Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Школа Золотого Сечения

Сергей А. Алферов
О взаимосвязях додекаэдра и икосаэдра
Oб авторе

Двенадцатигранник из 12-и правильных пятиугольников и двадцатигранник из 20-и правильных треугольников, додекаэдр и икосаэдр. Сколько о них уже рассказано, начиная с Платона. А находят их в раскопках еще более ранних времен, предполагая в качестве игрушек детей и игральных костей.


Приведем их основные геометрические параметры через значение ребра «а» и величину Золотой пропорции j 2=1,618…



*) При равном объеме Sи/Sд » 97% при aи » 1,52*aд

**) Или аналогичная формула: . Интересно вспомнить, что Пифагор определял p =22/7.


Додекаэдр и икосаэдр содержат в себе еще замечательные параметры, связывающие их с миром «Золотой пропорции». И заметьте, это только некоторые параметры; эти тела сплошь состоят из «золотых величин», построены на них.


Д о д е к а э д р:

1

Угол наклона соседних граней

90° + y = 2(j + y)

2

Угол между продолженными гранями (связанными ребром)

2j °

3

Соотношение сторон (ребро: L) внутреннего прямоугольника (ребро — центр — ребро)

1: j 22

4

Угол между осью и плоскостью внутреннего прямоугольника

j °

5

Отношение расстояния между центрами соседних граней к расстоянию от центра до ребра

1: j 0

6

Расстояние от центра до ребра

b = 0,5j 22ґ a

7

Ребро взаимопересеченного икосаэдра

j 1ґ b

И к о с а э д р:

1

Внутренний прямоугольник (отношение длины ребра к расстоянию между вершинами через одну)

1: j 2

2

Угол наклона ребра к плоскости внутреннего 5-угольника

j °

3

Угол между плоскостями 2-х внутренних 5-угольников

2j °

4

Внутренний центральный угол между вершинами ребра

2j °


В этих таблицах j 0=Ц 1,25=1,118…, j 1=0,618…, j ° — угол, у которого tgj ° =j 1, y — угол, связанный таким выражением: 2j ° +y ° =90°.

У взаимопересекающихся додекаэдра и икосаэдра, то есть у которых равны расстояния от их центров до ребер, их ребра имеют следующее соотношение: aд = j 1 * aи.

Этот рисунок вложенных друг в друга додекаэдра и икосаэдра являются как бы символом их «тесного сосуществования». Имея равное количество ребер (30), они перекрестно обмениваются количествами вершин и граней, а также количествами углов на грани и в вершине. Последние количества входят в обозначение индекса Шлефли: (5,3) для додекаэдра и (3,5) для икосаэдра. То есть они взаимообратны и дополнительны (как и другая пара: куб и октаэдр).

Полный текст можно посмотреть в формате PDF (615Кб)


Сергей А. Алферов, О взаимосвязях додекаэдра и икосаэдра // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14041, 29.11.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru