|
Двенадцатигранник из 12-и правильных пятиугольников и двадцатигранник из 20-и правильных треугольников, додекаэдр и икосаэдр. Сколько о них уже рассказано, начиная с Платона. А находят их в раскопках еще более ранних времен, предполагая в качестве игрушек детей и игральных костей.
Приведем их основные геометрические параметры через значение ребра «а» и величину Золотой пропорции j 2=1,618…
*) При равном объеме Sи/Sд » 97% при aи » 1,52*aд
**) Или аналогичная формула: . Интересно вспомнить, что Пифагор определял p =22/7.
Додекаэдр и икосаэдр содержат в себе еще замечательные параметры, связывающие их с миром «Золотой пропорции». И заметьте, это только некоторые параметры; эти тела сплошь состоят из «золотых величин», построены на них.
Д о д е к а э д р: | ||
1 |
Угол наклона соседних граней |
90° + y = 2(j + y) |
2 |
Угол между продолженными гранями (связанными ребром) |
2j ° |
3 |
Соотношение сторон (ребро: L) внутреннего прямоугольника (ребро центр ребро) |
1: j 22 |
4 |
Угол между осью и плоскостью внутреннего прямоугольника |
j ° |
5 |
Отношение расстояния между центрами соседних граней к расстоянию от центра до ребра |
1: j 0 |
6 |
Расстояние от центра до ребра |
b = 0,5j 22ґ a |
7 |
Ребро взаимопересеченного икосаэдра |
j 1ґ b |
И к о с а э д р: | ||
1 |
Внутренний прямоугольник (отношение длины ребра к расстоянию между вершинами через одну) |
1: j 2 |
2 |
Угол наклона ребра к плоскости внутреннего 5-угольника |
j ° |
3 |
Угол между плоскостями 2-х внутренних 5-угольников |
2j ° |
4 |
Внутренний центральный угол между вершинами ребра |
2j ° |
В этих таблицах j 0=Ц 1,25=1,118…, j 1=0,618…, j ° угол, у которого tgj ° =j 1, y угол, связанный таким выражением: 2j ° +y ° =90°.
У взаимопересекающихся додекаэдра и икосаэдра, то есть у которых равны расстояния от их центров до ребер, их ребра имеют следующее
Этот рисунок вложенных друг в друга додекаэдра и икосаэдра являются как бы символом их «тесного сосуществования». Имея равное количество ребер (30), они перекрестно обмениваются количествами вершин и граней, а также количествами углов на грани и в вершине. Последние количества входят в обозначение индекса Шлефли: (5,3) для додекаэдра и (3,5) для икосаэдра. То есть они взаимообратны и дополнительны (как и другая пара: куб и октаэдр).
Полный текст можно посмотреть в формате PDF (615Кб)