Аннотация

Цель настоящей статьи – показать, что увлечение Алана Тьюринга проблемой филлотаксиса и числами Фибоначчи не является случайным. Эти исследования нельзя рассматривать иначе, как предчувствие гениального ученого использования естественной «Математики Природы» для создания вычислительных машин будущего. Настоящая статья состоит из двух частей: Математика Гармонии и «Золотая» Информационная Технология. В первой части излагаются основы «Математики Гармонии» как истинной «Математики Природы» и как нового междисциплинарного направления современной науки. Показано, что эта математика имеет прямое отношение к теории относительности и 4-й проблеме Гильберта. Вторая часть статьи посвящена изложению «золотой» информационной технологии как основы информационных технологий будущего (коды и компьютеры Фибоначчи, коды золотой пропорции, «золотые» резистивные делители, троичная зеркально-симметричная арифметика, новая теория кодирования, основанная на матрицах Фибоначчи, матричная криптография и др.).

11. Роль систем счисления в развитии информационных технологий

11.1. Наиболее существенные вехи в истории систем счисления. В настоящее время под информационными технологиями (ИТ) чаще всего, понимают компьютерные технологии. В частности, ИТ имеют дело с использованием компьютеров и программного обеспечения для хранения, преобразования, защиты, обработки, передачи и получения информации. Обычно эта область науки называется информатикой. Рассуждая о математических основах информатики, выделяют такие дисциплины: системы счисления, теория информации, теория кодирования, криптография, математическая логика, теория графов, теория вычислений, теория алгоритмов, языки программирования и трансляторы, базы данных, компьютерные сети, параллельные вычисления и др.

В этом перечне системы счисления не случайно стоят на первом месте. В своих истоках информатика уходит в глубь тысячелетий и начинается она с создания систем счисления и абаков – примитивных калькуляторов. Возникновение первых систем счисления относится к периоду зарождения математики, когда потребности счета предметов, измерения времени, земельных участков и количества продуктов привели к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Как подчеркивает А.Н. Колмогоров [332], «только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметических действий».

В области систем счисления можно выделить несколько открытий, которые сыграли важную роль в развитии математики, образования и в целом – материальной культуры человечества:

1. Открытие позиционного принципа представления чисел. Как подчеркивается в статье [343], «первой известной нам системой счисления, основанной на поместном или позиционном принципе, является шестидесятеричная система древних вавилонян, возникшая примерно за 2000 лет до н.э.». Согласно гипотезе Нейгебауера [344] позиционный принцип имеет измерительное происхождение. Как подчеркивает Нейгебауер, «основные этапы образования позиционной системы в Вавилоне были таковы: (1) установление количественного соотношения между двумя самостоятельными существовавшими системами мер и (2) опускание названий разрядовых единиц при письме». Эти этапы возникновения позиционных систем Нейгебауэр считает совершенно общими, подчеркивая при этом, что «позиционная шестидесятеричная система … оказалась вполне естественным конечным результатом долгого развития, ничем принципиально не отличающегося от аналогичных процессов в других культурах» [344].

2. Десятичная система. Среди позиционных систем счисления наибольшее распространение получила десятичная система. Ее прообразом считается индусская десятичная система, возникшая примерно в 5-8-м веках нашей эры. В Европу десятичная нумерация проникла из Исламского Востока. Наиболее ранние рукописи на арабском языке, содержащие индусскую позиционную запись чисел, относятся к 9-му столетию нашей эры. Хотя первые записи арабско-индийскими цифрами встречаются в испанских рукописях еще в 10-м веке, десятичная система начинает закрепляться в Европе только начиная с 12-го века. Новая нумерация в Европе встретила сопротивление как со стороны официальной схоластической науки того времени, так и со стороны отдельных правительств. Так, например, в 1299 г. во Флоренции купцам было запрещено пользоваться новыми цифрами, в бухгалтерии приказано было либо пользоваться римскими цифрами, либо писать числа словами. Убежденным сторонником использования арабско-индусской системы счисления в торговой практике был известный итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), получивший математическое образование в арабских странах.

В процессес исторического развития десятичная система стала главной системой, которая объединила все человечество и стала краеугольным камнем современного математического образования. Эта система кажется нам настолько простой и элементарной, что многие из нас с большим недоверием отнесутся к утверждению, что десятичная система является одним из крупнейших математических открытий за всю историю математики. И чтобы убедить читателя в этом, обратимся к мнению «авторитетов».

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), французский математик, член Парижской академии наук, почетный иностранный член Петербургской академии наук:

«Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

М.В. Остроградский (1801-1862), русский математик, член Петербургской академии наук и многих иностранных академий:

«Нам кажется, что после изобретения письменности самым большим открытием было использование так называемой десятичной системы счисления. Мы хотим сказать, что соглашение, с помощью которого мы можем выразить все полезные числа двенадцатью словами и их окончаниями, является одним из самых замечательных созданий человеческого гения …»

Жюль Таннери (1848-1910), французский математик, член Парижской академии наук:

«Что касается до нынешней системы письменной нумерации, в которой употребляется девять значащих цифр и ноль, и относительное значение цифр определяется особым правилом, то эта система была введена в Индии в эпоху, которая не определена точно, но, по-видимому, после христианской эры. Изобретение этой системы есть одно из самых важных событий в истории науки, и несмотря на привычку пользоваться десятичной нумерацией, мы не можем не изумляться чудной простоте ее механизма».

3. Двоичная система. В связи с развитием компьютерной техники на первые роли в современной науке выдвинулась двоичная система счисления. Ее изобретение приписывают индийскому писателю и математику Пингала, который в 2-м столетии нашей эры представил первое описание двоичной системы, что почти на полтысячелетия опередило описание двоичной системы, сделанное в 17 в. выдающимся германским математиком Готфридом Лейбницем (1646-1716). Лейбница иногда называют последним универсальным гением, которому приписывают два важнейших открытия, которые фундаментально повлияли на развитие математики и информатики: дифференциальное и интегральное исчисление и двоичная арифметика, основанная на битах.

Готфрид Лейбниц (1646-1716).

11.2. Двоичная система и «Неймановские принципы». Первой универсальной электронной вычислительной машиной считается ЭНИАК, созданная в 1945 г. в США. Перед конструкторами ЭНИАК возникла задача пронализировать сильные и слабые стороны проекта ЭНИАК и дать рекомендации для дальнейшего развития электронных компьютеров. Блестящее ршение этой задачи было дано в отчете Принстонского института перспективных исследований «Предварительное обсуждение логического конструирования электронного вычислительного устройства» (июнь 1946 г.). Этот отчет, составленный выдающимся американским математиком Джоном фон Нейманом и его коллегами по Принстонскому институту Г. Голдстейном и А. Берксом, которые участвовали в проекте ЭНИАК, представлял собой проект новой электронного компьютера. Основные рекомендации, изложенные в отчете, известные в современной информатике под названием Неймановских принципов или Неймановской архитектуры, оказали определяющее влияние на развитие современных компьютеров.

Джон фон Нейман (1903-1957)

Одним из главных в Неймановских принципах считается следующий [345]: машины на электроннных элементах должны работать не в десятичной, а в двоичной системе счисления. Основными преимуществами двоичной системы являются следующие [345]: двухпозиционный характер работы электронных элементов, высокая экономичность двоичной системы и простота выполнения арифметических операций с двоичными числами.

формате PDF (1067Кб)