Аннотация

На этапе зарождения математики ее развитие стимулировалось тремя «ключевыми» проблемами – счета, измерения и гармонии. Первые две проблемы привели к обоснованию двух фундаментальных математических понятий – натуральных чисел и иррациональных чисел, которые и были положены в основу «классической математики». «Проблема гармонии», связанная с «золотым сечением», всячески игнорировалась «материалистической» наукой и «классической математикой», и это направление развивалось в изоляции от «классической науки». И только на рубеже 20-21-го столетий удалось завершить создание «Математики Гармонии» как нового междисциплинарного направления современной науки, которая открывает новые пути в развитии математики, теоретической физики и информатики.

1. Основные этапы в развитии математики

Что такое математика? Для ответа на этот вопрос обратимся к книге «Математика в ее историческом развитии» [1], написанной выдающимся российским математиком академиком А.Н. Колмогоровым. Раздел первый «Развивающаяся наука» посвящен развитию математики. Именно этот раздел составляет основу статьи «Математика», написанной А.Н. Колмогоровым для второго издания Большой Советской Энциклопедии [2].

Согласно Колмогорову математика — это «наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира».

Колмогоров отмечает, что «ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6-5 вв. до н.э.».

Колмогоров выделяет следующие этапы в развитии математики:

1. Период зарождения математики, предшествующий греческой математике.
2. Период элементарной математики. Начало этого периода Колмогоров относит к 6-5 вв. до н.э., а его завершение к 17 в. Запас знаний, которые имела математика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.
3. Период математики переменных величин, который можно условно назвать периодом «высшей математики». Этот период начинается с употребления переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления.
4. Период современной математики. Началом этого периода Колмогоров считает создание Н.И. Лобачевским так называемой «воображаемой геометрии», которая положила начало расширению круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику 19 и 20 веков естественно отнести к особому периоду современной математики.

2. Проблема счета – первая «ключевая» проблема античной математики

На этапе зарождения математики Колмогоров выделяет несколько «ключевых» проблем, которые стимулировали развитие математики и возникновение ее фундаментальных понятий. Первая из них – это проблема счета. Как подчеркивается в [1], «счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметических действий».

На этапе зарождения математики было сделано одно из крупнейших, то есть, «ключевых» математических открытий. Речь идет о позиционном принципе представления чисел. Как подчеркивается в статье [3], «первой известной нам системой счисления, основанной на поместном или позиционном принципе, является шестидесятеричная система древних вавилонян, возникшая примерно за 2000 лет до н.э.». Именно это открытие лежит в основе всех ранних систем счисления, которые были созданы на этапе зарождения математики и в период элементарной математики (включая Вавилонскую 60-ричную систему, десятичную и двоичную и другие системы счисления).

Каждый человек на земном шаре, окончивший хотя бы четыре класса начальной или «церковно-приходской» школы, знает, по меньшей мере, две полезные вещи: он умеет писать и читать и использовать десятичную систему счисления для выполнения простейших арифметических операций. И эта система кажется нам настолько простой и элементарной, что многие из нас с большим недоверием отнесутся к утверждению, что десятичная система является одним из крупнейших математических открытий за всю историю математики. И чтобы убедить читателя в этом, обратимся к мнению «авторитетов».

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), французский математик, член Парижской академии наук, почетный иностранный член Петербургской академии наук:

«Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

М.В. Остроградский (1801-1862), русский математик, член Петербургской академии наук и многих иностранных академий:

«Нам кажется, что после изобретения письменности самым большим открытием было использование так называемой десятичной системы счисления. Мы хотим сказать, что соглашение, с помощью которого мы можем выразить все полезные числа двенадцатью словами и их окончаниями, является одним из самых замечательных созданий человеческого гения …»

Жюль Таннери (1848-1910), французский математик, член Парижской академии наук:

«Что касается до нынешней системы письменной нумерации, в которой употребляется девять значащих цифр и ноль, и относительное значение цифр определяется особым правилом, то эта система была введена в Индии в эпоху, которая не определена точно, но, по-видимому, после христианской эры. Изобретение этой системы есть одно из самых важных событий в истории науки, и несмотря на привычку пользоваться десятичной нумерацией, мы не можем не изумляться чудной простоте ее механизма».

Следует отметить, что позиционный принцип представления чисел и вытекающие из них позиционные системы счисления (в частности, двоичная система), созданные на этапе зарождения математики, стали одной из «ключевых» идей современных компьютеров. В этой связи стоит также напомнить, что алгоритмы умножения и деления чисел, лежащие в основе современных компьютеров, созданы древними египтянами («метод удвоения») [1]. Однако, главным итогом развития арифметики на этапе зарождения математики является формирование понятия натурального числа, которое является одним из важнейших и фундаментальных понятий математики, без которого немыслимо существование самой математики. Для изучения свойств натуральных чисел еще в античный период возникает теория чисел, одна из фундаментальных теорий математической науки.

3. Проблема измерения – вторая «ключевая» проблема античной математики

Вторая «ключевая» проблема, стимулировавшая развитие математики на стадии ее зарождения – это проблема измерения. Как подчеркивает Колмогоров, «потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т.д.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приемов выполнения арифметических действий над дробями... Измерение площадей и объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее – астрономии, вызывают развитие начатков геометрии».

«Ключевым» математическим открытием в этой области по праву считается открытие «несоизмеримых отрезков». Считается, что это открытие было сделано в 5-м веке до н.э. в научной школе Пифагора при исследовании отношения диагонали к стороне квадрата. Методом от противного пифагорейцам удалось доказать, что рассматриваемое отношение, равное , не может быть выражено в виде отношения двух натуральных чисел, и такие отрезки были названы несоизмеримыми, а числа, выражающие подобные отношения, были названы иррациональными.

Открытие «несоизмеримых отрезков» стало поворотным пунктом в развитии математики. Благодаря этому открытию в математику вошло понятие иррационального числа, второго (после натуральных чисел) фундаментального понятие математики. Для преодоления первого кризиса в основаниях математики, вызванного открытием «несоизмеримых отрезков», выдающийся геометр Евдокс разработал теорию величин, которая позже трансформировалась в математическую теорию измерения [4], еще одну фундаментальную теорию математической науки. К этой теории, основным результатом которой является формирование понятие иррационального числа, в конечном итоге, восходит вся непрерывная математика, включая дифференциальное и интегральное исчисление.

Влияние «проблемы измерения» на развитие математики настолько велико, что это дало право болгарскому математику академику Илиеву заявить, что «на протяжении первой эпохи своего развития – от античности и вплоть до открытия дифференциального и интегрального исчисления – математика, исследуя в первую очередь проблемы измерения величин, создала геометрию Евклида и учение о числах» [5].

Таким образом, две «ключевые» идеи античной математики – проблема счета и проблема измерения – привели к формированию двух фундаментальных понятий математики – понятия натурального числа и понятия иррационального числа, которые вместе с теорией чисел, позиционными системами счисления и теорией измерения и стали тем фундаментом, на котором позже была построена вся «классическая математика», а затем «классическая теоретическая физика» и «классическая информатика».

4. «Проблема Гармонии» в истории науки

Деление в крайнем и среднем отношении

Однако, в античной науке существовала еще одна «ключевая» проблема, о которой не упоминает А.Н. Колмогоров и которая сыграла фундаментальную роль в развитии науки, в том числе, математики. Речь идет о «проблеме гармонии», которую, начиная с античного периода, постоянно держит в поле зрения исследовательская мысль. С этим периодом человеческой культуры связывают также разработку первых математических способов выражения пропорций в строении естественных систем. Именно к античному периоду относится «ключевое» открытие в этой области – формулировка задачи о делении в крайнем и среднем отношении, получившей позже название золотого сечения. Гениальный русский философ Алексей Лосев оценил основные достижения древних греков в этой области в следующих словах [6]: «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — золотого сечения... Их (древних греков) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

В этой связи уместно рассмотреть «Начала» Евклида именно с этой точки зрения, то есть, с точки зрения «проблемы гармонии». Как известно [7], 13-я, то есть заключительная книга «Начал» Евклида, посвящена изложению теории Платоновых тел, которые выражали гармонию Вселенной в космологии Платона. Этот факт породил весьма распространенную гипотезу о том, что главная цель, которую преследовал Пифагор при написании своих «Начал», состояла в том, чтобы дать описание теории Платоновых тел, то есть, главных «гармонических» фигур Мироздания. Но чтобы дать завершенную геометрическую теорию Платоновых тел, в частности Додекаэдра, Евклиду понадобилось ввести в в Книге II задачу о «делении в крайнем и среднем отношении» (Теорема II, 11), которую можно считать «ключевым» математическом открытием в развитии «проблемы гармонии». Такое деление, названное позже «золотым сечением», было использовано Евклидом для геометрического построения равнобедренного треугольника с углами 72°, 72° и 36° («золотого» равнобедренного треугольника), регулярного пятиугольника (пентагона) и затем Додекаэдра, основанного на «золотом сечении». Таким образом, нет никаких сомнений в том, что знаменитая «Пифагорейская Доктрина о Числовой Гармонии Мироздания» была воплощена в величайшем математическом сочинении античной науки, «Началах» Евклида, то есть, с этой точки зрения «Начала» Евклида можно рассматривать, как первую попытку построить «Математическую Теорию Гармонии», что было едва ли не главной идеей греческой науки. Как подчеркивает Э.М. Сороко [8], «впервые в истории последовательное представление о мире как внутренне противоречивом, гармоничном целом было выработано древними греками. Основное достижение античной мысли – обнаружение всеобщей и повсеместной связи природы, отношения, соединяющего все ее элементы в одно великое биполярное целое. С одной стороны, это макрокосмос, а с другой –микрокосмос, человек как »маленькая вселенная», говоря современным языком, голограммно несущая в себе всю «маточная» универсальность и полноту великого мира природы, космоса, «большой вселенной».

В процессе своего исторического развития «классическая математика» потеряла «гармоническую идею» Пифагора и Платона, воплощенную Евклидом в своих «Началах». В результате математика оказалась разделенной на ряд математических теорий (геометрия, теория чисел, алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление и т.д.). К сожалению, значение «золотого сечения» было незаслуженно принижено в современной математике и теоретической физике. Для многих современных математиков «золотое сечение» напоминает «красивую сказку», которая не имеет никакого отношения к серьезной математике.

Числа Фибоначчи

Тем не менее, несмотря на негативное отношение «материалистической» математики к «золотому сечению», ее теория продолжала развиваться. В 13 в. в математику были введены знаменитые числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 32, …, открытые итальянским математиком Леонардо из Пизы (Фибоначчи) при решении задачи о размножении кроликов. Следует отметить, что рекуррентное соотношение Фибоначчи считается первой в истории математики рекуррентной формулой, то есть Фибоначчи своим открытием предвосхитил метод рекуррентных соотношений, один из наиболее мощных методов комбинаторного анализа. Позже числа Фибоначчи были обнаружены во многих природных объектах и явлениях, в частности, в ботаническом явлении филлотаксиса.

Первая в истории науки книга по золотому сечению

В эпоху Итальянского Возрождения интерес к «золотому сечению», как одному из важных геометрических открытий, возникает с новой силой. Универсальный гений Возрождения Леонардо да Винчи никак не мог пройти мимо «деления отрезка в крайнем и среднем отношении» («золотое сечение»). Существует мнение [8], что именно Леонардо ввел в культуру Возрождения сам термин «золотое сечение». Под непосредственным влиянием Леонардо выдающийся итальянский математик Лука Пачиоли опубликовал в 1509 г. книгу «Divina Proportione», первую в мировой истории специальную книгу по золотому сечению.

Кеплер о золотом сечении

В 17 в. гениальный астроном и математик Иоганн Кеплер создал оригинальную геометрическую модель Солнечной системы, основанную на Платоновых телах. Свое восхищение «золотым сечением» он выразил в следующих словах: «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Исследования Люка, Бине и Феликса Клейна

После смерти Кеплера о «золотом сечении», одном из двух «сокровищ геометрии», забывают. И такое странное забвение продолжается в течение двух столетий. Активный интерес к «золотому сечению» вновь возрождается в математике только в 19-м столетии. В этот период математические работы, посвященные числам Фибоначчи и золотому сечению, по меткому выражению одного математика, «начинают размножаться, как кролики Фибоначчи». Французские математики Люка и Бине становятся лидерами этих исследований в 19-м веке. Люка вводит в математику сам термин «Числа Фибоначчи», а также понятие «обобщенных последовательностей Фибоначчи», одной из которых являются числа Люка 1, 3, 4, 7, 11, 18,.... Бине выводит знаменитые формулы Бине, которые связывают золотое сечение с числами Фибоначчи и Люка. В 19-м веке выдающийся немецкий математик Феликс Клейн попытался объединить все области математики на основе икосаэдра, Платонового тела, дуального додекаэдру. Клейн трактует икосаэдр, основанный на золотом сечении, как геометрический объект, из которого вытекают ветви пяти математических теорий: геометрии, теории Галуа, теории групп, теории инвариантов и дифференциальные уравнения. Главная идея Клейна предельно проста: «Каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра». К сожалению, эта замечательная идея не была реализована в математике.

Золотое сечение и числа Фибоначчи в математике 20-го века

Во второй половине 20-го века интерес к числам Фибоначчи и золотому сечению в математике возрождается с новой силой. Русский математик Николай Воробьев был первым математиком, который почувствовал новые тенденции в математике. Его брошюра «Числа Фибоначчи» [9], опубликованная в 1961 г., стала научным бестселлером 20-го века и была переведена на многие языки. В 1963 г. Группа американских математиков во главе с Вернером Хоггаттом организовала Фибоначчи-Ассоциацию и начала издавать математический журнал «The Fibonacci Quarterly». Благодаря деятельности Фибоначчи-Ассоциации и книгам Воробьева [9], Хогатта [10], Вайды [11] и других математиков в современной математике сформировалось новое научное направление, которое получило название «теории чисел Фибоначчи».

В 1992 г. группа славянских ученых из России, Украины, Беларуси и Польши организовали так называемую «Славянскую «Золотую» Группу». По инициативе этой группы были проведены Международные симпозиумы «Золотое Сечение и Проблемы Гармонии Систем» сначала в Киеве (Украина, 1992, 1993), а затем в Ставрополе (Россия, 1994, 1995, 1996). В последние десятилетия западными и славянскими учеными было опубликовано ряд интересных книг в области золотого сечения [8-35]. Сам факт публикации достаточно обширного перечня книг по проблеме золотого сечения является достаточно симптоматичным и свидетельствует об актуальности проблемы золотого сечения в современной науке

Современные научные открытия, основанные на золотом сечении и Платоновых телах.

Золотое сечение, пентаграмма и Платоновы тела широко использовались астрологией и эзотерическими науками, что стало одной из причин негативного отношения классической «материалистической» науки к золотому сечению и Платоновым телам. Однако, все попытки «материалистической» науки и математики забыть «золотое сечение» и Платоновы тела и выбросить их вместе с астрологией и эзотерическими науками на «свалку сомнительных научных концепций», закончились полным провалом. Уже Иоганн Кеплер нашел «фибоначчиевые» спирали на поверхности филлотаксисных объектов. «Геометрия Боднара» [21,33] стала блестящим доказательством того факта, что именно золотое сечение и числа Фибоначчи лежат в основе геометрии живой Природы. «Закон структурной гармонии систем», сформулированный Эдуардом Сороко [8, 15], подтвердил всеобщий характер процессов самоорганизации систем любой природы и показал, что все самоорганизующиеся системы основаны на «золотых p-пропорциях». Квази-кристаллы Шехтмана и фуллерены (Нобелевская Премия 1996 г.) подтвердили гениальное предсказание Феликса Клейна о фундаментальной роли икосаэдра в науке и математике. Наконец, «золотые» геноматрицы Сергея Петухова [36] завершают перечень выдающихся современных научных открытий, основанных на «золотом сечении» и Платоновых телах.

Золотое сечение в науке 21-го века

Начало 21-го века отмечено рядом интересных публикаций и событий, которые имеют прямое отношение к числам Фибоначчи и золотому сечению. Прежде всего, необходимо отметить проведение Международных конференций по числам Фибоначчи и их приложениям, организованных Фибоначчи-Ассоциацией в 2002 г. (штат Аризона, США), в 2004 г. (Брауншвейг, Германия) и в 2006 г. (Сан Франциска, Калифорния, США). В 2003 г. на Украине (Винница) была проведена Международная конференция «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве». Конференция была проведена по инициативе Славянской «Золото» Группы, которая на Конференции была преобразована в Международный Клуб Золотого Сечения. В 2005 г. Академия Тринитаризма (Россия) организовала Институт Золотого Сечения, который является официальным органом Международного Клуба Золотого Сечения.

На рубеже 20-го и 21-го столетий западными и славянскими авторами было опубликовано ряд научных книг в области золотого сечения и его приложений. Наиболее интересными из них являются следующие:

(1) Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaons to Fractals. 1999 (русский перевод, 2002) [26].

(2) Kappraff Jay. Connections. The geometric bridge between Art and Science. Second Edition, 2001 [28].

(3) Kappraff Jay. Beyond Measure. A Guided Tour Through Nature, Myth, and Number. Singapore, Second edition, 2002 [29].

(4) Шевелев И.Ш. Метаязык живой природы. Москва: Воскресение, 2000 [27].

(5) Vera W. de Spinadel, From the Golden Mean to Chaos, Nueva Libreria, Second edition, Nobuko, 2004 [23].

(6) Петруненко В.В. Золотое сечение в квантовых состояниях и своих астрономических и физических проявлениях. Минск: Право и экономика, 2005 [32].

(7) Боднар О.Я. Золотий переріз і невклідова геометрія в нвуці та мисецтві. Львів: Українські технології, 2005 [33]

(8) Сороко Э.М. Золотые сечения, процессы самоорганизации и эволюции систем. Введение в общую теорию гармонии систем. Москва: Изд-во «URSS», 2006 [8].

(9) Стахов А.П., Слученкова А.А., Щербаков И.Г. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. Санкт-Петербург: Питер, 2006 [34].

(10) Olsen Scott. The Golden Section: Nature’s Greatest Secret, 2006 [35].

Этот перечень подтверждает огромный интерес к золотому сечению в науке 21-го века. Этот интерес подтверждается и огромным количеством научных статей на эту тему, опубликованных на рубеже 20-21-го столетий [36-58]. Особенностью науки 21-го века является возрастание интереса к золотому сечению в теоретической физике. Характерным примером в этом отношении является публикация книги В.В. Петруненко [32], а также научного сборника «Метафизика. Век XXI» [57], подготовленного известным российским физиком-теоретиком Ю.С. Владимировым. Сборник состоит из 3-х частей. Третья часть сборника всецело посвящена проблеме «золотого сечения». Эта часть сборника открывается двумя статьями – статьей А.П. Стахова «Золотое сечение,священная геометрия и математика гармонии» [58], в которой дается детальное обоснование «Математики Гармонии» как нового междисциплинарного направления современной науки, и статьей С.В. Петухова «Метафизические аспекты матричного анализа генетического кода и золотое сечение» [36], в которой описано крупное научное открытие – «золотые» геноматрицы, свидетельствующее об удивительной математической связи «золотого сечения» с генетическим кодом.

6. Математика Гармонии как новое междисциплинарное направление современной науки

Лекция «The Golden Section and Modern Harmony Mathematics»

К концу 20-го века предмет «теории чисел Фибоначчи» [9-11] значительно расширился. Было получено огромное количество обобщений чисел Фибоначчи и золотого сечения, а также получено много неожиданных приложений чисел Фибоначчи и золотого сечения, имеющих приложения в теоретической физике (гиперболические функции Фибоначчи и Люка [39]), в компьютерной науке (коды Фибоначчи и золотой пропорции [12, 14, 18]), в ботанике (закон преобразования спиральных биосимметрий [21, 33]) и даже философии (закон структурной гармонии систем [8, 15]) и т.д. Стало ясно, что новые результаты в этой области далеко выходят за рамки традиционной «Теории чисел Фибоначчи» [9-11]. Более того, стало ясно, что само название «теория чисел Фибоначчи» значительно суживает содержание этого научного направления, которое направлено на изучение математических моделей гармонии систем. Поэтому возникла идея объединить новые результаты в теории золотого сечения и чисел Фибоначчи и их приложения под флагом нового междисциплинарного направления современной науки, получившего название «Математика Гармонии». Именно такая идея была изложена автором в лекции «The Golden Section and Modern Harmony Mathematics», прочитанной автором на 7-й Международной конференции по числам Фибоначчи и их приложениям (Грац, Австрия, июль 1996 г.). Лекция была опубликована в научном сборнике «Applications of Fibonacci Numbers» [37].

После 1996 г. автор продолжал развивать и углублять эту идею в статьях [40-54]. Однако, создание «Математики Гармонии» является итогом коллективного творчества, поскольку работы выдающихся исследователей в области чисел Фибоначчи и золотого сечения Николая Воробьева [9], Gardner Martin [59], H. S. M. Coxeter [58], George Polya [61], Verner Hoggat [10], Alfred Renyi [62], Stephen Vaida [11], Эдуарда Сороко [8, 15], Олега Боднара [21,33], Николая Васютинского [19], Виктора Коробко [24], Иосифа Шевелева [27], Сергея Петухова [36], Roger Herz-Fishler [7], Jay Kappraff [28, 29], Midhat Gazale [26], Vera W. de Spinadel [23], R.A. Dunlap [22], Scott Olsen [35], Александра Татаренко [63] и других оказали непосредственное влияние на исследования автора в области Математики Гармонии.

«Математика Гармонии» в своих истоках восходит к Евклидовой проблеме о «делении в крайнем и среднем отношении» («золотое сечение») [7] и является дальнейшим развитием традиционной «Теории чисел Фибоначчи» [9-11]. Какие же цели ставит перед собой эта новая математика? Подобно «классической математике», которую иногда определяют как «науку о моделях» [5], «Математику Гармонии» следует рассматривать как «науку о моделях гармонических процессов», протекающих в окружающем нас мире.

формате PDF (454Кб)