1. Введение

Существуют различные критерии для оценки результативности того или иного математического результата. Пуанкаре называл изящным математическое построение, позволяющее вывести наибольшее число положений из наименьшего числа посылок. Для Эйнштейна такими критериями являются «внешнее оправдание» (согласие с опытом) и «внутренне совершенство». С этими критериями согласуется «принцип математической красоты» Дирака. Морис Клайн в своей замечательной книге «Математика. Утрата определенности» [1] подчеркивает, что для развития тех или иных направлений математики вынуждены «руководствоваться внешними соображениями». При этом наиболее важным соображением «остается традиционный и наиболее объяснимый довод в пользу создания новой и развития уже существующей математики – ее ценность для других наук».

И далее:

«Приложения служат своего рода практическим критерием, которым мы проверяем математику... Почему бы и теперь не судить о правильности математики в целом по тому, насколько хорошо она продолжает описывать и предсказывать природные феномены?».

Вот с таких позиций необходимо оценивать различные «обобщения» золотого сечения и чисел Фибоначчи, которые появились в последние полвека и появляются в огромном количестве в научной литературе.

Ни у кого не вызывает сомнений, что классические числа Фибоначчи и золотая пропорция играют доминирующую роль, как с точки зрения «согласия с опытом», так и с точки «принципа математической красоты» Дирака. Достаточно убедительное объяснение причин широкого распространения «золотого сечения» в природе и человеческой практике дано в статье [2].

Однако, в последние десятилетия появилось ряд обобщений «золотой пропорции», которые привлекли внимание исследователей в этой области.

Почему в современной «математике гармонии» [3] исследователи отдают предпочтение двум обобщениям «золотой пропорции»: золотым р-пропорциям и «металлическим пропорциям»? Цель настоящей заметки – дать ответ на эти вопросы с точки зрения двух критериев – «согласия с опытом» и «принципа математической красоты» Дирака.

2. Золотые р-пропоции и р-числа Фибоначчи

Начнем с р-чисел Фибоначчи. Прежде всего, хочу заметить, что р-числа Фибоначчи стали побочным и неожиданным результатом решения важной прикладной задачи – разработки теории оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования [4]. Эту задача была сведена к «задаче о выборе наилучшей системы гирь», сформулированной Фибоначчи еще в 13 в. В русской историко-математической литературе эта задача называется «задачей Баше-Менделеева». В этой задаче требовалось найти оптимальную систему гирь для взвешивания на рычажных весах. Когда в 1963 г. мы с Игорем Витенько начинали решать «задачу о гирях», мы имели весьма смутное представление о числах Фибоначчи и золотом сечении. И поэтому для нас совершенно неожиданным результатом стали так называемые фибоначчиевые алгоритмы измерения, в которых «оптимальная система гирь» описывалась р-числами Фибоначчи.

формате PDF (206Кб)