В 1980 г. издательство Oxford University Press (New York) опубликовало книгу ”Mathematics. The Loss of Certainty”, автором которой является известный американский историк математики Морис Клайн, Почетный Профессор математики Курантовсого Института математических наук Нью-Йоркского университета. В 1984 г. эта книга была переведена на русский язык [1]. Книга М. Клайна заставила задуматься математиков над плачевным состоянием современной математики, в котором она оказалась после возникновения нового кризиса в ее основаниях, который возник в начале 20 в. в связи с обнаружением парадоксов в канторовской теории множеств и не разрешен до настоящего времени. Об этом Морис Клайн написал следующее:

«В настоящий момент положение дел в математике можно обрисовать примерно так. Существует не одна, а много математик, и каждая из них по ряду причин не удовлетворяет математиков, принадлежащих к другим школам. Стало ясно, что представление о своде общепринятых, незыблемых истин – величественной математики начала XIX в., гордости человека – не более чем заблуждение. На смену уверенности и благодушию, царившим в прошлом, пришла неуверенность и сомнения в будущем математики. Разногласия по поводу оснований самой «незыблемой» из наук вызвали удивление и разочарование (чтобы не сказать больше). Нынешнее состояние математики – не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства».

Возникает вопрос: как преодолеть кризис в современной математике? На этот вопрос Морис Клайн отвечает в заключительной главе «Авторитет природы» книги [1]. Суть предложений, изложенных в этой главе, сводится к следующему. Для развития тех или иных направлений математики вынуждены «руководствоваться внешними соображениями». При этом наиболее важным соображением «остается традиционный и наиболее объяснимый довод в пользу создания новой и развития уже существующей математики – ее ценность для других наук».

Клайн подчеркивает:

«Приложения служат своего рода практическим критерием, которым мы проверяем математику... Почему бы и теперь не судить о правильности математики в целом по тому, насколько хорошо она продолжает описывать и предсказывать природные феномены?».

По мнению Джона Стюарта Миля (1806-1873), «глубоко заблуждаются те, кто считает, что математические теоремы качественно отличаются от подтвержденных гипотез и теорий других наук».

На этих же позициях находится один из выдающихся специалистов по основаниям математики поляк Анджей Мостовский. Он утверждает, что «математика – естественная наука. Ее понятия и методы восходят к опыту, и любые попытки обосновать математику безотносительно к ее естественно научному происхождению, приложениям и даже истории обречены на провал».

Такой же точки зрения придерживается Герман Вейль, который «открыто выступает за то, чтобы рассматривать математику как одну из естественных наук».

Джон фон Нейман в знаменитой статье «Математик» попытался объяснить, почему большинство математиков продолжают пользоваться классической математикой:

«В конце концов именно классическая математика позволяет получить результаты, которые как полезны, так и красивы, и хотя прежней уверенности в ее надежности не стало, классическая математика покоится на столь же прочном основании, как, например, существование электрона. Следовательно, тот, кто принимает естественные науки, не может не принять классическую систему математики».

Клайн заключает:

«Итогом всей этой бурной и разнообразной деятельности стал вывод о том, что правильная математика должна определяться не основаниями..., безошибочность которых можно и оспаривать, - о «правильности» математики следует судить по ее применимости к реальному миру. Математика – такая же эмпирическая наука, как и ньютоновская механика. Математика правильна, лишь покуда она действует, а если что-то не срабатывает, то в нее необходимо вводить надлежащие поправки. Математика не свод априорных знаний, каковой ее считали в течение более чем двух тысячелетий, она не абсолютна и не неизменна».

Преодоление кризиса в современной математике требует обращения к истокам математики. Согласно мнению выдающегося российского математика А.Н. Колмогорова [2], «ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющий собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникает впервые в Древней Греции в 6-5 вв. до н.э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6-5 вв. до н.э. приурочить начало периода элементарной математики».

Морис Клайн пишет [1]:

«Подлинной целью греков было исследование природы. Этой цели служило все – даже геометрические истины высоко ценились лишь постольку, поскольку они были полезны при изучении физического мира. Греки понимали, что в структуре Вселенной воплощены геометрические принципы, первичным компонентом которых является пространство. Именно поэтому исследование пространства и пространственных фигур явилось существенным вкладом в изучение природы. Геометрия входила составной частью в более широкую программу космологических исследований... Подобные факты и более полное знание того, как происходило развитие математики в последующие времена, позволяют утверждать, что у греков к постановке математических проблем приводили естественнонаучные исследования и что математика была неотъемлемой частью изучения природы».

В книге [3] эти идеи Мориса Клайна конкретизируются следующим образом:

«Гармония была ключевой концепцией греков, с помощью которой осуществлялась связь трех значений. Его корневое значение было aro, соединение, гармония было то, что соединяет. Другое значение было пропорция, баланс вещей, который позволял простое соединение. Качество соединения и пропорции позже стали рассматриваться в музыке и других видах искусства.

Предпосылка для гармонии для греков была выражена во фразе "ничего лишнего"​​. Эта фраза содержала таинственные положительные качества, которые стали объектом исследования лучших умов. Мыслители, такие как Пифагор, стремились раскрыть тайну гармонии как нечто невыразимое и освещенное математикой. Математика гармонии, изученная древними греками, по-прежнему является вдохновляющей моделью для современных ученых. Решающее значение для этого имело открытие количественного выражение гармонии, во всем удивительном разнообразии и сложности природы, через золотое сечение Ф (фи):Ф=(1+√5)/2 , что приблизительно равно 1,618. Золотое сечение описано Евклидом в Книге V его «Начал»: "Говорят, что прямая линия, может быть разделена в крайнем и среднем отношении, когда, вся линия так относится к большей части, как большая часть к меньшей".

Мысли, изложенные в книге [3], созвучны со следующим широко известным высказыванием Алексея Лосева:

«Космос античным мыслителям периода зрелой классики представляется не просто некоей отвлеченной неопределенностью, (в таком случае он был бы только чистой мыслью), но совершенно живым и единораздельным телом, содержащим в себе нерушимую цельность, несмотря на бесконечные различия всех его проявлений. С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии, мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - золотого сечения (то есть, целое относится в нем к большей части, как большая часть к меньшей). Этому закону, кстати сказать, древние греки подчиняли и свои архитектурные сооружения. Их систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

В этом высказывании Алексей Лосев достаточно убедительно сформулировал «золотую» парадигму античной космологии. В ее основе лежат важнейшие идеи античной науки, которые в современной науке иногда трактуются как «курьезный результат безудержной и дикой фантазии». Прежде всего – это пифагорейская идея о числовой гармонии мироздания и космология Платона, основанная на Платоновых телах. Обратившись к геометрической структуре мироздания и арифметическим отношениям, выражающим гармонию, пифагорейцы предвосхитили возникновение математического естествознания, которое начало стремительно развиваться в 20-м веке. Идея Пифагора и Платона о всеобщей гармонии мироздания оказалась бессмертной.

Таким образом, в центре созданного древними греками математического учения о природе стояла «концепция гармонии», а сама математика древних греков и была «математикой гармонии» (“the mathematics of harmony”), которая непосредственно была связана с «золотым сечением» - важнейшим математическим открытием античной науки в области гармонии.

И если мы хотим построить новую математику, лишенную противоречий, мы должны решительно ввести в математику идею гармонии и «золотого сечения».

2. Гармонизация математики

Итак, главной целью древних греков было исследование «числовой Гармонии Мироздания». На достижение этой цели была направлена древнегреческая математика, которая развивались в тот период под флагом «Математизации Гармонии». Наиболее яркое воплощение эта идея получила в «Началах» Евклида.

В то же время в современной математике под влиянием сенсационных открытий в информатике и теоретическом естествознании (система счисления Бергмана [5], алгоритмическая теория измерения [6], коды золотой пропорции [7], закон структурной гармонии систем Эдуарда Сороко [8], новая геометрическая теория филлотаксиса Олега Боднара [9], квазикристаллы Дана Шехтмана (Нобелевская Премия по химии -2011) [10], фуллерены (Нобелевская Премия по химии -1996) [11], «золотые» геноматрицы Сергея Петухова [12], экспериментальное обнаружение симметрии «золотого сечения» в квантовой физике, 2010 г. и т.д.) со всей остротой поставлен вопрос о «Гармонизации Математики». И этот процесс подтверждается огромным количеством публикаций на эту тему, в частности, публикацией книги автора [4], книги американского философа Скотта Олсена “The Golden Section. The Greatest Nature’s Secret” [13], а также книги армянского физика Гранта Аракеляна «Теория ЛМФ и принцип золотого сечения», которая опубликована в 4-х частях на сайте «Академии Тринитаризма» [14]. О «гармонизации математики» свидетельствует также достаточно внушительный перечень книг в области теории чисел Фибоначчи и золотого сечения, опубликованных во второй половине 20 в. и начале 21 в. [18-46] в дополнение к упомянутым выше книгам [4,6,7,8,13,14-17].

Таким образом, существует глубокая взаимосвязь между двумя важнейшими процессами, которые происходили в математике более двух тысячелетий назад и происходят в настоящее время: процессом «Математизации Гармонии», который начался в Древней Греции в 6-5 в. до н.э (математика Пифагора и Платона) и завершился в 3 в. до н.э. написанием самого знаменитого математического сочинения античной эпохи – «Начал» Евклида, и процессом «Гармонизации Математики», который начался во второй половине 20 в. (книги Николая Воробьева [15], Вернера Хогатта [16], Стефана Вайды [17] и других исследователей [18-46]) и продолжается до настоящего времени (книги Алексея Стахова [4], Веры Шпинадель [36], Джея Каппраффа [43], Олега Боднара [44], Эдуарда Сороко [46], Василия Петруненко [45], Скотта Олсена [13], Гранта Аракеляна [14]). По мнению автора, все развивается так, как предсказал Морис Клайн в главе 15 «Авторитет природы» книги [1].

Возвращение математики к Природе и естествознанию означает выдвижение на передний план «концепции гармонии» древних греков и связанных с ней понятий «золотого сечения» и «Платоновых тел». Это и есть процесс «гармонизации математики» в действии. И этот процесс может привести к сближению математики с теоретическим естествознанием и тем самым будет сделан еще один важный шаг в преодолении кризиса в современной математике.

Литература

1.М. Клайн. Математика. Утрата определенности. Пер. с англ., под ред. д-ра физ.-мат. наук И.М. Яглома. Москва: Мир, 1984.

2.Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. Москва: Наука, 1991.

3.Vladimir Dimitrov. A new kind of social science. Study of self-organization of human dynamics. Morrisville Lulu Press, 2005.

4.Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific, 2009.

5.Bergman G. A number system with an irrational base // Mathematics Magazine, 1957, No 31: 98-119.

6.Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. М.: Советское радио, 1979.

7.Стахов А.П. Коды золотой пропорции. М.: Радио и связь, 1984.

8.Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984

9.Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов: Свит, 1994

10.Гратиа Д. Квазикристаллы. Успехи физических наук, 1988, том 156, вып. 2.

11.Елецкий А.В., Смирнов Б.М. Фуллерены. Успехи физических наук, 1993, том 163, №2.

12.Петухов С. В. Метафизические аспекты матричного анализа генетического кодирования и золотое сечение. Метафизика. – М.: Бином, 2006. – С. 216-250.

13.Olsen Scott. The Golden Section: Nature’s Greatest Secret. New York: Walker Publishing Company, 2006.

14.Грант Аракелян. Теория ЛМФ и принцип золотого сечения. В 4-х частях. Академия Тринитаризма, 2011.

15.Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. Москва, Наука, 1978.

16.Hoggat V. E. Jr. Fibonacci and Lucas Numbers. - Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.

17.Vajda S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. - Ellis Horwood limited, 1989.

18.Gardner Martin. Mathematics, Magic and Mystery. New York: Publishing House “Dover”, 1952.

19.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry New York: John Wiley and Sons, 1961.

20.Brousseau Alfred. An Introduction to Fibonacci Discovery. San Jose, California: Fibonacci Association, 1965.

21.Huntley H. E. The Divine Proportion: a Study in Mathematical Beauty. Dover Publications, 1970.

22.Ghyka Matila. The Geometry of Art and Life. Dover Publications, 1977.

23.Реньи Альфред. Трилогия математики (пер. с венг.). Москва: Мир, 1980

24.Grzedzielski Jan. Energetycno-geometryczny kod Przyrody. Warszawa: Warszwskie centrum studenckiego ruchu naukowego, 1986 (in Polen).

25.Garland T.H. Fascinating Fibonacci: Mystery and Magic in Numbers. Dale Seymour, 1987.

26.Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. Киев: Вычшая школа, 1989.

27.Васютинский Н.А. Золотая пропорция. Москва: Молодая Гвардия», 1990.

28.Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. Три взгляда на гармонию природы. Москва: Стойиздат, 1990.

29.Runion G.E. The Golden Section. Dale Seymour, 1990.

30.Fisher Robert, Fibonacci Applications and Strategies for Traders. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

31.Шмелев И.П. Феномен Древнего Египта. Минск: РИТС, 1993

32.Dunlap R.A. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, 1997.

33.Цветков В.Д. Сердце, золотая пропорция и симметрия. Пущино: ОНТИ РНЦ РАУ, 1997

34.Коробко В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. Москва: Изд-во Ассоциации строительных вузов стран СНГ, 1998.

35.Herz-Fischler, Roger. A Mathematical History of the Golden Number. New York: Dover Publications, Inc., 1998.

36.Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).

37.Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (Русский перевод - )

38.Prechter, Robert R. The Wave Principle of Human Social Behavior and the New Science of Socionomics. Gainseville, Georgia: New Classics Library, 1999.

39.Шевелев И.Ш. Метаязык живой природы. Москва: Воскресенье, 2000

40.Kappraff Jay. Connections. The geometric bridge between Art and Science. Second Edition. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. World Scientific, 2001.

41.Koshy, T. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. New York: Wiley, 2001.

42.Livio, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, 2002.

43.Kappraff Jay. Beyond Measure. A Guided Tour through Nature, Myth, and Number. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 2002.

44.Боднар О.Я. Золотий переріз і неевклідова геометрія в науці та мистецтві. Львів: Українскі Технології, 2005

45.Петруненко В.В. Золотое сечение квантовых состояний и его астрономические и физические проявления. Минск: Право и жкономика, 2005.

46.Сороко Э.М. Золотое сечение, процессы самоорганизации и эволюции систем. Введение в общую теорию гармонии систем. Москва: URSS, 2006