Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Школа Золотого Сечения

Стахов А.П.
Роль Золотого Сечения в современном математическом и общем образовании
Oб авторе
Аннотация

В статье обсуждается возможный вариант реформы математического и общего образования, основанной на принципах Гармонии и Золотого Сечения. Введение Золотого Сечения в математическое образование может значительно повысить интерес учащихся к изучению математики и будет способствовать формированию нового научного мировоззрения.


Оглавление

  1. Введение
  2. Основные математические открытия «элементарной математики»
  3. Роль Золотого Сечения в истории культуры
  4. Роль Золотого Сечения в развитии современной науки
  5. Почему в современном математическом образовании игнорируется Золотое Сечение?
  6. Математика Гармонии как развитие математической теории Золотого Сечения и как новый вид «элементарной математики»
  7. Золотое Сечение и Триалектика
  8. Как ввести Золотое Сечение в математическое образование?
  9. Заключение
  10. Литература

1. Введение

Среди учеников и студентов, изучающих математику, иногда бытует мнение о математике как «сухой» и «безжизненной» дисциплине, имеющей очень далекое отношение к реальной жизни. Поэтому всегда существует тенденция побыстреее «пройти математику», чтобы поскорее ее «забыть» и начать изучать физику, астрономию, геологию, химию, ботанику, анатомию, медицину, экономику, психологию, эстетику, музыку, живопись, поэзию, архитектуру и другие полезные дисциплины, имеющие непосредственное отношение к материальной и духовной жизни и среде, которая нас окружает. И хотя большинство учеников и студентов понимают, что математика является одной из важнейщих учебных дисциплин, без которой не могут быть сформулированы важнейшие физические, астрономические и другие законы, тем не менее впечатление о математике как «сухой» и «безжизненной» дисциплине остается неизменным среди многих учеников и студентов независимо от национальности, религиозной принадлежности и страны обитания.

Возникает вопрос: как «оживить» преподавание математики? Другими словами, как повысить интерес школьников и студентов к изучению математики?

Во второй половине 20-го века значительно возрос интерес к проблеме чисел Фибоначчи, Золотого Сечения и их многочисленным проявлениям и приложениям в Природе, Науке и Искусстве [1-39]. Автор работает в этом направлении более 30 лет и является автором ряда книг и многих статей, опубликованных в ведущих академических журналах Украины и международных журналах [20-39]. В последние годы автор работал профессором кафедры математики Винницкого государственного педагогичнкого университета (Украина), где он преподавал оригинальный курс «Математика Золотого Сечения и ее приложения» для студентов-математиков, будущих учителей математики средних школ. Курс вызвал огромный интерес у студентов. В настоящее время многие из этих студентов работают учителями в школах и широко используют знания, полученные в этом курсе, в своей преподавательской деятельности. Успех этого курса убедил автора в том, что использование Золотого Сечения в математическом образовании значительно повышает интерес студентов к изучению математики и превращает изучение математики в увлекательный поиск математических закономерностей в мире, который нас окружает.

Автор поделился своим опытом преподавания такого курса с профессором Аланом Роджерсоном, который является признанным «международным авторитетом» в математическом образовании. Он является координатором Международного Проекта «Математическое образование в 21-м столетии». Он также был Председателем Международного программного комитета Международной конференции «Гуманистическое возрождение математического образования» (Италия, Палермо, 2002). Проф. Роджерсон прислал автору весьма обнадеживающее письмо следующего содержания:

«Дорогой Профессор Стахов! Как Председатель международного программного комитета, я уполномочен от имени комитета пригласить Вас на нашу конференцию, чтобы Вы могли представить на конференции Вашу статью «Роль Золотого Сечения в современном математческом образовании», которая дает представление о Ваших всемирно известных и важных научных исследованиях. Ваш доклад будет включен в программу и будет опубликован в трудах Конференции. Мы приветствуем Ваше участие в конференции как почетного представителя Вашей страны Украины, Вашего города Винница и Винницкого государственного педагогического университета. Мы надеемся, что в будущем Вы станете участником нашего Международного Проекта».

Основная цель настоящей статьи – рассказать об опыте преподавания оригинальной математической дисциплины «Математика Золотого Сечения и ее приложения», которую, возможно, можна рассматривать как начало реформы современного математического и общего образования, основанной на принципах Гармонии и Золотого Сечения.

2. Основные математические открытия «элементарной математики»

«Элементпарная» и «высшая» математика

Обсуждая предмет математики, обычно принято делить ее на две условные части: (1) Элементарная математика и (2) Высшая математика. В русском языке прилагательное «элементарная» имеет некоторый уничижительный смысл для математики. Оно означает нечто очень простое, «школьное», недостойное внимания серьезных ученых. Такая точка зрения весьма распространена среди так называемых «чистых» математиков, чем и объясняется тот факт, что исследования в области «элементарной математики» очень редко являются темами математических диссертаций (что там исследовать – все уже давно исследовано). Однако в английском языке слово «elementary» имеет совершенно другой смысл. В переводе с английского оно означает «первоначальное», «начальное», «первичное». А слово «Elements», производное от «elementary», в переводе с английского означает «основы» (науки), «азы», «святые дары», «причастие». Именно такое значение имеет это слово, когда мы говорим «Euclidean Elements» («Начала» Евклида).

Мы будем использовать второе («английское») значение этого слова в определении «элементарная математика». И тогда согласно «анлийскому» значению этого слова мы имеем полное право разбить математику две части: (1) «Первоначальную» (то есть, «элементарную», «первичную») математику, которая содержит в себе некоторые наиболее общие, исходные математические идеи, концепции и теории, то есть «основы математики», и (2) «Высшую математику», которая является развитием и приложением этих «основ».

По мнению А.Н. Колмогорова, исторически период «элементарной математики» (включая период «до-элементарной математики») был наиболее длительным периодом в истории математики. Начало этого периода относится к египетской, вавилонской, китайской, индусской, греческой культурам, а окончание – к 16-му столетию, когда были открыты логарифмы. Именно в течение этого периода и были созданы «основы математики», которые были положены в основу общего математического образования. В истории математики считается, что на первой стадии своего развития математика изучала две важнейшие «практические проблемы», а именно, проблему измерения (как измерять расстояния, площади, объемы, интервалы времени и т.д.), которая привела к созданию геометрии, и проблему счета (как считать предметы и количества), которая привела математику к открытию систем счисления и практической арифметики, а позже – к формированию концепции натурального числа, которая лежит в основе теории чисел.

Подчеркивая роль «проблемы измерения» в истории математики, известный болгарский математик академик Илиев написал: «На протяжении первой эпохи своего развития – от античности и вплоть до открытия дифференциального и интегрального исчисления – математика, исследуя в первую очередь проблемы измерения величин, создала геометрию Евклида и учение о числах» [40, с.207].

Что же представляют собой «основы математики», то есть, что собой представляют наиболее важные математические открытия, концепции и теории, которые и были положены в основу школьного математического образования?

Позиционный принцип представления чисел

Позиционный принцип представления чисел и вытекающие из негодесятичная и двоичная системы счисления сыграли исключительную роль в развитии математики и материальной культуры. Как известно, это открытие было сделано в вавилонской математике. Первой позиционной системой считается вавилонская 60-ричная система счисления, открытая примерно за два тысячелетия до новой эры. Наиболее древним считается двоичный способ представления чисел, который был использован китайскими учеными для кодирования «триграмм» («Китайская книга перемен»), а в 20-м веке стал основой современных компьютеров. Каждый человек на земном шаре, окончивший хотя бы четыре класса начальной или «церковно-приходской» школы, знает, по меньшей мере, две полезные вещи: он умеет писать и читать и использовать десятичную систему счисления для выполнения простейших арифметических операций. И эта система кажется нам настолько простой и элементарной, что многие из нас с большим недоверием отнесутся к утверждению, что десятичная система и связанный с ней позиционный принцип предствления чисел является одним из крупнейших математических открытий в области «элементарной» математики. И чтобы убедить читателя в этом, обратимся к мнению «авторитетов».

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), французский математик, член Парижской академии наук, почетный иностранный член Петербургской академии наук:

«Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

М.В. Остроградский (1801-1862), русский математик, член Петербургской академии наук и многих иностранных академий:

«Нам кажется, что после изобретения письменности самым большим открытием было использование так называемой десятичной системы счисления. Мы хотим сказать, что соглашение, с помощью которого мы можем выразить все полезные числа двенадцатью словами и их окончаниями, является одним из самых замечательных созданий человеческого гения …»

Жюль Таннери (1848-1910), французский математик, член Парижской академии наук:

«Что касается до нынешней системы письменной нумерации, в которой употребляется девять значащих цифр и ноль, и относительное значение цифр определяется особым правилом, то эта система была введена в Индии в эпоху, которая не определена точно, но, по-видимому, после христианской эры. Изобретение этой системы есть одно из самых важных событий в истории науки, и несмотря на привычку пользоваться десятичной нумерацией, мы не можем не изумляться чудной простоте ее механизма».

Создание первых систем счисления относится к периоду зарождения математики, когда потребности счета предметов, измерения времени, земельных участков и количества продуктов привели к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Изучение десятичной системы (а в последние десятилетия также и двоичной) является обязательным элементом всеобщего математического образования.

Концепция натурального числа

Что такое натуральное число? Ответ на этот вопрос дается в «Началах» Евклида. Согласно Евклиду существуют бесконечное количество исходных геометрических отрезков, называемых «монадами» или «единицами»

S = {1, 1, 1, …}.

Согласно Евклиду под натуральным числом понимается геометрический отрезок, который может быть составлен из «монад» по правилу:
N = 1+1+ … + 1 (N раз). (1)

Заметим, что в пифагорейской арифметике «монада» не считалась числом; она рассматривалась как «матерь всех чисел».

Несмотря на предельную простоту определения (1), оно имеет глубокие последствия для математики, в частности, теории чисел. Можна смело утверждать, что все основные понятия элементарной теории чисел, такие как простые и составные числа, алгоритм Евклида, аксиома Евдокса-Архимеда, умножение, деление, теория делимости и сравнений и т.д. вытекают естественным способом из определения (1). Изучение натуральных чисел и их математических свойств является обязательным элементом всеобщего математического образования.

Математическая теория измерения и иррациональные числа

Математическая теория измерения [41] является второй (после теории чисел) фундаментальной теорией «элементарной математики». Ее возникновение связано с открытием несоизмеримых отрезков, которое привело к первому в истории математики кризису в основаниях математики и возникновению иррациональных чисел. Как известно, это открытие по праву считается наиболее важным математическим открытием греческой математики за всю ее историю. Для преодоления кризиса, связанного с «несоизмеримыми отрезками», великий геометр Евдокс предложил метод исчерпывания, с помощью которого он построил математическую теорию измерения величин. Теория Евдокса о несозмеримости изложена в 5-й книге «Начал Евклида». Удивительно, но эта теория в основном совпадает с современной теорией иррациональных чисел, разработанной Дедекиндом в 1872 г. Каждый образованный человек должен знать об иррациональных числах, — это одна из аксиом всеобщего математического образования.

Теорема Пифагора

Эта теорема является едва ли не самой знаменитой теоремой геометрии и в некотором смысле даже символом геометрии. В Евклидовой геометрии она служит основой для определения расстояния между двумя геометрическими точками. Эта теорема настолько фундаментальна и широко известна, что каждый человек, «забывший» все про математику, все же помнит «Теорему Пифагора».

Число p и тригонометрия

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской. Поскольку основной гипотезой античной астрономии (которая была основой астрономической науки вплоть до открытия законов Кеплера) было представление о сферическом характере планетных орбит («культ сферы»), то именно число p, которое является основной математической пропорцией сферы, круга и окружности, и лежит в основе тригонометрических функций - важнейшего класса «элементарных функций», задавемых с помощью окружности. Число p, тригонометрия и тригонометрияечкие функции являются важнейшим разделом «элеметарной математики», без которого немыслимо современное математическое образование.

Платоновы тела

На заре развития математики было сделано важнейшее геометрическое открытие – Платоновы тела. На протяжении многих тысячелетий «Платоновы тела» являются источником плодотворых научных идей и открытий. Как известно, великий философ Платон использовал эти тела (число которых равно 5) в своей космологии. Согласно Платону атомы четырех «основных элементов» (Огня, Воздуха, Воды и Земли имеют форму «Платоновых тел» (Огонь – тетраэдра, Воздух – октаэдра, Земля – гексаэдра или куба, Вода — Икосаэдра). Платон рассаматривал додекаэдр как «главную фигуру мироздания», выражающую Гармонию Вселенной. Теория Платоновых тел впервые изложена в «Началах» Евклида. Тот факт, что Евклид поместил эту теорию в 13-й, то есть завершающей, книге «Начал», привел к выдвижению интересной гипотезы, что своей главной целью при написании своих «Начала» Евклид ставил изложение теории Платоновых тел, которые согласно Платону и лежат в основе мироздания.

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... были открыты знаменитым итальянским математиком Фибоначчи в 13-м веке. В 19 веке французский математик Люка ввел в рассмотрение так называемые числа Люка, которые вместе с числами Фибоначчи играют важную роль в таком важном разделе «элементарной математики» как теория чисел Фибоначчи [2, 3]. В современной науке числа Фибоначчи стали источником весьма плодотворных математических исследований, которые начали проводиться во второй половине 20-го века группой американских математиков, объединившихся в 1963 г. в рамках математической Фибоначчи-Ассоциации.

Число е, логарифмы и элементарные функции

Упоминавшееся выше число p является одной из важнейщих математических констант. Это число входит во многие известные математические формулы. Не меньшую роль в математике играет число е, которое называют также «неперовым» или «эйлеровым» числом. Название «неперово» число связано с именем Непера, который в 16-м столетии сделал важное математическое открытие — логарифмы, которое и завершило период «элементарной математики». Изучение логарифмов является обязательным элементом современного математического образования. Но главная роль чисел p и е состоит в том, что они лежат в основе так называемых элементтарных функций, в частности, число p, как упоминалось, лежит в основе тригономнетрических функций, а число е лежит в основе экспоненциальной (еx), логарифмической (lnx), а также гиперболических функций, которые были положены Н.И. Лобачевским в основу его «гиперболической геометрии». Числа p и е настолько важны для математического анализа, что кто-то из математиков сказал: «Числа p и е господствуют над анализом».

Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты

Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля широко используются в различных разделах математики, информатики и других науках. По существу, это – один из фундаментальных математических объектов, лежащих в основе точных наук. Знаменитый математик Якоб Бернулли писал:

«Эта таблица имеет ряд чудесных свойств. Только что мы показали, что она составляет существо теории соединений, но те, кто тесно соприкасаются с геометрией, знают, что она хранит ряд фундаментальных секретов этой области математики».

Ознакомление учащихся с треугольником Паскаля и биномиальными коэффициентами также является одной из задач всеобщего математического образования.

Основные отношения Священной Геометрии

Возвращение к Богу, к «Сакральной Геометрии», к «эзотерическим наукам» и «священным знаниям», содержащимся в Талмуде, Библии, Китайской «Книге Перемен», сближение религиозного и научного мировоззрений являются одной из наиболее характергных особенностей современного этапа в развитии человеческой культуры.

Как подчеркивается в книге [42], «существует группа пяти основных математических отношений, которые можно найти во всем мире от яппонских пагод до сайянских храмов в Юкатане, от Стоунхеджа до Великой Пирамиды. Знание этих отношений закладывает базис постижения священной геометрии». Рассмотрим эти отношения:

  1. Число p. Число p есть основная пропорция круга или сферы. Как упоминалось, это иррациональное (трансцендентное) число является одной из важнейших математических констант и лежит в основе тригонометрии и тригонометрических функций
  2. Квадратный корень числа 2: = 1,414. Квадратный корень числа 2 связан с такой священной фигурой как квадрат. Напомним, что форму квадрата имеют грани куба, Платонового тела, который символизировал Землю в космологии Платона. С числом связано открытие несоизмеримых отрезков, что привело к разработке теории иррациональностей и иррациональных чисел и в конечном итоге – к созданию современной «непрерывной» математики.
  3. Квадратный корень числа 3 и Vesica Piscis: = 1,732. Пересечение двух кругов, окружность каждого из которых проходит через центр другого, образует геометрическую фигуру, называемую Vesica Piscis («рыбий пузырь»). Ее духовное значение было высоко оценено художниками Ренессанса, широко использовавшими эту форму в живописи и архитектуре. Равносторонний треугольник, получающийся в результате пересечения двух окружностей, представляет тот фундамент, на котором было возведено здание сакральной геометрии. Напомним, что грани таких важнейших Платоновых тел, как тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, имеют форму равностороннего треугольника. Подобно тому, как квадрат выражается числом , равносторонний треугольник выражается числом , то есть, иррациональным числом, имеющим глубокий метафизический смысл. Равносторонний треугольник обладает наилучшими излучающими свойствами. Сама форма этого треугольника определяет его прекрасные качества как генератора лучистой энергии на большие расстояния. К.Э. Циолковский выдвигал идею вырубки в сибирской тайге гигантского равностороннего треугольника для установления контактов с внеземными цивилизациями.
  4. Квадратный корень числа 5: = 2,236. Это число появляется при исследовании такой священной фигуры как «двойной» квадрат». Число 5 пифагорейцы почитали в качестве священного. Двойной квадрат можно найти в самых священных местах: от камеры царя в Великой Пирамиде до Храма Соломона.
  5. Число PHI: Ф = = 1,618 (Золотое Сечение). Золотое Сечение знаменует собой изначальную красоту; чтобы какая-либо вещь считалась красивой и радовала глаз, она должна отвечать принципу Золотого Сечения. Наиболее ярко принцип Золотого Сечения проявляется в пентагоне, правильном пятиугольнике, на основе которого строится пентаграмма или пентакл. Напомним, что форму пентагона имеют грани додекаэдра, который символизировал Гармонию Вселенной в космологии Платона.

Итак, существует пять мистических геометрических отношений: число p, и число Ф = (Золотое Сечение). Они присутствуют во всех священных местах на земле и служат основой всех сакрально-геометрических построений. Эти символы сакральной геометрии переносят принципы мироустройства в нашу область понимания. Они показывают шаблоны основных законов Творца, которые исходят от Высшего Разума. Мудрость природы предлагает лучший пример того, как следует жить. Эта мудрость передается через символы сакральной геометрии. Чем лучше мы их понимаем, тем больше можем применить силу Гармонии в собственной жизни.

3. Роль Золотого Сечения в истории культуры

Золотое Сечение, называемое также числом PHI в честь великого древнегреческого скульптора Фидия (Phidius), который использовал это число в своих скульптурах, пронизывает всю историю искусства. Пирамида Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная «Джоконда» Леонардо да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина и современного русского художника Константина Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского и Бэллы Барток, «Модулор» Корбюзье, стихи Пушкина и Шота Руставли — вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на Золотом Сечении.

Наиболее удачно выдающаяся роль Золотого Сечения в истории греческой культуры подчеркнута в следующем высказывании гениального российского философа и мыслителя Алексея Лосева: «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — Золотого Сечения... Их (древних греков – А.С.) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

Книга «Код да Винчи», написаннная английским писателем Дэном Брауном, стала бестселлером 21-го века. В одной из глав герой книги профессор Лэнгдон вспоминает о своих лекциях по Золотому Сечению для студентов Гарвардского университета. Лэнгдон учит студентов:

«Несмотря на почти мистическое происхождение, число PHI сыграло по-своему уникальную роль. Роль кирпичика в фундаменте построения всего живого на земле. Все растения, животные и даже человеческие существа наделены физическими пропорциями, приблизительно равными корню от соотношения числа PHI к 1. Эта вездесущность PHI в природе... указывает на связь всех живых существ. Раньше считали, что число PHI было предопределено Творцом вселенной. Ученые древности называли одну целую шестьсот восемнадцать тысячных «божественной пропорцией».

Напомним, что Леонардо да Винчи очень высоко оценивал роль Золотого Сечения в искусстве. Благодаря великому Леонардо термин «Золотое Сечение» и был введен в широкое употребление. А само Золотое Сечение стало эстетическим каноном эпохи Возрождения.

4. Роль Золотого Сечения в развитии современной науки

Научно-технический прогресс имеет длительную историю и прошел в своем историческом развитии несколько этапов (вавилонская и древнеегипетская культура, культура Древнего Китая и Древней Индии, древнегреческая культура, эпоха Средневековья, эпоха Возрождения, промышленная революция 18 в., великие научные открытия 19 в., научно-техническая революция 20 в.) и вошел в 21-й век, который открывает новую эру в истории человечества – эру Гармонии. И хотя каждый из этих этапов имеет свою специфику, вместе с тем он обязательно включает содержание предшествующих этапов. В этом и состоит преемственность в развитии науки. Преемственность может осуществляться в различных формах. Одной из сущностных форм ее выражения являются фундаментальные научные идеи, которые пронизывают все этапы научно-технического прогресса и оказывают влияние на различные области науки, искусства, философии и техники.

К разряду таких фундаментальных идей относится идея Гармонии, связанная с Золотым Сечением. По словам Б.Г. Кузнецова, исследователя творчества Альберта Эйнштейна, великий физик свято верил в то, что наука, физика в частности, всегда имела своей извечной фундаментальной целью «найти в лабиринте наблюдаемых фактов объективную гармонию».

В современной науке существует много научных групп, профессионально изучающих числа Фибоначчи, Золотое Сечение и их многочисленные приложения в математике, физике, философии, ботанике, биологии, медицине, компьютерной науке. В современной науке сделано ряд выдающихся открытий, основанных на числах Фибоначчи и Золотом Сечении. Открытие «квази-кристаллов», сделанное в 1982 г. израильским ученым Даном Шехтманом, основанное на Золотом Сечении и «пентагональной» симметрии, имеет революционное значение для современной кристаллографии [7]. Прорыв в современных представлениях о природе формообразования биологических объектов, в начале 90-х годов сделан украинским ученым Олегом Боднаром, создавшим новую геометрическую теорию филлотаксиса [6]. Белорусский философ Эдуард Сороко недавно сформулировал «Закон структурной гармонии систем» [5], основанный на Золотом Сечении и играющий важную роль в процессах самоорганизации. Благодаря исследованиям американских ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа Фибоначчи активно вошли в сферу бизнеса и стали основой оптимальных стратегий в сфере бизнеса и торговли. Эти открытия подтверждают гипотезу американского ученого Д. Винтера, руководителя группы «Планетарные сердцебиения», согласно которой не только энергетический каркас Земли, но и строение всего живого вещества основаны на свойствах додекаэдра и икосаэдра — двух «Платоновых тел», связанных с Золотым Сечением. И наконец, самое, пожалуй, главное — структура ДНК генетического кода жизни, представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная — от Метагалактики и до живой клетки — построена по одному принципу — бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции Золотого Сечения!

Известный российский физик-теоретик Юрий Владимиров (кафедра теоретической физики Московского университета) написал недавно замечательную книгу «Метафизика» (2000) [15]. Самое интересное, что эта серьезная книга в области теоретической физики и ее истории заканчивается весьма примечательной фразой: «Таким образом, можна утверждать, что в теории слабых взаимодействий возникает соотношение Золотого Сечения, которое играет важную роль в различных сферах Науки и Искусства».

Отсюда вытекает очень важный вывод о том, что дальнейшее развитие теоретеческой физики немыслимо без Золотого Сечения! И это мнение российского физика разделяют многие современные физики-теоретики [7-17].

5. Почему в современном математическом образовании игнорируется Золотое Сечение?

Невероятно! – воскликнет каждый читатель настоящей статьи, но почему же я об этом не знал раньше? Почему же с такой интересной информацией, касающейся Золотого Сечения, меня не ознакомили в средней школе или хотя бы в университете? Ведь знания о Золотом Сечении и о его многочисленных приложениях в Природе, Науке и Искусстве, несомненно, обогатили бы каждого из нас. И вряд ли кто-либо из признанных ученых в области педагогики, увенчанных лаврами и почетными научными званиями за создание программ математической подготовки, сможет дать вразумительный ответ на этот вопрос. Откровенно говоря, и автор настоящей статьи тоже не может ответить на этот вопрос. Скорее всего, дело в традиции. Традиционно классическая наука, а следовательно, и классическая педагогика, относилась к «Золотому Сечению» с некоторым предубеждением в связи с тем, что Золотое Сечение широко использовалось в астрологии и так называемых «эзотерических науках» (пентаграмма, Платоновы тела, Куб Метатрона и т.д.). И «материалистическое образование» не нашло ничего более разумного, как выбросить Золотое Сечение на свалку «сомнительных научных концепций» вместе с астрологией и «эзотерическими» науками.

А теперь вспомним Иоганна Кеплера. Свое восхищение «задачей о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (так в старину называли Золотое Сечение) Кеплер выразил в следующих словах: «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Анализ современных программ математического образования в таких странах как США, Канада, Россия и Украина показывает, что в большинстве из них нет даже упоминания о Золотом Сечении, то есть имеет место полное игнорирование одного из важнейших математических открытий античной математики. Результат налицо: большинство так называемых «образованных» людей хорошо знают теорему Пифагора, но имеет весьма смутное представление о Золотом Сечении.

Но из высказывания Кеплера вытекает, что изучению уникальных свойств и применений Золотого Сечения в окружающем нас мире надо уделять в образовании не меньшее внимание, чем теореме Пифагора. И тогда вполне возможно, что изучение математики, которую в своем большинстве ученики рассматривают как сухую и неинтересную дисциплину, неожиданно могло бы превратиться в увлекательный поиск математических закономерностей окружающего нас мира. То есть введение Золотого Сечения в математическое образование поднимает интерес учащихся к изучению математики!

6. Математика Гармонии как развитие математической теории Золотого Сечения и как новый вид «элементарной математики»

Последние десятилетия развитие так называемой «теории чисел Фибоначчи» [2, 3] стало мощным стимулом дальнейшего развития «элементарной математики». Математика Гармонии, которая была развита автором в работах [20-39], является широким обобщением и развитием «теории чисел Фибоначчи». Именно «Математика Гармонии» и может быть рассмотрена как связующее звено между современной «Высшей математикой» и «Элементарной математикой», созданной в античной науке. В ее рамках получено ряд новых математических результатов, которые могут рассматриваться как новые математические достижения «элементарной математики». Основными из них являются:

  1. Обобщенные числа Фибоначчи или p-числа Фибоначчи, которые вытекают из исследования диагональных сумм треугольника Паскаля [20, 21, 23]
  2. Обобщенные Золотые Сечения или Золотые p-Сечения как пределы отношений соседних p-чисел Фибоначчи [20, 21, 23]
  3. Обобщенный Принцип Золотого Сечения как обобщение классического «Принципа Дихотомии» и классического «Принципа Золотого Сечения» [35]
  4. Теория «золотых» алгебраических уравнений [38]
  5. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка как обобщение «Формул Бине» на непрерывную область [25, 29, 34]
  6. Общая теория формул Бине [37]
  7. Обобщенные числа Люка или p-числа Люка [37]
  8. Теория матриц Фибоначчи, основанная на p-числах Фибоначчи [27]
  9. Теория «золотых» матриц, основанная на гиперболических функциях Фибоначчи [35]
  10. Алгоритмическая теория измерения [20, 21, 23]
  11. Новая теория действительных чисел, основанная на Золотых p-Сечениях [33]
  12. Z-свойство натуральных чисел [33]
  13. Новая компьютерная арифметика [20, 22, 28]
  14. Новая теория кодирования, основанная на матрицах Фибоначчи и «золотых» матрицах [30, 32]

Естественно, что не все из перечисленных выше математических результатов могут быть применены в школьном математическом образовании. Часть из этих математических теорий должно изучаться в университете. Но одно несомненно. Эти математические достижения могут стать основой нового математического курса «Математика Золотого Сечения и ее приложения» для высших учебных заведений (особенно для педагогических университетов).

7. Золотое Сечение и Триалектика

В конце 20-го столетия в философской науке возрождается так называемое тринарное или триалектическое мировоззрение. Суть этого направления наиболее четко выражена в работах российского философа П.Я. Сергиенко, опубликованных на сайте «Академия Тринитаризма». В работе [43] П.Я. Сергиенко излагает суть триалектики: «... С незапамятных времен известно, что действительность Единого (целого) состоит из частей и состоит, как минимум, из двух противоположных частей. Древние философы не сомневались, что целое и две части целого вместе, являют собой нераздельную и гармоничную троицу. Таковы триалектические начала познания всеобщего принципа триединства бытия и христианского учения о Святой Троице. Так же, уже в древности, в познании онтологических начал и мер бытия, разыгралась известная драма в борьбе идей. В итоге, восторжествовали идеи о диалектических началах бытия и его познания, а идеи о триалектических началах бытия и познания были, образно говоря, отложены в историческую кладовую. Востребованы вновь они были только в конце ХХ века.... Разумеется, диалектический метод познания действительности явился направляющим вектором и всеобщим методом познания для развития всех областей знания, в том числе и математики».

И далее там же мы находим очень важную мысль, указываюшая на связь триалектики с Золотым Сечением: «Мыслители древности пришли к выводу, что бытию нераздельной троицы присущи некие количественные меры отношений, гармонично сохраняющие целое при изменении его частей. Суть такой гармонии отношений для нераздельной и вездесущей троицы, в конечном итоге, выражается отношением «золотой пропорции»: «Большая часть целого так относится к целому, как его меньшая часть относится к большей части».

Таким образом, древняя философия монистического восприятия и понимания Мира сформулировала не только фундаментальный принцип триединства бытия мира, но и принцип меры количественных отношений между целым и его частями. Математическая модель данных принципов в последующем выразилась уже в форме «золотого сечения» целого на части (1,0, 0,618…, 0,381…, 1,618…), в согласии с «золотой пропорцией». Последующее многовековое развитие разных областей познания действительности доказывает, что данные принципы являются всеобщими и они изНАЧАЛьно присущи бытию всей Природы».

Таким образом, одна из прогрессивных современных философских концепций – «тринарное или триалектическое мировоззрение» – выдвигает закон Золотого Сечения в качестве всеобщего принципа Природы. Следует отметить, что представление о всобщности «Закона Золотого Сечения» получило развитие в работах и других авторов. В качестве примера можна привести так называемый «Закон структурной гаромонии систем» [5], сформулированный в работах белорусского философа Э.М. Сороко: «Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, стуктурно-функциональную... устойчивость».

В замечательной книге российского архитектора И.Ш. Шевелева «Метаязык живой природы» [19] построена оригинальная теория «целостности» бытия, основанная на Золотом Сечении. Цель этой теории выражена в следующих словах: «Осознать реальный мир как Нечто целое, видеть во множестве форм бытия проявление одной сути, одной причины, видеть за установленными наукой законми природы, описывающими различные проявления реальности один закон, из которого все они происходят – такова главная тенденция человеческой культуры на всем ее историческом пути. Эту задачу решает человеческий разум в сфере религии, философии, науки и искусства. Высшей его целью всегда было стремление установить первопричину бытия, найти исток всеобщей связи всего со всем и придать этой связи формальное, точное выражение».

Таким образом, современная философская наука потверждает фундаментульную роль Золотого Сечения в структурах Природы. И это является дополнительным подтверждением целесообразности введения Золотого Сечения в современное математическое и общее образование.

8. Как ввести Золотое Сечение в математическое образование?

Золотое Сечение в средней школе

Как уже упоминалось неоднократно, по мнению Кеплера, Золотое Сечение вместе с теоремой Пифагора принадлежат к двум главным «сокровищам геометрии»! А это означает, что Золотому Сечению надо уделять в образовании не меньшее внимание, чем теореме Пифагора. И наш первый шаг в реформе школьного образования, основанной на Золотом Сечении, состоит в том, чтобы ввести в школьную Геометрию раздел «Золотое Сечение». В этом разделе школьникам будет интересно узнать о совершенных геометрических фигурах, основанных на Золотом Сечении, в частности, золотом прямоугольнике, пентаграмме, золотой спирали, Платоновых телах.

Переходим к Алгебре. Здесь школьники изучают алгебраические уравнения и методы их решения. Но для школьников будет интересно узнать о специальном классе алгебраических уравнений – «золотых» алгебраических уравнениях [38], отличительной особенностью которых является то, что все они имеют общий корень – Золотое Сечение. И это дает нам основание ввести в «Алгебру» небольшой раздел «Золотые алгебраические уравнения». Далее. В той части школьного курса математики, который посвящен изложению основ теории чисел, нельзя не упомянуть о числах Фибоначчи и их приложениях в природе.

Переходим к наукам о Природе — физике, химии, астрономии, ботанике, биологии. В курсе «Физики» при изучении кристаллов желательно упомянуть и о таком новейшем физическом открытии как квази-кристаллы, основанных на «икосаэдрической» симметрии [7]. Ведь наши школьники уже знают об икосаэдре из курса «Геометрии». В курсе «Химия» целесообразно обратить внимание школьников на химические соединения, построенные «по Фибоначчи» [9]. А в курсе «Астрономия» обязательно необходимо рассказать школьникам о резонансной теории Солнечной системы, основанной на Золотом Сечении [8]. Только таким путем можно объяснить школьникам причины устойчивости Солнечной системы.

Переходим к наукам о живой природе. Украшением курса «Ботаника» может стать раздел «Закон филлотаксиса» [6]. Природа дает огромное количество подтверждений этого закона — и это обстоятельство является главным аргументом в пользу этого раздела. Подобные же разделы были бы желательны и в курсах «Биология» или «Анатомия». В последнем курсе уместно рассказать о пропорциях человеческого тела, основанных на золотом сечении. Можно себе представить, с каким упоением школьники производили бы исследование пропорций своего собственного тела и их сравнения с фигурами Дорифора или Венеры Милосской. Большой интерес у школьников вызовет рассказ о том, что сердечная деятельность млекопитающихся полностью подчиняется «закону Золотого Сечения» [18].

Рассмотрим теперь школьные курсы по искусству. Принципы использования золотого сечения в произведениях искусства (золотой прямоугольник, золотая спираль, «двойной» квадрат и т.д.) достаточно просты для понимания и примеры их использования в архитектуре, живописи и скульптуре интересны для школьников и навсегда отложились бы в их памяти [9, 10, 19].

Эти примеры можно было бы продолжить. Но радикальным решением в области школьного образования явилось бы введение специальной учебной дисциплины с условными названиями «Гармония систем» или «Математика Золотого Сечения». Эту дисциплину можно было бы рассматривать как завершающую дисциплину физико-математического и эстетического образования учащихся. В результате введения такой дисциплины в школьном образовании появится цельная концепция — «Золотое Сечение», которое неразрывной цепью объединит все школьные дисциплины, что способствует развитию у школьников осознания глубокого единства Природы во всех ее проявлениях от атомного ядра и генетического кода до Галактики и формированию нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения. А «лабораторной базой» такого курса можно считать сайт «Музей Гармонии и Золотого Сечения», созданный автором на Интернете в 2001 г. (http://www.goldenmuseum.com/).

Программа курса «Золотое Сечение и его приложения» для педагогических университетов

Ясно, что введение новой парадигмы математического образования необходимо начинать с педагогических университетов. И в качестве примера возможного курса по Золотому Сечению автор считает целесобразным приложить программу курса «Золотого Сечение и его приложения», который читался автором для студентов Винницкого государственного педагогического университета. Курс состоит из следующих тем:

1. Золотое Сечение (ЗС). Геометричне определение ЗС. Алгебраическое уравнение ЗС. Предствление ЗС в форме непреривной дроби и радикальной форме. Геометрические свойства ЗС. Золотой прямоугольник. Пентаграмма. Декагон. Золотые треугольники. Золотые ромбы. Золотой эллипс. Платоновы тела.

2. Золоте Сечение в истории науки и культуры. Тайны Египетских пирамид. Панели Хеси-Ра. Додекаедро-икосаэдрическая доктрина. Новая гипотеза происхождения Египетского календаря. «Золотой кирпич» и его использование в готической архитектуре. Кеплеровсая модель Солнечной системы.

3. Числа Фибоначи и Природа. Задача о размножении кроликов. Рекуррентное соотношение Фибоначчи. Числа Фибоначчи и Люка. Некоторые алгебраические свойства чисел Фибоначчи и Люка. Прямоугольник Фибоначчи. Спираль Фибоначчи. Проявление чисел Фибоначчи в Природе. Размножение медоносных пчел. Спирали Фибоначчи в природе. Ботаническое явление филлотаксиса. Динамическая симметрия соснової шишки, кактуса, пальмового дерева, головки подсолнечника.

4. Золотое Сечение и числа Фибоначчи в архитектуре и искусстве. Парфенон. Скульптуры Аполлона и Венери. «Джоконда» Леонардо да Винчи. Книга Луки Пачоли «De Divina Proportione» как первая в истории науки книга о ЗС. Этюды Шопена и музыкальные произведения выдающихся композиторов в освещении ЗС. Золотое Сечение в поэзии.

5. Формули Бине, гиперболические функции Фибоначчи и Люка и новая геометрия Природы. Роль фундаментальных математичеких констатнт в розвитии математики. Число p и тригонометрические функции. «Эйлерово» число е и експоненциальная функция. Теория гиперболи. Гиперболический поворот. Геометрическая теория натуральных логарифмов. Классические гиперболические функции. Формули Эйлера. Формулы Бине. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Основные математические тождества для гиперболических функций Фибоначчи и Люка. Новый («непрерывный») подход к теории чисел Фибоначчи. Новая геометрическая теория филлотаксиса (геометрия Боднара).

6. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи. Обобщенные числа Фибоначчи как диагональные суммы треугольника Паскаля. Обобщение задачи о ЗС. Обобщенный Принцип Золотого Сечения. «Золотые» алгебраические уравнения. Общая теория формул Бине. Обобщенные числа Люка. Новий подход к геометрическому определению действительного числа. Закон структурной гармонии систем.

7. Алгоритмеская теория измерения. Роль измерения в развитии математики. «Несоизмеримые отрезки» и первый кризис в истории математики. Аксиомы Евдокса- Архимеда и Кантора. Основное уравнение измерения. Задача о выборе наилучшей системы гирь (Фибоначчи, 13 ст.) и ее связь с двоичной и троичной системами счисления. Принцип асимметрии измерения. Оптимальные алгоритмы измерения, которые «генерируют» все классические позиционные системи счисления. Оптимальные алгоритмы измерения, основанные на треугольнике Паскаля и числах Фибоначчи. Алгоритмическая теория измерения как широкое обощение теории позиционных систем счисления.

8. Системы счисления с иррациональными основаниями. Коды Фибоначчи. Арифметика Фибоначчи. Система счисления Бергмана. Z-свойство натуральныхх чисел. Коды Золотой Пропорции. «Золотая» арифметика. Троичная зеркально-симетричная арифметика.

9. Матрицы Фибоначчи, «золотые» матрицы и новая теория кодирования. Q-матрица Фибоначчи. Теория обобщенных матриц Фибоначчи. «Золотые» матрицы. Новая теория кодирования, основанная на обобщенных матрицах Фибоначчи. «Золотая» криптография.

10. Концепция «Математики Гармонии». Основы «Математики Гармонии»: Золотое Сечение, гиперболические функции Фибоначчи и Люка, алгоритмическая теория измерения, новая теория действительных чисел. Структура Математики Гармонии. Основные направления эффективного использования Математики Гармонии.

9. Заключение

Повидимому, ни у кого не вызывает сомнения, что современное математическое и общее образование требует радикального обновления. С учетом вышеизложенного можна сформулировать следующие идеи и представления, которые могут быть положены в основу реформы современного математического и общего образования:

1. Научная доктрина о всеобщей числовой Гармонии Мироздания

Проблема Гармонии относится к разряду «вечных проблем», которые в течение многих тысячелетий находились в центре внимания человеческой мысли. Впервые высказанная Пифагором и развитая в трудах Гераклита, Сократа, Платона, Аристотеля, эта идея в последующие эпохи возрождается в трудах великих мыслителей (Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, Альберти, Дюрера, Кузанского, Аквинского, Спинозы, Бруно, Кеплера, Декарта, Ньютона, Лейбница, Канта, Гегеля и др.). Как пишет известный физик Л. Розенфельд, Ньютон свято верил в то, что «регулярность явлений природы не может быть делом случая, в ней проявляется наличие верховной мудрости и верховного интеллекта, которые все задумали в соответствии со своим назначением и великой гармонии всего творения». Великий Лейбниц представлял Гармонию, как некоторое состояние, предопределенное Богом. Свое отношение к Гармонии он выразил в следующих словах: «Преднамеренное устроение планет и животных более чем что-либо подтверждает мою систему предустановленной гармонии». И как признание власти Законов Гармонии над всем в природе звучат слова Эйнштейна: «Религиозность ученого состоит в восторженном преклонении перед законами гармонии».

С точки зрения современной «материалистической» науки от приведенных выше высказываний Ньютона, Лейбница и Эйнштейна слишком уж веет «теологией» и «поповщиной». И будь Ньютон, Лейбниц и Эйнштейн нашими современниками, их учения вполне могли бы быть отнесены в Российской академии наук к разряду «лженаук», а президенту Путину пришлось бы разбираться с пламенными призывами российских академиков разобраться с «лжеучеными» Ньютоном, Лейбницем и Эйнштейном.

В 19 в. идея Гармонии находит отражение в трудах немецкого исследователя Цейзинга, открывшего «Вееобщий Закон Пропорциональности», основанный на Золотом Сечении. В 20 в. идея всеобщей Гармонии Мироздания возрождается в трудах российского профессора архитектуры Гримма [44] и французского исследователя Матилы Гика [45], а также в трудах российских мыслителей Лосева и Флоренского. В последние десятилетия активными проводниками этой идей являются такие представители славянской науки как И.Ш. Шевелев [19], Э.М. Сороко [5], О.Я. Боднар [6], В.И. Коробко [10], П.Я. Сергиенко и многие другие.

Очевидно, что эта доктрина, позволяющая связать воедино все учебные дисциплины, может привести к формированию нового научного мировоззрения, основанного на этой доктрине.

2. Тринитарное или триалектическое мировоззрение

Современное наука переживает период перехода от диалектического синтеза познания бытия к «тринитарному» или «триалектическому». Как подчеркивется в опубликованной статье известного российского ученого Р.Г. Баранцева «Возрождение тринитарного сознания в России», «философская идея триадичности прослеживается в сочинениях Платона, Прокла, Коменского, Фихте, Гегеля, Шеллинга, Штейнера,… В России под знаком Святой Троицы творили Андрей Рублёв, А.С. Хомяков, В.Ф. Одоевский, Е.П. Блаватская, В.С. Соловьёв, Н.О. Лосский, С.Н. Булгаков, Н.А. Бердяев, П.Д. Успенский, П.А. Флоренский, Л.П. Карсавин, В.Ф. Войно-Ясенецкий, П.А. Сорокин, А.С. Лосев,…К архетипу триединства возвращаются и современные мыслители: В.А. Богданов, А.В. Волошинов, Т.П. Григорьева, Л.И. Корочкин, В.В. Налимов, Г.С. Померанц, Б.В. Раушенбах, К.А. Свасьян, В.Н. Тростников, П.Я. Харченко… Появилась и общественная организация, объединяющая приверженцев тринитарной идеи, — Академия Тринитаризма (www.trinitas.ru)». Все это дает основание высказать предположение, что «тринитарное» мышление должно стать важным элементом современного образования. Но как упоминалось выше, тринитарное мировоззрение естественным путем приводит к Золотому Сечению, выдвигая закон Золотого Сечения в качестве всеобщего принципа Природы.

3. Закон Золотого Сечения

Примеры широкого проявления Золотого Сечения в структурах Природы (сосновая шишка, ананас, кактус, головка подсолнечника, морские раковины и др.) являются достаточно убедительным подтверждением того факта, что Золотое Сечение является важнейшей математической константой Природы, некоторым «Универсальным Кодом Природы», используемым Природой во всех ее проявлениях – от генетического кода до Галактики. Наряду с этим известно широкое использование Золотого Сечения в произведениях искусства и архитектуры, начиная с Египетских пирамид и заканчивая «Модулором» Корбюзье. Современные физические исследования показали, что Золотое Сечение играет фундаментальную роль в кристалллографии [7] и теории элементарных частиц [11-14]. Новая теория компьютеров [20, 22, 28], кодирования и криптографии [30, 32] могут стать основой новых информационных технологий.

Все перечисленные факты дают основание высказать предположение, что Золотое Сечение и связанные с ним числа Фибоначчи должны стать существенными элементами современного математического и общего образования. Более того, «принцип Золотого Сечения» должен стать важнейшей математической идеей, инструментом, с помощью которого в образование и должны внедряться «Научная доктрина о всеобщей числовой Гармонии Мироздания» и «Тринарное мировоззрение». «Отчуждение» Золотого Сечение от математического и общего образования нанесло такой же огромный вред образованию, как в свое время «отчуждение» религии от образования. Это привело к появлению нескольких поколений «однобоко образованных» людей, имеющих весьма смутное представление о Золотом Сечении и об истории тысячелетних поисков всеобщих законов Гармонии Мироздания, что на протяжении тысячелетий было предметом пристального внимания великих ученых и мыслителей, начиная с Пифагора и Платона и заканчивая Лосевым и Флоренским.

Можно ожидать, что введение Золотого Сечения и чисел Фибоначчи в современное математическое и общее образование приведет к следующим важным последствиям:

  1. Значительное повышение интереса учащихся к математике. Ее изучение превращается в увлекательный процесс поиска математических закономерностей в мире, который нас окружает.
  2. В общем образовании появляется некоторая цельная идея – Золотое Сечение, которое связывает в единое целое все учебные дисциплины.
  3. Золотое Сечение будет способствовать выработке у учащихся нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения, и откроет перед учащимися новые пласты человеческой культуры, связанные с Золотым Сечением.

Литература

  1. Bergman, G. A. A number system with an irrational base. USA, Mathematics Magazine, 1957, No.31, p. 98-119.
  2. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи, Москва, Наука, 1969 / 112 c.
  3. Hoggat, V. E. Fibonacci and Lucas Numbers, Houghton-Mifflin, Palo Alto, California, 1969 / 92 p.
  4. Spears C.P., Bicknell-Johnson M. Asymmetric cell division: binomial identities for age analysis of mortal vs. immortal trees, Applications of Fibonacci Numbers, Vol. 7, 1998, 377-391.
  5. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск, Наука и техника, 1984 / 264 c.
  6. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов, Изд-во «Свит», 1994 / 204 c.
  7. Гратиа Д. Квазикристаллы. Москва, Успехи физических наук., 1988, том 156, вып. 2, с. 347-363.
  8. Бутусов К.П. Золотое сечение в Солнечной системе. Москва, Астрономия и небесная механика. Серия «Проблемы исследования Вселенной», 1978, вып. 7, с. 477-500.
  9. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. Москва, Молодая Гвардия, 1990 / 238 с.
  10. Коробко В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. Москва, Изд-во Ассоциации строительных вузов, 1998 / 376 с.
  11. Mauldin R.D. and Willams S.C. Random recursive construction. Trans. Am. Math. Soc. 1986; 295, 325-346.
  12. El Naschie M.S. On dimensions of Cantor set related systems. Chaos, Solitons & Fractals, 1993, 3, 675-685.
  13. El Nashie M.S. Is Quantum Space a Random Cantor Set with a Golden Mean Dimension at the Core? Chaos, Solitons & Fractals, 1994; 4(2); 177-179.
  14. Владимиров Ю.С. Кварковый икосаэдр, заряды и угол Вайнберга. Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого госудврственного аграрного университета, 2003, с. 69-79.
  15. Владимиров Ю.С. Метафизика. Москва, Бином, 2002 / 550 c.
  16. Петруненко В.В. К вопросу о физической сущности явления декалогарифмической периодичности. Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого госудврственного аграрного университета, 2003, с. 80-86.
  17. Майборода А.О. Открытие Golden Section в фундаментальных соотношениях физических величин. Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого госудврственного аграрного университета, 2003, с. 87-94.
  18. Цветков В.Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. Пущино, Институт теоретической и экспериментальной биофизики, 1997 / 170 c.
  19. Шевелев И.Ш. Метаязык живой природы, Кострома, Изд-во «Воскресенье», 2000 / 352 c.
  20. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское радио, 1977 / 288 c.
  21. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. Москва, Знание, 1979 / 64 c.
  22. Стахов A.П. Коды золотой пропорции, Москва, Радио и связь, 1984 / 152 c.
  23. Stakhov A.P. The Golden Section in the measurement theory. An International Journal «Computers & Mathematics with Applications», Volume 17, No 4-6, 1989, 613-638.
  24. Стахов О.П. Золотий переріз і наука про гармонію систем. Київ, Вісник Академії наук Української РСР, 1991, №12, 8-15.
  25. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Киев, Доклады Академии наук Украины, 1993, том 208, № 7, 9-14.
  26. Stakhov, A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics, Applications of Fibonacci Numbers, Vol. 7, Kluwer Academic Publishers, 1998, 393-399.
  27. Stakhov A.P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix, Киев, Доклады Академии наук Украины, 1999, No 9, 46-49.
  28. Stakhov, A.P. Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic, The Computer Journal (British Computer Society), 2002, Vol. 45, No. 2, 222-236.
  29. Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions: A New Mathematics for Living Nature. Винница, Изд-во «ITI», 2003 / 240 c.
  30. Stakhov A.P., Sluchenkova A.A. Museum of Harmony and the Golden Section: Mathematical connections in Nature, Science and Art. Vinnitsa, ITI, 2003 / 92 p.
  31. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии. Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого госудврственного аграрного университета, 2003, 8 — 26.
  32. Стахов А.П. Кодирование данных, основанное на фибоначчиевых матрицах. Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого госудврственного аграрного университета, 2003, 311-325.
  33. Стахов A.П. Обобщенные Золотые Сечения и новый подход к геометрическому определению числа, Киев, Украинский математический журнал, 2004, Vol. 56, No 8, 1143-1150
  34. Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function — Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 23, No.2, 379-389.
  35. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its Applications in Mathematics, Science and Engineering. — Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 26, No.2, 263-289.
  36. Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar — Chaos, Solitons & Fractals Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 26, No.3, 677-684.
  37. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers — Chaos, Solitons & Fractals (2005, in publication).
  38. Stakhov A., Rozin B. The «Golden» Algebraic Equations — Chaos, Solitons & Fractals (2005, in publication).
  39. Stakhov A., Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section — Chaos, Solitons & Fractals (2005, in publication).
  40. Илиев Л. Математика как наука о моделях. Успехи математических наук, 1972, т.27, вып. 2 (64), 207-212.
  41. Дубнов Я.С. Измерение отрезков. Москва, Физматгиз, 1962 / 100 c.
  42. Неаполитанский С.М., Матвеев С.А. Сакральная геометрия. Санкт-Петербург, Изд-во «Святослав», 2003 / 632 c.
  43. Сергиенко П.Я. Проблема начал познания мер гармонии триединого бытия. Беседа 1. // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11885, 10.03.2005.
  44. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. Ленинград-Москва, ОНТИ, 1935 / 148 c.
  45. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. Москва, Изд-во Всесоюзной Академии архитектуры, 1936 / 310 c.

Стахов А.П. Роль Золотого Сечения в современном математическом и общем образовании // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12374, 23.08.2005

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru