Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

А.П. Стахов
Советские математики и исследователи, внесшие существенный вклад в развитие «математики гармонии» и ее приложений

Oб авторе

 

1. Введение

В ряде своих публикаций [1,2] я выдвинул идею о том, что процесс «гармонизации математики», который настойчиво стучится в двери современной математики, начался в Советском Союзе с публикации брошюры Николая Воробьева «Числа Фибоначчи» [3]. Следует отметить, что современные математики-фибоначчисты (Воробьев [3], Хоггатт [4], Вайда [5] и др.) дипломатично спрятали под названием «теория чисел Фибоначчи» ни что иное, как «математику гармонии» или «математику золотого сечения», - и это было абсолютно правильное решение. В противном случае это направление просто не было бы воспринято «математической братией» с ее «левополушарным» мышлением (по выражению академика Арнольда). Чтобы убедиться в том, как современные математики относятся к «золотому сечению», достаточно попытаться опубликовать статью с упоминанием таких понятий как «гармония» или «золотое сечение» в современном математическом журнале. Результат будет отрицательным. А статьи по «числам Фибоначчи» с трудом, но можно опубликовать.

Поэтому в статье [6] и затем в книге [7] автор взял на себя смелость назвать вещи своими именами. Математика Пифагора и Платона есть ни что иное как «математика гармонии», нацеленная на решение главной задачи – создание античного математического учения о природе, в основе которого лежало «золотое сечение» и «Платоновы тела» - главные выразители «Гармонии Мироздания» в античной науке. Согласно «гипотезе Прокла», этому и посвящены «Начала» Евклида – главное математическое сочинение античной науки. Начиная с античного периода, в математике развивается как бы две математики – «Классическая Математика», которая позаимствовала в «Началах» аксиоматический подход, теорию чисел и теорию иррациональностей, и «Математика Гармонии», позаимствовавшая в «Началах» «золотое сечение» и «Платоновы тела».

Современные математики-фибоначчисты, понимая большую важность развития гармонических идей древних греков в современной науке, поступили очень мудро. Благодаря «хитрости» Воробьева, Хоггатта, Вайды и других серьезных математиков, удалось усыпить бдительность «левополушарных» математиков, и «математика гармонии» получила шанс для своего развития в современной математике под названием «теория чисел Фибоначчи».

Лидирующую роль советской математики и науки в развитии «теории чисел Фибоначчи» (читай – «математики гармонии») трудно переоценить. Кого же из советских математиков и исследователей, кроме Николая Воробьева, можно назвать пионером в развитии этой теории и ее приложений? В настоящей статье делается попытка дать весьма нестандартный ответ на этот вопрос.


2. Роль Николая Воробьева в развитии «теории чисел Фибоначчи»

Воробьев Николай Николаевич (1925 -1995) – выдающийся советский математик, специалист в областях алгебры, математической логики и теории вероятностей, являлся основателем и главой советской, а затем российской, теоретико-игровой школы. В этом смысле его роль уникальна: под его руководством советские математики сумели за короткое время развить математические основы теории игр буквально с самого начала ее зарождения в областях, до сих пор остающихся наиболее актуальными направлениями ее развития.

Широкая эрудиция Н.Н.Воробьева в указанных областях позволила ему обнаружить новую перспективную область математики - теорию игр, только начинающуюся зарождаться в 50-е годы как науку, строящую и исследующую математические модели конфликтных ситуаций. Первой его работой по теории игр была статья "Управляемые процессы и теория игр", опубликованная в 1955г.

Николай Николаевич Воробьев (1925 -1995)


Как наука, моделирующая принятие решений в конфликтных ситуациях, в частности, в экономике, в последние годы, начиная с 70-х годов, на Западе теория игр постепенно превращается в один из разделов экономики. Н.Н.Воробьев был заинтересован, прежде всего, в математических аспектах теории игр. Его монография "Основы теории игр. Бескоалиционные игры", вышедшая из печати в 1984г., выгодно отличается от многочисленных западных монографий по теории игр именно математическим содержанием. Она была переведена на английский язык.

Н.Н.Воробьев был блестящим лектором. Его лекции по теории игр, теории вероятностей, алгебре и теории чисел, которые он постоянно читал в Ленинградском государственном университете и других институтах, всегда привлекали внимание студентов.

Он написал несколько учебников, среди которых до сих пор большой популярностью пользуется курс: "Теория игр для экономистов-кибернетиков". Он написал также ряд книг, в том числе научно-популярных, по другим разделам математики. Наиболее известны из них "Теория рядов" и "Числа Фибоначчи", вышедшие несколькими изданиями.

Н.Н. Воробьев был одним из первых в мире математиков, обративших внимание на теорию чисел Фибоначчи. Брошюра Воробьева «Числа Фибоначчи» [3], первое издание которой вышло в 1961 г., стала научным бестселлером и привлекла внимание широких слоев научной общественности к проблеме чисел Фибоначчи во всем мире.

Таким образом, в середине 20-го столетия, то есть, задолго до работ американских математиков-фибоначчистов, членов Фибоначчи-Ассоциации, советским математиком Н.Н. Воробьевым были начаты исследования в области теории чисел Фибоначчи, которые завершились публикацией брошюры «Числа Фибоначчи» (1961 г.) [3], которая является первой в истории современной математики книгой в этой области. Поэтому значение этой книги для развития «теории чисел Фибоначчи» (читай –«математики гармонии») трудно переоценить. Именно эта брошюра оказала огромное влияние на развитие этой области математики не только в Советском Союзе, но и во многих странах мира. Благодаря этой книге многие исследователи приобщились к этой уникальной числовой последовательности. И эта книга доказала неоспоримый приоритет советской науки в этой области математики.


3. Юрий Матиясевич: решение 10-й проблемы Гильберта

Летом 1900 г. математики собрались на свой второй Международный конгресс в Париже. Знаменитый немецкий математик, профессор Геттингенского университета Давид Гильберт (1862-1943) был приглашен сделать один из основных докладов. Крупнейший математик мира, он прославился своими работами по алгебре и теории чисел, а незадолго перед конгрессом решительно перестроил аксиоматику евклидовой геометрии в своем фундаментальном сочинении "Основания геометрии" (1899 г.). После долгих колебаний Гильберт выбрал необычную форму доклада. В своем докладе "Математические проблемы" он решил сформулировать те проблемы, которые, по его мнению, должны определять развитие математики в наступающем веке.

Обращение Гильберта к Международному Математическому Конгрессу, состоявшемуся в 1900 г. в Париже, является, возможно, наиболее значительной лекцией, прочитанной математиком для математиков и посвященной проблемам математики. В своей лекции Гильберт изложил 23 главные математические проблемы, которые должны быть решены в новом столетии. Лекция Гильберта была больше, чем простое собрание математических проблем. Она отражала его философию математики и предлагала проблемы, важные с точки зрения его философии. И хотя прошло более столетия, лекция Гильберта является такой же важной и может быть прочитана с большим интересом каждым, кто интересуется математическими исследованиями.

Как известно, 10-я проблема Гильберта называется "Задачей о разрешении диофантовых уравнений" и для того, чтобы объяснить суть этой проблемы, мы должны возвратиться на 17 веков назад к античному математику Диофанту. Мы очень мало знаем о Диофанте, который считается последним великим математиком античности. Его творчество сыграло столь значительную роль в истории алгебры, что многие историки математики приложили немало усилий, чтобы определить срок его жизни. Предполагается, что он жил в середине 3-го столетия н.э. и прожил 84 года. Основным произведением Диофанта была "Арифметика". Именно это фундаментальное математическое сочинение, состоящее из 13 книг, явилось поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Диофант поставил задачу нахождения целочисленных значений алгебраического уравнения. Такие уравнения получили название диофантовых.

В своей знаменитой лекции 1900 г. Давид Гильберт изложил 10-ю проблему следующим образом:

«Задано Диофантово уравнение с некоторым числом неизвестных и рациональными целыми коэффициентами. Необходимо придумать процедуру, которая могла определить за конечное число операций - является ли уравнение разрешимым в рациональных целых числах».

Десятая проблема Гильберта была решена молодым русским математиком Юрием Матиясевичем. Его имя стало широко известным в 1970 г., когда он завершил последний недостающий шаг в "негативном решении" десятой проблемы Гильберта.

Юрий Владимирович Матиясевич (родился 1947 года, г. Ленинград) — советский и российский математик, исследователь Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН, академик РАН, доктор физико-математических наук. Внёс существенный вклад в теорию вычислимости, завершив решение десятой проблемы Гильберта.


Юрий Матиясевич (род. в 1947 г.)


И сейчас мы приблизились к главному – использованию Матиясевичем чисел Фибоначчи при решении 10-й проблемы Гильберта. В одной из своих работ Матиясевич пишет:

«Мой следующий шаг состоял в том, чтобы рассмотреть широкий класс уравнений для двоичных слов с дополнительными условиями. Так как конечной целью всегда была 10-я проблема Гильберта я мог бы рассматривать только такие условия, которые (при подходящем кодировании) были бы представлены Диофантовыми уравнениями. Таким путем я пришел к таким уравнениями, которые я назвал «equations in words and length» (уравнениями с ограниченными длинами серий). Приведение к таким уравнениям было основано на знаменитых числах Фибоначчи. Хорошо извкстно, что каждое натуральное число может быть представлено единственным образом как сумма различных чисел Фибоначчи, в которой нет двух соседних чисел Фибоначчи (так называемое представление Цекендорфа). Таким образом, мы можем рассматривать натуральные числа как двоичные слова с дополнительным условием, что в таких двоичных словах две 1 рядом не встречаются. Я изловчился показать, что при таком представлении чисел двоичными словами как последовательности слов, так и уравнения, равные длине двух слов, могут быть выражены Диофантовыми уравнениями».

И далее:

«Благодаря моей предыдущей работе, я понимал важность чисел Фибоначчи для решения 10-й проблемы Гильберта. Вот почему в течение лета 1969 года я читал с огромным интересом третье расширенное издание популярной книги по числам Фибоначчи, написанной Н.Н. Ворбьевым из Ленинграда. Кажется невероятным, что в 20-м столетии можно было найти что-то новое о числах, введенных Фибоначчи еще в 13-м столетии в связи с размножением кроликов. Однако, новое издание книги содержало, кроме традиционного материала, некоторые оригинальные результаты автора. На самом деле Воробьев получил на четверть столетия раньше, но он никогда их не публиковал. Его результаты привлекли мое внимание сразу же, но я был еще не способен использовать их непосредственно для построения Диофантовых представлений экспоненциального типа».

Оценивая влияние научных результатов Воробьева и американского математика Джулии Робинзон, на решение 10-й проблемы Гильберта, Матиясевич написал:

«Мое оригинальное доказательство ... основывалось на теореме, доказанной в 1942 г. советским математиком Николаем Воробьевым, но опубликованной только в третьем расширенном издании его популярной книги.... После того, как я прочитал статью Джулии Робинзон, я сразу же увидел, что теорема Воробьева может быть очень полезной. Джулия Робинзон не видела 3-го издания книги Воробьева до тех пор, пока она не получила копию от меня в 1970 г. Кто мог сказать, что бы случилось, если бы Воробьев включил свою теорему в первое издание своей книги? Возможно, что 10-я проблема Гильберта была решена на десять лет раньше!»

В развитие вопроса Юрия Матиясевича, мы вправе поставить следующий вопрос: а что бы случилось, если бы итальянский математик Фибоначчи не открыл числа Фибоначчи в 13 в.? Возможно, 10-я проблема Гильберта вообще не была бы решена до сих пор. Конечно, теорема Воробьева, использованная Юрием Матиясевичем, является чрезвычайно важным математическим результатом, но все же главным «виновником» решения 10-й проблемы Гильберта следует признать итальянского математика Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи). Еще в 1202 г. он опубликовал книгу “Liber abaci”, в которой и была описана знаменитая «задачу о размножении кроликов», подарившая миру числа Фибоначчи.

Но ведь теория чисел Фибоначчи и «золотого сечения», развиваемая математиками-фибоначчистами [15-17], является важной составной частью «математики гармонии» [4]. И мы должны благодарить Юрия Матиясевича за то, что он принадлежит к той категории математиков, которые уважительно отнесся к теории чисел Фибоначчи и «золотого сечения» [15-17] и очень хочется надеяться, что он так же хорошо отнесется и к «математике гармонии» [4].

Главный вывод из этих рассуждений состоит в том, что решение одной из наиболее сложных математических проблем – 10-й проблемы Гильберта – получено с использованием теории чисел Фибоначчи [15-17]. И этот факт сам по себе поднимает на высокий уровень как теорию чисел Фибоначчи [15-17], так и «математику гармонии» [4].

И хотя Юрий Матиясевич не внес того вклада в развитие теории чисел Фибоначчи, как Николай Воробьев, но он первым из математиков привел блестящий пример применения чисел Фибоначчи для решения одной из сложнейших математических проблем – 10-й проблемы Гильберта. И поэтому он по праву может быть причислен к разряду пионеров «математики гармонии» в СССР.


4. Игорь Витенько и его роль в создании алгоритмической теории измерения

Одной из наиболее ярких личностей, встретившихся мне на начальном этапе моей научный карьеры и повлиявшей на мое приобщение к высокой математике, был Игорь Витенько. Игорь прибыл в ХИРЭ по назначению после окончания механико-математического факультета, а затем и аспирантуры Львовского университета. В отличие от многих «чистых» математиков, с которыми я позже познакомился и которые, как правило, как черт от ладана, шарахались от прикладных задач, особенность Игоря как математика состояла именно в том, что его «хобби» было приложение математики для решения прикладных задач. И Игорь благодаря своему удивительному математическому таланту и бескорыстному стремлению помочь каждому, кто к нему обращался, стал «математическим интеллектом» нашего аспирантского сообщества в Харьковском институте радиоэлектроники.


Игорь Витенько (1938-1974)

Однажды я сформулировал Игорю задачу о нахождении «оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования», которой я занимался в период работы над кандидатской диссертацией, и Игорь сразу же заинтересовался этой задачей.

В чем ее суть? Для ее популярного изложения достаточно провести аналогию между процессом аналого-цифрового преобразования и процедурой взвешивания на традиционных рычажных весах, с которой многократно сталкивается каждый человек в течение всей своей жизни. Очевидно, для того, чтобы взвешивать, надо иметь набор гирь. Возникает вопрос, а какой набор гирь является «оптимальным», то есть наилучшим с некоторой точки зрения?

В тот период (1963 г.) я еще не знал, что еще в 13-м веке такую задачу сформулировал знаменитый итальянский математик Леонардо Пизано (Фибоначчи). Затем после Фибоначчи эта задача «перекочевала» в сочинения итальянского математика Луки Пачоли, а затем французского математика Баше де Мезириака. В русской историко-математической литературе эта задача называется «задачей Баше-Менделеева».

Важно отметить, что задача о гирях имеет прямое отношение к проблеме представления чисел, в частности, к двоичной системе счисления, лежащей в основе современных компьютеров.

Вот с этими идеями я поделился с Игорем Витенько. Они его заинтересовали, и он активно включился в творческую работу. Вспоминаю наши многочисленные путешествия по Харьковскому лесопарку, сопровождавшиеся жаркими спорами. В процессе этих научных дискуссий рождались начала той математической теории, которая позже вошла в науку под названием «алгоритмическая теория измерения». Хотя я неплохо (для выпускника такого технического вуза как Харьковский авиационный институт) знал высшую математику, однако только в процессе общения с Игорем я по настоящему оценил математику и ее методы, которые позволяют делать удивительные математические открытия, как говорится, «на кончике пера». Уже к середине 60-х годов новая теория аналого-цифрового преобразования была создана.

Первое публичное сообщение о новых алгоритмах аналого-цифрового преобразования было сделано мною совместно с Игорем Витенько в 1965 году в Институте кибернетики Академии Наук Украины на научном семинаре отдела преобразователей формы информации, которым руководил Андрей Иванович Кондалев, один из основателей преобразовательной техники в СССР. С этого доклада началась наша многолетняя дружба с Андреем Ивановичем, который внес огромный вклад в развитие этой области техники в СССР.

Полноценная статья (совместно с Игорем Витенько), в которой были изложены основы теории оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования, была опубликована в 1970 г. [8]. Одним из неожиданных результатов этой теории были так называемые фибоначчиевые алгоритмы измерения, основанные на р-числах Фибоначчи, которые и были впервые введены в этой статье.

Судьба Игоря Витенько сложилась трагично. Его родители и родственники были бандеровцами. Отец Игоря погиб в те страшные военные времена, а мать помогала своим братьям, которые служили в армии Степана Бандеры. За это прегрешение его мать в 50-е годы была посажена в тюрьму, где просидела свыше 10 лет. Поэтому Игорь рос, по существу, без отца и матери. Благодаря своим необычным математическим способностям ему все же удалось поступить на математический факультет Львовского университета и позже (уже в период работы в Харьковском институте радиоэлектроники) блестяще защитить кандидатскую диссертацию в области математической логики. В Харькове, который всегда отличался своим интернационализмом, никто не придавал особого значения «бандеровскому» происхождению Игоря. За его необычный математический талант и исключительную доброжелательность он пользовался всеобщей любовью и уважением.

Однако Западная Украина всегда тянула Игоря обратно. В 1970 году он совершает трагическую ошибку в своей жизни – возвращается в Западную Украину, в Ужгородский университет, где начинает работать на кафедре математической логики. Его педагогическая и научная работа в этот период отличается исключительной эффективностью. За короткий период он издал в издательстве Ужгородского университета несколько книг в области математической логики и конструктивной математики. В этот период он завершает работу над докторской диссертацией. По мнению многих выдающихся украинских математиков (в частности, академика Владимира Логвиновича Рвачева) работы Игоря Витенько являются серьезным вкладом в развитие математической логики.

К сожалению, в период работы в Ужгородском университете Игорь начинает подвергаться травле со стороны партийных функционеров в связи с его «бандеровским» происхождением. Партком университета не утвердил ему характеристику для защиты докторской диссертации. В сентябре 1974 года Игорь исчезает из Ужгорода. Через две недели после длительных поисков тело Игоря находят повешенным в Стрийском парке г. Львова. Похоронен Игорь в своем родном селе Черниховцы в Тернопольской области.

После отъезда Игоря Витенько в Ужгород наши научные контакты с ним прекращаются. Дальнейшее развитие этой теории уже осуществляется без Игоря Витенько. В 1974 г. я опубликовал первую статью по новой арифметике компьютеров – арифметике Фибоначчи, которая основана на фибоначиевых алгоритмах измерения [9], а в 1977 г. изд-во «Советское радио» опубликовало мою первую книгу «Введение в алгоритмическую теорию измерения» [10]. Книга посвящена памяти Игоря Владимировича Витенько – и это была первая книга, посвященная памяти этого талантливого математика.

Без всяких сомнений, Игорь Витенько внес существенный вклад в развитие «теории чисел Фибоначчи», поскольку был непосредственно причастен к созданию алгоритмической теории измерения, связанной с числами Фибоначчи (фибоначчиевые алгоритмы измерения). И его по праву можно причислить к разряду пионеров «математики гармонии».


5. Роль академика Юрия Митропольского в развитии фибоначчиевых исследований на Украине

Юрий Митропольский родился 3 января 1917 года в селе Шишаки ныне Гоголевского района Полтавской области. В 1932 году Ю.А. Митропольский экстерном окончил 7-летнюю школу в Киеве и поступил на работу на Киевский консервный завод. В 1938 окончил 10-й класс средней школы и в том же году поступил на механико-математический факультет Киевского государственного университета имени Т.Г. Шевченко.


Юрий Митропольский (1917-2008)

Ю.А. Митропольский – участник Великой Отечественной Войны. После демобилизации с 1946 года Ю.А. Митропольский работает в Академии наук Украины в городе Киеве. За это время работал младшим научным сотрудником (1946-1948), старшим научным сотрудником в Институте строительной механики АН УССР (1949-1951). С 1951 года трудился в Институте математики АН УССР: старший научный сотрудник (1951-1953), заведующий отделом (1953-1956), заместитель директора по научной части (1956-1958), директор института (1958-1988), почетного директор института (с 1988 года).

Вся творческая биография Ю.А. Митропольского связана в основном с развитием теории нелинейных колебаний и дифференциальных уравнений. Результаты этих исследований обобщены в 300 научных публикациях в отечественных и зарубежных журналах, а также в 30 индивидуальных и коллективных монографиях, среди которых выделяются: «Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах» (1955), «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний» (1955), «Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний» (1964), «Нелинейная механика. Одночастотные колебания» (1997), «Метод усреднения в нелинейной механике» (1971) и др.

Ю.А. Митропольский — доктор технических наук (1951), профессор (1953), действительный член Академии наук Украины (1961), действительный член Академии наук СССР (1984), действительный член научного Товарищества имени Т.Г. Шевченко во Львове (1992), иностранный академик-корреспондент Академии наук в Болонье (Италия, 1971).

За выдающиеся научные достижения в 1986 году Указом Президиума Верховного Совета СССР Ю.А. Митропольскому присвоено звание Героя Социалистического Труда. Он удостоен Ленинской премии (1965), Государственной премии УССР (1980), Государственной премии Украины (1997), премий НАН Украины имени выдающихся академиков: Н.М. Крылова (1969), Н.Н. Боголюбова (1993), М.А. Лаврентьева (1999). За цикл работ «Асимптотические методы нелинейной механики» он отмечен Золотой медалью имени А.М. Ляпунова (1986). В 1977 году президиум Академии наук ЧССР наградил его серебряной медалью «За заслуги перед наукой и человечеством». Ему присвоены звания Заслуженного деятеля науки Украинской ССР (1967), почетного доктора Киевского национального университета имени Т.Г. Шевченко (1999), «Почетный Соровский профессор» Соровского международного благотворительного фонда.

Роль Юрия Алексеевича Митропольского в развитии «математики гармонии» трудно переоценить. Он – первый выдающийся математик современности, который сумел по достоинству оценить «математику гармонии», как новое междисциплинарное направление современной науки. Мои научные контакты с академиком Митропольским стали особенно тесными после моего выступления на заседании Президиума Академии Наук Украины (июнь 1989 г.). Благодаря рекомендациям Митропольского ряд моих статей было опубликовано в «Докладах Академии наук Украины» [11,12] и даже в «Украинском математическом журнале» [13], главным редактором которого был академик Митропольский.

В своем отзыве на мое научное направление [14] Юрий Алексеевич написал следующее:

«В настоящее время проф. Стахов является активно работающим ученым, публикующим статьи в известных международных журналах. Благодаря хорошему знанию аглийского языка ему за короткий срок (1 год) удалось опубликовать 8 (!) фундаментальных статей в Международном междисциплинарном журнале «Chaos, Solitons and Fractals» (England). Это – несомненно огромный успех не только проф. Стахова, но и всей украинской науки. Благодаря проф. Стахову о научных достижениях украинской науки узнала научная общественность Запада.

Этими статьями проф. Стахов по существу завершил цикл многолетних исследований по созданию нового направления в математике – Математики Гармонии. Возникает вопрос, какое место в общей теории математики занимает созданная Стаховым Математика Гармонии? Мне представляется, что в последние столетия, как выразился когда-то Н.И. Лобачевский, «математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою». В результате между «элементарной математикой», лежащей в основе современного математического образования, и «высшей математикой» образовался разрыв. И этот разрыв, как мне кажется, и заполняет Математика Гармонии, разработанная А.П. Стаховым. То есть «Математика Гармонии» — это большой теоретический вклад в развитие прежде всего «элементарной математики», и отсюда вытекает важное значение «Математики Гармонии» для математического образования».


6. Роль доктора физико-математических наук Самуила Арансона в решении 4-й проблемы Гильберта

Самуил Хаймович Арансон родился в 1935 году в г. Горьком (ныне Нижний Новгород). В 1958 году окончил физико-математический факультет Горьковского государственного университета. В 1967 году защитил кандидатскую диссертацию, а в 1990 году- докторскую диссертацию и получил степень доктора физико-математических наук по двум специальностям: дифференциальные уравнения, геометрия и топология. Тема докторской диссертации: «Глобальные задачи качественной теории динамических систем на поверхностях».

В 1994 г. присвоено ученое звание профессора по кафедре высшей математики. В 1995 году Указом Президента России присвоено Почётное звание «Заслуженный деятель науки РФ». В 1997 году избран академиком Российской Академии Естествознания. Участник Internet- Энциклопедии «Выдающие учёные России»


Самуил Арансон (род. в 1935 г.)

Научная деятельность С.Х. Арансона неразрывно связана с Горьковской (Нижегородской) школой нелинейных колебаний, основанной академиком А.А.Андроновым), и относится к классической области математики — качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, основы которой заложены И. Бендиксоном, А. Пуанкаре, Дж. Биркгофом, А.М. Ляпуновым, А. Данжуа, Х. Кнезером, И. Бендиксоном.

С.Х.Арансон является автором многих оригинальных книг и статей в этой классической области и его публикации охватывают период с 1963 года по 2006 год. Им опубликовано (лично или совместно с другими авторами) более 200 научных работ, среди которых монографии, изданные в России, США, Германии и в других странах, обзоры, статьи, и другие научные материалы, связанные не только c вышеуказанной тематикой, но имеющих и прикладное значение.

В разные периоды С.Х. Арансон работал заведующим сектором в НИИ прикладной математики и кибернетики при Горьковском (ныне Нижегородском) государственном университете им. Н.И. Лобачевского, профессором кафедры высшей математики и теоретической механики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии, профессором кафедры информационно-графических систем Нижегородского государственного технического университета.

С 2001 года С.Х. Арансон живёт в США (г. Сан Диего).

Его приобщение к «математике гармонии» началось с 2007 г. Конечно, активное участие математика такого уровня, как Самуил Арансон, в развитии «математики гармонии» стало большой честью для этого научного направления. К этому моменту в АТ у меня была опубликована статья [15], в которой было дано широкое обобщение гиперболических функций Фибоначчи и Люка, основанное на «металлических пропорциях». Эта статья заинтересовала Самуила Арансона, и он увидел в ней путь к решению 10-й проблемы Гильберта, касающейся гиперболической геометрии.

Такое решение вскоре было найдено, и первая статья на эту тему была опубликована на сайте АТ в 2008 г. [16]. Затем эта статья была переведена на английский язык и представлена для публикации в международный журнал “Applied Mathematics”. Статья была разбита на три части и была опубликована в первых трех номерах журнала за 2011 г. [17-19]. О чем свидетельствует эта публикация? Прежде всего, о том, что международная научная общественность признала оригинальное решение 10-й проблемы Гильберта, изложенное в этой статье!

Несомненно, доктор физико-математических наук Самуил Хаймович Арансон по праву может быть включен в состав пионеров «математики гармонии».

Перечисленные выше ученые являются профессиональными математиками, имеющими ученые степени докторов и кандидатов наук в области математики. И их участие в развитии «математики гармонии» еще раз подчеркивает, что «математика гармонии» - это не философия, не эзотерика и не «лженаука», как многим бы хотелось бы это представить. Это – важный раздел современной математики, к которому необходимо относиться с таким же уважением, как и к другим математическим дисциплинам таким, как комбинаторика, теория информации или теория фракталов. Хотя в приведенном выше перечне выдающихся математиков уже есть одно исключение. Как это не парадоксально, но академик Митропольский не имеет ученой степени доктора физико-математических наук. Он – доктор технических наук, чем, кстати, всегда гордился. Однако он 30 лет (с 1958 по 1988 годы) проработал директором Института математики Академии наук Украины, а затем (с 1988 г. и вплоть до своей смерти в 2008 г.) был Почетным Директором этого прославленного математического института. Поэтому мы не имеем никакого права считать его непрофессиональным математиком.

Обсуждая ученых, внесших выдающийся вклад в развитие «математики гармонии», было бы неправильно ограничиться только «профессиональными математиками». Математический уровень работ перечисленных ниже советских ученых, внесших большой вклад в развитие «математики гармонии», настолько высок, что их можно поставить на один уровень с профессиональными математиками.


6. Белорусский философ и математик Эдуард Сороко

Родился 31-го июля 1940 г. в г. Шклов, Могилевской обл. В 1962 окончил физико-математический факультет Таджикского государственного университета, то есть, по базовому образованию Эдуард Сороко является математиком.

С 1970 по 1972 Эдуард Сороко — аспирант при Институте философии и права АН БССР. С 1976 — кандидат философских наук. Докторскую диссертацию защитил на тему «Самоорганизация систем: проблемы меры и гармонии» (1991). С 1973 по н.вр. — научно-исследовательская работа в том же Институте в должности м.н.с., затем с.н.с., главного науч. сотр., заведующего сектором проблем синергетики и системологии.


Эдуард Сороко (род. в 1940 г.)

Эдуард Сороко - академик Международной академии организационных и управленческих наук, чл.-кор. Петровской академии наук и искусств (С.-Петербург), координатор Республиканской общественной организации «Экологическая Культура» (РООЭК, Минск), действительный член Международного клуба Золотого Сечения (www.goldenmuseum.com) при Международной ассоциации симметрии. Американским биографическим институтом (FBI) включен в 7-е издание Международного каталога лидеров, отличившихся выдающимся вкладом в современное общество (The International Directory of Distinguished Leadership. Seventh Edition, for Outstanding Contributions to Contemporary Society).

Разработал диалектико-синергетическую концепцию (DS-концепцию) структурной гармонизации систем в природе и обществе и создал идейное (методическое, методологическое и эпистемологическое) ее оснащение; на основе принципа кратных отношений и теории структур-аттракторов заложил основы теории системного проектирования сложных комплексов за пределами равновесия, показав при этом, что их динамическую устойчивость предопределяют обобщенные золотые сечения как объективные инварианты эволюции и самоорганизации систем.

Его главной публикацией, которая принесла ему всемирную славу, является книга «Структурная гармония систем» [21], опубликованная в 1984 г. и уже дважды переизданная в 21-м веке. Его основной научный результат – это сформулированный им «Закон структурной гармонии систем» («Закон Сороко»), основанный на понятии «золотых р-пропорций.


7. Украинский архитектор Олег Боднар

Доктор искусствоведения (1992), профессор дизайна. Закончил архитектурный факультет Львовского политехнического института (1972). Заведующий кафедрой, председатель докторского специализированного ученого совета Львовской Национальной Академии Искусств.

Основные направления научных исследований — теория формообразования, проблемы структурной гармонии систем. Ряд публикаций посвящено актуальным вопросам архитектуры, истории и развития дизайна на Украине.

Архитектор-новатор. Развивает концепцию геометричного структурализма. Автор серии экспериментальных архитектурных разработок и проектов. Имеет реализованные архитектурные объекты.

В области Золотого Сечения его главной публикацией является книга «Золотое Сечение и Неевклидова Геометрия в Природе и Искусстве» (1994 г.) [22]. В 2005 г. эта книга переиздана на украинском языке.

Олег Боднар

В книге впервые после обнародования сто лет назад Германом Минковским его геометрической интерпретации специальной теории относительности представлена новая сенсационная информация о реализации в природе закономерностей неевклидовой геометрии. На этот раз — в живой природе, в частности, в ростовом механизме спирально-симметричных (т.н.филлотаксисных) растительных форм.

При детальной математической расшифровке этого механизма неожиданно обнаруживается участие в нем золотого сечения — магического числа, с которым в истории науки и искусства всегда связывались представления о гармонии и совершенстве. Таким образом, в центре сюжета книги — научное открытие, касающееся наиболее общих законов природы и свидетельствующее о фундаментальной связи между разными направлениями научного познания, которое, казалось бы, уже давно и навсегда утратили такую связь. В этом контексте фигурируют имена А.Энштейна, В.И.Вернадского, ЛеКорбюзье.

Книга базируется на материалах докторской диссертации, защищенной автором во ВНИИ технической эстетики (Москва) в 1994 г. Результаты освещаемых в монографии исследований докладывались на многих научных конференциях и семинарах.


8. Армянский философ и физик Грант Аракелян

Грант Аракелян, ведущий научный сотрудник Института философии, социологии и права национальной Академии наук Армении, доктор философских наук, физик по образованию. Кандидатскую диссертацию “Логический и гносеологический аспекты доказательства в математике” защитил в 1975 г. в Ереванском государственном университете, докторскую “Числа и величины в современной физике” по специальности “философские вопросы естествознания” защитил в 1992 г. в Санкт-Петербургском государственном университете.

Автор следующих монографий:

    • О доказательстве в математике (Методологический анализ). Ереван: Изд. АН, 1979
    • Фундаментальные безразмерные величины. Ереван: Изд. АН, 1981
    • Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989
    • Основания физической теории. Ереван: Изд. “Давид”, 1997
    • От логических атомов к физическим законам. Изд. “Лусабац”, 2007
    • Фундаментальная теория ЛМФ. Ереван: 2007

На сайте АТ он опубликовал несколько работ, вызвавших огромный интерес членов Международного Клуба Золотого Сечения. Прежде всего, это книга «Теория ЛМФ и принцип золотого сечения» [23], а также статья «О мировой гармонии, теории золотого сечения и её обобщениях», опубликованная в рамках Международного online семинара по Математике Гармонии [24].

Книга Гранта Аракеляна [23] начинается следующим Предисловием, которое хорошо отражает ее цели и содержание:

«Краеугольным камнем мировой гармонии, без веры в которую естественнонаучное мышление лишилось бы большей части своей привлекательности, является математика. Известно, что путь от общих положений до конкретной их реализации часто долог, извилист и неоднозначен. Потому-то так труден вопрос, каким всё же образом математическая первооснова приобретает характер селективного формообразующего принципа для живой и неживой природы. Принцип золотого сечения предоставляет, быть может, наилучшую возможность для анализа подобных проблем. В силу его совершенно особого статуса, а главным образом из-за соотнесённости с фундаментальными математическими константами (ФМК), с положениями теории ЛМФ, вкратце представленной во Введении и Части I настоящей работы, подробное обсуждение этого принципа и всего, что с ним связано, представляется существенным и важным.

Фундаментальная физическая теория - мечта многих поколений исследователей. ЛМФ - попытка осуществить эту мечту в виде логически строгой, математически завершенной системы, соответствующей имеющимся экспериментальным данным и допускающей (частично уже подтвердившиеся) прогнозы и эмпирическую верификацию. Это базисная теория физического мира, реализующая идею единства математической логики (Л), числовой математики (М) и фундаментальной физики (Ф). Её корневая структура начинается с логических атомов и завершается обобщёнными физическими законами сохранения, изменения и квантования. В рамках теории ЛМФ получен удивительный результат для постоянной Ферми. Решается ряд важнейших задач, в частности определение численного значения постоянной тонкой структуры, времени жизни мюона и других физических констант, выявление границ физического мира с использованием нового космического параметра — безразмерной константы порядка 10125, получение массовой формулы для частиц определённого типа, обобщение принципа золотого сечения.

Теория ЛМФ по идее не только снабжает необходимым инструментарием для теоретического определения любой известной физической постоянной и не только приписывает с ограниченной или неограниченной точностью истинное числовое значение каждой величине. В свете теории ЛМФ некоторые изученные казалось бы вдоль и поперек математические величины предстают в новом качестве, приобретают дополнительные, ранее не известные характеристики. В этом назначение Части II настоящей работы, где изложение исторических фактов и подробное рассмотрение формальных свойств числа Ф носит иллюстративный характер и подчинено решению основной задачи: выявлению связей между Ф и исходными ФМК, анализу принципа золотого сечения с точки зрения общих принципов и идей, изложенных в Части I. По сути ставится задача построения нетрадиционной математической теории золотой пропорции. Это построение должно быть ответвлением теории ЛМФ и призвано не только подтвердить её возможности, но и осветить некоторые ключевые вопросы, которые в обычной трактовке золотого сечения кажутся загадочными».

С Грантом Аракеляном у меня случился конфуз. Судя по его работам, я считал его доктором физико-математических наук. Оказалось, что ошибся. Он – доктор философских наук, но физик по образованию. Этим и определяется высокий математический уровень его исследований.


9. Книга «Типология последовательностей Фибоначчи: Теория и приложения.  Введение в математику гармонии» (2012, авторы Ю.Григорьев и Г.Мартыненко)

События в «математике гармонии» развиваются чрезвычайно стремительно. Когда первый вариант статьи был закончен и отослан для публикации, я получил информацию о публикации в Германии книги Юрия Григорьева и Григория Мартыненко «Типология последовательностей Фибоначчи: Теория и приложения.  Введение в математику гармонии» (2012) [26]. Это – очень глубокая книга, развивающая новые аспекты приложений «математики гармонии». Самое главное состоит в том, что появление этой книги свидетельствует о том, что «математика гармонии» заняла прочные позиции в современной научной литературе.

К сожалению, я не знаю доктора физико-математических наук Юрия Григорьева, но хорошо знаком с доктором филологических наук профессором Григорием Мартыненко, автором замечательной книги «Очерки по истории математико-гармонических представлений: от Пифагора до наших дней» [27].

Книга [26] написана на высоком научном уровне. Поэтому я пришел к заключению, что Григорий Мартыненко (как и его соавтор Юрий Григорьев) должны быть также включены в список «советских математиков и исследователей, внесших существенный вклад в развитие «математики гармонии» и ее приложений».


Григорий Мартыненко (род. в 1936 г.)

Григорий Мартыненко родился 15 августа 1936 г. в п. Акимовка Запорожской области Украины. Любопытно, что мы с Григорием Мартыненко – земляки, потому что я родился в 1939 г. на станции Партизаны Херсонской области, которая находится в 18 км от станции Акимовка.

В 1956 г. Мартыненко окончил славянское отделение филологического факультета Ленинградского университета, а в 1964 г. — аспирантуру по специальности «Структурная, прикладная и математическая лингвистика».

С 1964 по 1977 гг. работал в научно-исследовательских учреждениях Ленинграда в области разработки лингвистического обеспечения информационно-поисковых систем, а с 1977 г. по настоящее время работает на кафедре математической лингвистики Санкт-Петербургского государственного университета. В 1972 г. защитил кандидатскую диссертацию («Сложность синтаксических структур»), а в 1989 г. — докторскую диссертацию («Стилеметрия — теоретические проблемы, прикладные задачи, методы»).

С 1990 г. Григорий Яковлевич — профессор упомянутой кафедры. Под руководством Григория Яковлевича защищено 12 кандидатских диссертаций. Три ученика защитили докторские диссертации.

Сфера научных интересов очень широка: лингвистическая поэтика, семиотика, методы математического моделирования и статистического анализа текста, искусствометрия, культурология, история и статистика физической культуры и спорта.

Он является автором 120 научных публикаций, в том числе 7 монографий и 10 патентов.

Помимо основной профессии Г.Я.Мартыненко имеет еще одну — он активно концертирующий певец (см. www.martynenko.spb.ru). Обучался вокалу у известного русского тенора Доната Донатова. С 1995 г. Г.Я.Мартыненко — солист Петербург-Концерта. В феврале 1998 г. стал лауреатом первого международного конкурса вокалистов им. Марио Ланца, а в 2003 г. лауреатом четвертого международного конкурса русского романса им. Изабеллы Юрьевой.

В течение последних 10 лет дал около 50 сольных концертов. Его лирико-драматический тенор звучал во многих концертных залах Петербурга, других городов России, европейских столиц, культурных центров Старого и Нового Света. Концертный репертуар чрезвычайно разнообразен: старинный и классический русский романс, русские народные песни, арии из опер русских и зарубежных композиторов, западноевропейская духовная музыка, неаполитанские песни, песни и романсы Украины, мелодии Бродвея и Голливуда.

Интерес и уважение к истории и традициям отечественного и мирового искусства побудили Григория Мартыненко подготовить серию уникальных концертных вечеров, посвященных памяти выдающихся музыкантов — С. Рахманинова, Д. Усатова, Ф. Шаляпина, Э. Карузо, А. Давыдова, Д. Донатова, Н. Печковского, С. Лемешева, Марио Ланца, А. Соловьяненко и др.

В последние годы активно сотрудничает с украинской культурно-национальной автономией, принимая участие в торжествах, связанных с выдающимися событиями в истории Украины, в шевченковских вечерах, в вечерах украинской песни. В 2005 г. с большим успехом прошел его сольный концерт, посвященный памяти выдающегося украинского тенора Анатолия Соловьяненко. Кстати, он был участником Международного Конгресса по Математике Гармонии (Одесса, 8-10 октября 2010 г.). В завершение первого дня Конгресса Григорий Мартыненко вместе с двумя другими участниками Конгресса («звездным маэстро» Леонидом Тимощенко и пианистом и поэтом Юрием Цымбалистом) дали импровизированный концерт для участников Конгресса. Григорий Мартыненко исполнил русскую, украинскую и итальянскую песню. Все участники были потрясены. Когда его голос зазвучал в зале ученого совета Одесского национального университета, то всем показалось, что это голос народного артиста Украины Анатолия Соловьяненко зазвучал в этом помещении.

Конечно, перечисленный выше список ученых, внесших существенный вклад в развитие современной «математики гармонии», может быть дополнен именами Николая Семенюты, Виктора Шенягина, Ивана Ткаченко, Валериана Владимирова и других ученых, которые стали настоящим открытием Международного online семинара по Математике Гармонии.


Заключение

В настоящее время имеется немало скептиков по поводу не только названия «математика гармонии», но и по поводу ее содержания. Об этом хорошо написал проф. Сергей Абачиев в своей замечательной статье «Свободна ли от спекулятивной псевдонауки сама наука?» [20]:

«Такое название этого направления («математика гармонии» - А.С.) может восприниматься как неудачное, с претензией на «философскую широту». (И оно действительно критикуется.) У этого направления есть романтичные и некомпетентные апологеты, стремящиеся придать ему именно такое качество. Но всё это было и с кибернетикой, и с синергетикой, и с теорий катастроф. И от всего этого новые научные направления, в конце концов, избавлялись. Что касается теории катастроф, то она даёт яркий пример того, как наука свыкается и не с такими поименованиями своих новых направлений. В конце концов, терминология в науке – это вопрос договорённости между её деятелями. Ведь свыклись же даже с термином «тяжёлые лептоны» или, говоря целиком по-русски, «тяжёлые лёгкие частицы».

Настоящая статья написана для оптимистов, но будет полезна и для скептиков. В ней показано, что благодаря исследованиям выдающегося советского математика Николая Воробьева [3] советская математика заняла лидирующие позиции в развитии «теории чисел Фибоначчи» (читай – «математики гармонии»). А благодаря исследованиям членов Международного Клуба Золотого Сечения эти лидирующие позиции только укрепились.

Кроме Николая Воробьева, в развитии этого направления (особенно в приложениях) принимали участие выдающиеся советские математики и исследователи:

  1. Доктор физико-математических наук, академик Юрий Матиясевич, который решил 10-ю проблему Гильберта с использованием новейших математических результатов в области теории чисел Фибоначчи, полученных Николаем Воробьевым [3].
  2. Кандидат физико-математических наук Игорь Витенько, который внес существенный вклад в развитие алгоритмической теории измерения и синтез фибоначчиевых алгоритмов измерения, основанных на р-числах Фибоначчи [8].
  3. Доктор технических наук, академик Юрий Митропольский, который активно способствовал развитию этого направления на Украине, своими рекомендациями способствовал оперативной публикации научных статей по этой проблематике в украинских академических журналах и в своем отзыве [14] отметил, что «Математика Гармонии» — это большой теоретический вклад в развитие прежде всего «элементарной математики», и отсюда вытекает важное значение «Математики Гармонии» для математического образования».
  4. Доктор физико-математических наук Самуил Арансон, который внес существенный вклад в решение 10-й проблемы Гильберта [16-20], основанное на «золотой фибоначчиевой гониометрии» [15].
  5. Доктор философских наук, математик по базовому образованию Эдуард Сороко, который сформулировал «закон структурной гармонии систем», основанный на золотых р-пропорциях [21].
  6. Доктор искусствоведения, архитектор по базовому образованию Олег Боднар, создавший новую геометрическую теорию филлотаксиса, основанную на «золотых» гиперболических функциях [22]. Его теория представляет собой научное открытие, касающееся наиболее общих законов природы и свидетельствующее о фундаментальной связи между разными направлениями научного познания, которое, казалось бы, уже давно и навсегда утратили такую связь.
  7. Доктор философских наук, физик по базовому образованию Грант Аракелян, автор уникальной книги «Теория ЛМФ и принцип золотого сечения» [23].
  8. Доктор филологических наук профессор Григорий Мартыненко, автор двух уникальных книг [26,27], касающихся «математики гармонии».


Как мне кажется, с математической точки зрения наиболее яркими результатами современной «математики гармонии» являются решения двух сложнейших математических проблем – 10-й проблемы Гильберта, при решении которой Юрий Матиясевич использовал «теорию чисел Фибоначчи» (читай – «математику гармонии), и 4-й проблемы Гильберта [16-19], при решении которой Алексей Стахов и Самуил Арансон использовали новый класс гиперболических функций, основанных на «металлических пропорциях» [15]. И именно это обстоятельство может привлечь к «математике гармонии» молодых математических гениев типа американского математика Джорджа Бергмана, который в возрасте 12 лет получил крупный математический результат – ввел первую в истории математики систему счисления с иррациональным основанием типа «золотой пропорции» [25].


Литература


  1. А.П. Стахов, Математизация гармонии и гармонизация математики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.16897, 16.10.2011
  2. А.П. Стахов, Авторитет природы и математика гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17351, 10.03.2012
  3. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978 (первое издание - 1961)
  4. Hoggat V. E. Jr. Fibonacci and Lucas Numbers. - Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.
  5. Vajda S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. - Ellis Horwood limited, 1989
  6. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers, Volume 7, 1998.
  7. Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific, 2009.
  8. Витенько И.В., Стахов А.П. Теория оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования. – В кн. Приборы и системы автоматики, вып. 11. Харьков, Изд-во Харьковского университета, 1970.
  9. Стахов А.П. Избыточные двоичные позиционные системы счисления. В кн. Однородные цифровые вычислительные и интегрирующие структуры, вып.2. Изд-во Таганрогского радиотехнического института, 1974 г.
  10. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское Радио, 1977 г.
  11. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993 г.
  12. Stakhov AP. A generalization of the Fibonacci Q-matrix. Доклады Академии наук Украины, 1999, №9, с. 46-49.
  13. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал, том. 56, 2004 г.
  14. Митропольский Ю.А. Отзыв о научном направлении украинского ученого, доктора технических наук, профессора Алексея Петровича Стахова // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12452, 23.09.2005
  15. А.П. Стахов, Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006
  16. А.П. Стахов, С.Х. Арансон, Золотая фибоначчиевая гониометрия, преобразования Фибоначчи-Лоренца и четвертая проблема Гильберта // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14816, 04.06.2008
  17. A. Stakhov, S. Aranson. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, “Golden” Fibonacci Goniometry, Bodnar’s Geometry, and Hilbert’s Fourth Problem. Part I. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions and “Golden” Fibonacci Goniometry. Applied Mathematics, 2011, 2 (January), 74-84
  18. A. Stakhov, S. Aranson. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, “Golden” Fibonacci Goniometry, Bodnar’s Geometry, and Hilbert’s Fourth Problem. Part II. A New Geometric Theory of Phyllotaxis (Bodnar’s Geometry). Applied Mathematics, 2011, 2 (February), 181-188
  19. A. Stakhov, S. Aranson. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, “Golden” Fibonacci Goniometry, Bodnar’s Geometry, and Hilbert’s Fourth Problem. Part III. An Original Solution of Hilbert’s Fourth Problem. Applied Mathematics, 2011, 2 (March).
  20. С.К. Абачиев, Свободна ли от спекулятивной псевдонауки сама наука? // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17345, 05.03.2012
  21. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984
  22. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов: Свит, 1994
  23. Грант Аракелян. Теория ЛМФ и принцип золотого сечения. В 4-х частях. Академия Тринитаризма, 2011.
  24. Грант Аракелян, О мировой гармонии, теории золотого сечения и её обобщениях // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17064, 06.12.2011
  25. Bergman G. A number system with an irrational base // Mathematics Magazine, 1957, No 31: 98-119.
  26. Ю.Григорьев, Г.Мартыненко. Типология последовательностей Фибоначчи: Теория и приложения.  Введение в математику гармонии. LAMPERT Academic Pudlishing Gmbh & Co.KG. Saarbruecken,  Germany, 2012. 
  27. Мартыненко Г.Я. Очерки по истории математико-гармонических представлений: от Пифагора до наших дней // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.16369, 19.02.2011

А.П. Стахов, Советские математики и исследователи, внесшие существенный вклад в развитие «математики гармонии» и ее приложений // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17369, 18.03.2012

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru