1. «Золотые» матрицы

В последние годы в работах автора [1-18] «теория чисел Фибоначчи» получила дальнейшее развитие. При этом получено ряд новых приложений этой теории, имеющих прямое отношение к теории кодирования [5, 15] и криптографии [16]. В настоящем докладе излагаются результаты исследований по созданию нового метода криптографии, изложенного в [16] и основанного на использовании так называемых «золотых» матриц.

Под «золотыми» матрицами понимаются квадратные матрицы следующего типа:

(1)

(2)

где x – непрерывная переменная, принимающая значения из множества действительных чисел, sFs(x), cFs(x) – соответственно симметричный гиперболический синус и косинус [9], задаваемые математическими выражениями:

(3)

— «золотая пропорция».

Заметим, что матрицы (1), (2) обладают замечательными математическими свойствами. Матрица (2) является инверсной к матрице (1), то есть, для любого x имеет место следующее тождество:

Q(2x)ґ Q(-2x) =

(4)

Кроме того, для любого x детерминанты указанных матриц тождественно равны 1, то есть,

Det Q(2x) = Det Q(-2x) = 1

(5)

Следует отметить, что гиперболические функции (3), введенные в [9], являются расширением на непрерывную область так называемой формулы Бине для чисел Фибоначчи, введенной французским математиком Бине в 19-м столетии, а «золотые» матрицы (1), (2) являются обобщением Q-матрицы, введенной американским математиком Вернером Хоггаттом в начале 60-х годов 20-го столетия, то есть «золотые» матрицы (1), (2) являются итогом около 200-го периода в развитии теории чисел Фибоначчи.

2. «Золотая» криптография

Суть «золотой» криптографии состоит в следующем. В качестве «криптографического ключа» используется некоторое значение переменной x. Это означает, что количество «криптографических ключей» для данного метода теоретически бесконечно. Метод может быть применен для криптографической защиты так называемых «дискретных сигналов», представляющих последовательность «отсчетов» некоторой непрерывной функции:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, …

(6)

Шифрация сообщения состоит в последовательном представлении четверок «отсчетов» типа a₁, a₂, a₃, a₄ из (6) в виде квадратной матрицы:

(7)

и последующем ее умножении на прямую «золотую» матрицу (1). При этом образуется «кодовая матрица» Е

Mґ Q(2x) = ґ = =E(x),

(8)

которая представляет собой «зашифрованное сообщение», передаваемое затем по «каналу связи».

Дешифрация зашифрованного сообщения, полученного из «канала связи», состоит в умножении «кодовой матрицы» (8) на инверсную матрицу (2).

Между детерминантами исходной матрицы (7) и «кодовой матрицы» (8) существует следующая связь:

Det Е = Det М,

(9)

что непосредственно вытекает из свойства (5).

3. Преимущества «золотой» криптографии

Предложенный метод принадлежит к так называемой «симметричной» криптографии, то есть для его реализации «криптографический ключ» должен быть известен «получателю» зашифрованного сообщения. Для передачи «криптографического ключа» предлагается использовать существующие «асимметричные» криптографические системы, то есть «криптографическая способность» данного метода определяется «криптографической способностью» соответствующей «асимметричной» системы, используемой для передачи криптографического ключа.

Основным достоинством «золотой» криптографии является простота алгоритма шифрации-дешифрации, что обеспечивает высокую скорость шифрации-дешифрации и позволяет использовать метод для криптографической защиты «дискретных сигналов», работающих в реальном масштабе времени (телефонные, измерительные и другие телекоммуникационные системы). При этом частая смена «криптографического ключа», выбираемого по случайному закону, неизвестному «передатчику» и «приемнику» и передаваемого с помощью «асимметричных» систем, обеспечивает достаточно высокий уровень криптографической защиты. Еще одним достоинством метода является возможность контроля процесса шифрации и дешифрации, что основывается на уникальном математическом тождестве (9), связывающем детерминанты исходной матрицы (7) и «кодовой матрицы» (8).

Таким образом, с помощью предложенного метода можно создавать простые с точки зрения технической реализации, быстродействующие и высоконадежные криптографические системы, предназначенные для защиты информационных систем, работающих в реальном масштабе времени.

Литература

• [1] Stakhov, A.P. The Golden Section in the Measurement Theory, Computers & Mathematics with Applications, 1989, Vol. 17, No 4-6, 613-638.
  
• [2] Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук Украины, 1993, № 7, 9-14.
  
• [3] Stakhov, A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics, Applications of Fibonacci Numbers, Kluwer Academic Publishers, 1998, Vol. 7, 393-399.
  
• [4] Stakhov A.P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix. Доклады Академии наук Украины, 1999, № 9, 46-49.
  
• [5] Stakhov A., Massingue V., Sluchenkova A. Introduction into Fibonacci coding and cryptography. Kharkiv, Osnova, 1999.
  
• [6] Stakhov A.P. Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic, The Computer Journal (British Computer Society), 2002, Vol. 45, No. 2, 221-236.
  
• [7] Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал. 2004, Vol. 56, No. 8, 1143-1150.
  
• [8] Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions: A New Mathematics for the Living Nature. Vinnitsa: ITI, 2003.
  
• [9] Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals, 2004, 23, 379-389.
  
• [10] Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its Applications in Mathematics, Science and Engineering. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 26, 263-289.
  
• [11] Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 26, 677-684
  
• [12] Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, 27, 1162-1177.
  
• [13] Stakhov A., Rozin B. The «Golden» Algebraic Equations. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 2006, 27, 1415-1421.
  
• [14] Stakhov AP Fundamentals of a new kind of mathematics based on the Golden Section, Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 27, 1124-1146.
  
• [15] Stakhov A.P. Fibonacci matrices, a generalization of the «Cassini formula», and a new coding theory. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, 30, 56-66.
  
• [16] Stakhov A.P. The «golden» matrices and a new kind of cryptography. Chaos, Solitons & Fractals, 2006(in press).
  
• [17] Стахов А.П. Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии. В сб. «Метафизика. Век XXI», Москва, Бином, 2006.
  
• [18] Стахов А.П., Слученкова А.А., Щербаков И.Г. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. Санкт-Петербург, Питер, 2006.