» и классического «Принципа Золотого Сечения».

«Золотая» информационная технология: коды Фибоначчи, коды золотой пропорции, фибоначчиевая и «золотая» арифметика, процессоры и компьютеры Фибоначчи, троичная зеркально-симметричная арифметика, матричная теория корректирующих кодов, основанная на матрицах Фибоначчи, матричная и «золотая» криптография.

Реформа математического образования, основанная на Математике Гармонии. «Элементы» Евклида как главный источник школьного математического образования. Золотое Сечение и Платоновы Тела в «Началах» Евклида. Основная идея реформы математического образования состоит в повышении роли Золотого Сечения, Платоновых тел и Математики Гармонии в математическом образовании. Введение Математики Гармонии в математическое образование превращает изучение математики в очаровательный поиск математических закономерностей в Природе, Науке и Искусстве, что позволяет объединить все учебные дисциплины с единой точки зрения.

Музей Гармонии и Золотого Сечения: коллекция всех созданий Природы, Науки и Искусства, основанных на Золотом Сечении и числах Фибоначчи. Геометрические свойства Золотого Сечения. Платоновы тела. Золотое Сечение в истории культуры. Панели Хеси-Ра. Пирамида Хеопса. Нефертити. Египетский календарь. Пифагор, Платон, Евклид. Космология Платона и Платоновы Тела. «Элементы» Евклида. Парфенон. Греческая скульптура. Числа Фибоначчи в эпоху средних веков. Фибоначчи и его роль в развитии западной математики. Леонардо да Винчи, Лука Пачоли, Рафаэль, Альберти, Микеланджело. Проблема симметрии и гармонии в науке 19-го века. Всеобщий закон пропорциональности Цейзинга. Люка, Бине, Феликс Клейн. Золотое Сечение в Природе. «Золотые» спирали и пентагональная симметрия. Филлотаксис. Симфония Земли. Музыка небесных орбит. Золотое Сечение в изобразительном искусстве. «Золотая» пропорциональность в архитектуре. Золотое Сечение в живописи и скульптуре. Иван Шишкин, Константин Васильев, «Модулор» Корбюзье. Золотое Сечение в современном абстрактном и прикладном искусстве. Золотое Сечение в музыке и поэзии. Золотое Сечение в современной науке. Выдающиеся математики-фибоначчисты 20-го века. Американская ассоциация Фибоначчи. Славянская «золотая» группа.

Литература

Основная:

1. Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific, 2009

2. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва: Советское радио, 1977.

3. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва: Радио и связь, 1984

Дополнительная:

4. Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. Санкт-Петербург: Питер, 2006.

5. Морис Клайн. Математика. Утеря определенности (пер. с англ.). Москва: Мир, 1984.

6. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984.

7. Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория. Москва: Наука, 1973.

8. Метафизика. Век XXI. Сборник трудов. Сост. и ред. Ю.С. Владимиров. Москва: БИНОМ, 2006.