Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

Стахов А.П.
«Металлические Пропорции» Веры Шпинадель
Oб авторе
Аннотация

В конце 20 века сразу трое ученых Вера Шпинадель (Аргентина), А.А. Татаренко и Н.В. Косинов (Россия), исследуя квадратичное уравнение типа x2px — q = 0, которое является обобщением «уравнения золотой пропорции» x2x – 1 = 0, независимо друг от друга пришли к открытию нового класса числовых констант, названных их авторами по-разному: «металлические средние» или «металличческие пропорции» (Вера Шпинадель), Tm-гармонии (А.А. Татаренко), новые «золотые» константы (Н.В. Косинов). Однако первая статья по новым числовым константам была опубликована в 1997 г. аргентинским математиком Верой Шпинадель, что не умаляет оригинальных исследований А.А. Татаренко и Н.В. Косинова.

Abstract

In the end of 20th century at once three scientists Vera Spinadel (Argentina), A.A. Tatarenko and N.V. Kosiniv (Russia) begun to study the quadratic equation of the kind x2px — q = 0, which is a generalization of the «golden proportion equation» x2x – 1 = 0. After analysis of the given equation they discovered a new class of numerical constants that were named their authors differently: «Metallic means» or «metallic proportions» (Vera Spinadel), Tm-harmonies (A.A. Tatarenko), new «golden» constants (N.V. Kosinov). However, the first article on the new numerical constants was published by the Argentinean mathematician Vera Spinadel in 1997 that however does not belittle Taterenko and Kosiniv’s original researches.


Содержание

  1. Введение
  2. Об одном обобщении чисел Фибоначчи
  3. Семейство «металлических пропорций»
  4. Другие типы «металлических пропорций»
  5. Свойство аддитивности «металлических пропорций»
  6. Числа Писота (Pisot) и «металлические пропорции»
  7. «Металлические пропорции» в работах других авторов
  8. Заключение

1. Введение

В последние десятилетия «Теория Золотого Сечения», которую по праву можно считать одной из древнейших математических теорий, обогатилась новыми математическими результатами, к числу которых можно отнести: обобщенные числа Фибоначчи или р-числа Фибоначчи (Стахов, 1977, [1, 2]), обобщенные золотые пропорции или золотые р-пропорции (Стахов, 1977, [3]), система счисления Бергмана (Бергман, 1953, [4]) и ее обобщение, коды золотой р-пропорции (Стахов, 1984, [3]), «Закон структурной гармонии систем» (Сороко, 1984, [5]), гиперболические функции Фибоначчи и Люка (Стахов, Ткаченко, 1993, [6]), новая геометрическая теория филлотаксиса (Боднар, 1992, [7]), симметричные гиперболические функции и функция «Золотой Шофар» (Стахов, Розин, 2005, [8, 9]), обобщенные матрицы Фибоначчи (Стахов, 1999, [10]), теория «золотых» алгебраических уравнений и обобщенные формулы Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка (Стахов, Розин, 2005, [11, 12]) и др. К разряду фундаментальных результатов «Теории Золотого Сечения» могут быть отнесены исследования аргентинского математика Веры Шпинадель, которая предложила новый класс числовых пропорций, названных «Металлическими Средними» («Metallic Means») или «Металлическими Пропорциями» [13-16]. Несмотря на то, что Вера Шпинадель входит в число довольно известных математиков Аргентины и является Президентом Международной Ассоциации «Математика и Дизайн» и главным редактором Международного математического журнала «Математика и Дизайн» («Journal of Mathematics & Design»), опубликовала 10 книг и 80 статей, ее работы остаются малоизвестными русскоязычным авторам.

Цель настоящей статьи – ознакомить русскоязычных читателей с «Металлическими Пропорциями», введенными в рассмотрение Верой Шпинадель в работах [13-15].

2. Об одном обобщении чисел Фибоначчи

Напомним, что числа Фибоначчи представляют собой последовательность целых чисел, в которой каждое число равно сумме двух предыдущих. Начиная с F(1)=1; F(2) = 1, мы получаем:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,..., F(n+1),..., (1)

где

F(n+1) = F(n) + F(n — 1). (2)

Легко показать, что отношение соседних чисел Фибоначчи можно представить в виде:

(3)

Если устремить n в бесконечность, и обозначить через x предел отношения соседних чисел Фибоначчи, то есть,

,

тогда в пределе выражение (3) может быть представлено в виде:

(4)

или

x2 = x+1. (5)

Положительный корень уравнения (5), равный , представляет собой знаменитое иррациональное число, называемое золотой пропорцией.

Рекуррентная формула Фибоначчи (2) может быть обобщена следующим образом:

G(n+1) = p G (n) + q G(n — 1), (6)

где p и q – натуральные числа, а G(n+1) представляет собой (n+1)-й член числовой последовательности, называемой обобщенными числами Фибоначчи.

Если начать с чисел а и b, то рекуррентная формула (6) «генерирует» следующую последовательность обобщенных чисел Фибоначчи:

a, b, pb + qa, p(pb + qa) + qb, р[p(pb + qa) + qb], q(pb + qa),... (7)

Рассмотрим примеры обобщенных в смысле (6) чисел Фибоначчи. Если принять р=2 и q=1 и начать с двух единиц, то есть принять a = b = 1, то ряд (7) обобщенных чисел Фибоначчи принимает следующий вид:

1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 140,... (8)

Если принять р=3 и q=1 и начать с двух единиц, то ряд (7) принимает вид:

1, 1, 4, 13, 43, 142, 469,... (9)

Из (6) мы получаем следующую формулу, подобную (3):

(10)

Если теперь обозначить через x предел отношения соседних обобщенных чисел Фибоначчи, то есть,

,

то в пределе выражение (10) может быть представлено в виде:

(11)

откуда вытекает квадратное уравнение:

x2pxq = 0, (12)

которое имеет следующее положительное решение:

(13)

Это означает, что

= (14)

3. Семейство «металлических пропорций»

Выше, рассматривая рекуррентное соотношение (6), мы вывели квадратное уравнение (12). Вера Шпинадель доказала, что это уравнение задает семейство «квадратичных иррациональностей», то есть положительных иррациональных чисел, которые являются положительными решениями уравнения (12), вычисляемыми согласно (13). Все эти квадратичные иррациональности и образуют «Семейство Металлических Пропорций» (СМП) Веры Шпинадель. Все квадратичные иррациональности, входящие в МПП, обозначим через spq, где p и q принимают значения из множества натуральных чисел.

Рассмотрим частные случаи уравнения (12). Начнем с уравнений типа (12), для которых q=1, то есть рассмотрим уравнение:

x2px – 1 = 0. (15)

Очень просто найти значения СМП, удовлетворяющих уравнению (15), представляя их в виде непрерывных дробей. Ясно, что при p = 1, мы получаем уравнение (5), которое задает золотую пропорцию.

Используя (4), мы можем представить золотую пропорцию в виде следующей периодической непрерывной дроби:

(16)

В математике для изображения непрерывной дроби (16) используется следующая компактная запись:

t = [1,1,1,...] = [`1 ] (17)

Ясно, что выражение (17) является компактной записью золотой пропорции, то есть,

= [`1 ]. (18)

А теперь примем р=2 в уравнении (15), то есть рассмотрим следующее уравнение:

x2 — 2x – 1 = 0. (19)

Тогда в соответствии с введенным выше определением мы можем обозначить положительный корень уравнения (19) как s21. Используя (11), мы можем представить решение уравнение (19) в виде:

(20)

Если теперь вместо x в правой части выражения (20) подставить его выражение, задаваемое (20), то получим следующее выражение:

(21)

Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим представление числа x =s21, в виде следующей периодической непрерывной дроби:

(22)

Число s21, задаваемое (22), Вера Шпинадель называет cеребряной пропорцией, подчеркивая тем самым ее связь с золотой пропорцией. По аналогии с (17) «серебряная пропорция» может быть представлена в следующем компактном виде:

s 21 = [2,2,2,...] = [`2 ] (23)

Используя выражение (13), легко вычислить значение «серебряной пропорции» s21, которая может быть представлена в виде:

= [` 2 ] (24)

Если принять p = 3, то уравнение (15) принимает вид:

x2 — 3x – 1 = 0. (25)

Это уравнение «порождает» бронзовую пропорцию s 31, которая может быть представлена в виде следующей периодической непрерывной дроби:

(26)

или

s 21 = [3,3,3,...] = [`3 ] (27)

Используя выражение (4.364), мы можем вычислить значение «бронзовой пропорции» s31, которая может быть представлена в виде:
= [
face="Symbol">`3] (28)

Для случаев p = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 мы можем найти следующие выражения для соответствующих «металлических пропорций»:

Ясно, что все «металлические пропорции» имеют общую форму представления в виде непрерывной дроби:

= [`n]. (29)

4. Другие типы «металлических пропорций»

Если теперь принять р=1 в уравнении (12), то мы получим следующее уравнение:

x2xq = 0, (30)

где q – натуральное число.

Положительные корни этого уравнения «порождают» новый класс «металлических пропорций», которые мы обозначим через s1q.

Заметим, что для случая q = 1 уравнение (30) сводится к уравнению (5), которое задает классическую золотую пропорцию. Если в уравнении (30) принять q = 2, то получим следующее квадратное уравнение:

x2x — 2 = 0, (31)

Корнем этого уравнения является число s12 = 2, которое Вера Шпинадель называет медной пропорцией. Используя традиционные обозначения для непрерывных дробей, «медную пропорцию» можно выразить виде:

s 12 = 2 = [2,`0]

Если принять q = 3 в уравнении (30), то получим следующее уравнение:

x2x — 3 = 0, (32)

которое приводит к «металлической пропорции»

, (33)

которую Вера Шпигель назвала никелевой пропорцией.

По аналогии можно найти следующие выражения для других «металлических пропорций» типа s1q:

Таким образом, все «металлические пропорции» типа s1q имеют общую форму представления в виде непрерывной дроби:


5. Свойство аддитивности «металлических пропорций»

Как известно, классическая золотая пропорция образует «золотую» геометрическую прогрессию

…{... t--n, t -(n-1), …, t -2, t-1,t0 = 1, t1, t2, …, tn-1, tn, …}. (34)

в которой каждый член связан двумя фундаментальными соотношениями. С одной стороны, согласно общему свойству геометрической прогрессии имеем:

tn = tґtn-1 (свойство мультипликативности) (35)

С другой стороны, основываясь на свойстве золотой пропорции, можно записать:

tn = tn-1 + tn-2 (свойство аддитивности). (36)

Считается, что именно эти свойства являются причиной широкого распространения золотой пропорции в живой природе.

Вера Шпинадель доказывает, что некоторые «металлические пропорции» обладают подобным свойством. Например, «серебряная пропорция» (для упрощения будем обозначать ее просто s) «порождает» «серебряную» геометрическую прогрессию

…{... s--n, s -(n-1), …, s -2, s-1, s 0 = 1, s1, s2, …, sn-1, sn …},, (37)

которая обладает как свойством мультипликатиности

sn = sґsn-1, (38)

так и свойством аддитивности, которое для данного случая основано на следующем рекуррентном соотношении

A(n+2) = 2 A(n+ 1) + A(n),

связывающем члены «серебряной» геометрической прогрессии (37).

Можно также доказать, что «бронзовая» геометрическая прогрессия также обладает как свойством мультипликативности, так и свойством аддитивности, основанном на следующем соотношении

B(n + 2) = 3 B(n + 1) + B(n),

связывающем члены «бронзовой» геометрической прогрессии.


6. Числа Писота (Pisot) и «металлические пропорции»

В своей работе [16] Вера Шпинадель обращает внимание на то, что ее «металлические пропорции» имеют непосредственное отношение к так называемым числам Писота, которые возникает при исследовании положительных корней алгебраических уравнений следующего типа:

xm = am-1xm-1 +... + a1x + a0 (ai – целые числа).

Примером числа Писота является золотая пропорция, которая является положительным корнем уравнения (5). Примером числа Писота являются также числовая константа q1=1,3244717957..., положительный корень алгебраического уравнения:

x3x—1=0 (38)

Заметим, что числовая константа q1 известна также под названием пластиковой константы.

Недавно было установлено, что следующие алгебраические уравнения, решением которых являются числа Писота, возникают в квазикристаллических структурах:

(39)
(40)
(41)

Заметим, что число Писота (золотая пропорция) (39) соответствует пентагональным или декоганальным квазирешеткам. Другое число Писота (серебряная пропорция) (40) соответствует случаю октагональной квазирешетки, а третье число Писота (41) соответствует случаю додекагональной квазирешетки. Ясно, что все «металлические пропорции», представления которых в виде непрерывных дробей являются периодическими, являются квадратными числами Писота, поскольку они являются положительными решениями квадратных уравнений типа (15).

Кроме того, положительные решения квадратных уравнений типа

x2px + 1 = 0 (42)

где pі 3, также являются числами Писота, которые могут быть представлены в виде периодической непрерывной дроби. Например, для уравнения

x2 — 3x + 1 = 0 (43)

его положительный корень имеет следующее представление в виде цепной дроби:

Приведенных примеров достаточно, чтобы убедиться в том, что «металлические пропорции» Веры Шпинадель имеют достаточно глубокие математические корни и имеют важные практические приложения, например, в кристаллографии.

7. «Металлические пропорции» в работах других авторов

Любопытно, что исследование квадратного уравнения (12) и вытекающих из них «квадратичных иррациональностей» привлекло внимание многих современных исследователей, которые пришли к этому уравнению, по-видимому, независимо от Веры Шпинадель и не зная о ее фундаментальных исследованиях в этой области. В этой связи необходимо упомянуть, прежде всего, о работах А.А. Татаренко [17-21] и Н.В. Косинова [22-23].

В работах Татаренко [17-21] «металлические пропорции» названы Tm-пропорциями. При этом Tm-пропорциям отводится едва ли главное место в гармонической структуре мироздания. В этом отношении весьма характерной является статья А.А. Татаренко «На пороге первого тысячелетия эры полигармонии мира», опубликованная в трудах Международной конференции «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве» [21]. В этой статье А.А. Татаренко утверждает следующее:

«Принципиально важных научных прорывов в знаниях о Золотом Сечении 1/F= 0,618... (ЗСФ) в многотысячной науке о Гармонии было два:

- открытие формулы деления отрезка в среднем и крайнем отношении – «... одного из двух сокровищ Геометрии» — носящей имя Пифагора,

- открытие в 1602 г. Иоганном Кеплером математической связи с ЗСФ чисел Фибоначчи (опубликованных ровно 400 лет назад в 1202 г.).

В 2002 г. – ровно 400 лет спустя – на 3-м РОССИЙСКОМ ФИЛОСОФСКОМ КОНГРЕССЕ в Ростове-на-Дону автор настоящих тезисов сделал доклад «В.И. Вернадский и «Принцип Tm» в эволюции Природы», в котором сообщил, что многовековая научная парадигма уникальности ЗСФ в части его инвариантности Ф-1/Ф = 1 является фундаментальной ошибкой:

- установлена в 1995 г. формула — азбучные корни квадратного трехчлена, генерирующая бесконечное множество иррациональных чисел, обладающих при целочисленных значениях m=0, 1, 2, 3,... замечательной инвариантностью Tm -1/Tm = m, из которой как частный случай при m=1 следуют формулы классических Золотой T1 =Ф – Пропорции (ЗПФ) и T-1 = T1 = 1/Ф — PCA

(T±1 — Гармонии),

- установлены также и формулы связанных с каждым из чисел Tm рекуррентных рядов чисел Am,n, Шm,n, и Сm,n, частным случаем которых при m=±1 являются рекуррентные ряды чисел Фибоначчи Un, Люка Ln и 5Un соответственно. Этим числам отвечают координаты точек, геометрическим местом которых являются графики Золотых гиперболических функций: синуса и косинуса».

Свою весьма экспрессивную статью [21] А.А. Татаренко заканчивает словами:

«И наконец, автор дает себе отчет, на какую Голгофу он восходит, замахиваясь на ОТКРЫТИЕ:

«Tm–ПРИНЦИП» — ВСЕМИРНЫЙ ЗАКОН ГАРМОНИИ. ВСЕ ВОСХОДИТ К ДОМИНАНТЕ T±2, T±2-ГАРМОНИЯ ЕСЬМ АЛЬФА И ОМЕГА».

Вот так – ни больше и не меньше, то есть «Tm –ПРИНЦИП»- это научное открытие. И его автором А.А. Татаренко считает, конечно, себя.

Если из исследований А.А. Татаренко извлечь, как говорится, «сухой остаток», то мы приходим к однозначному выводу: В основе Tmгармоний Татаренко лежит широко известное квадратное уравнение (12), то есть, «металлические пропорции» Веры Шпинадель и Tmгармонии А.А. Татаренко с математической точки зрения представляют собой одно и то же, то есть, они являются положительными решениями одного и того же квадратного уравнения (12), которые задаются формулой (13).

Кто же первым начал изучать необычные свойства решений (13) уравнения (12) – Вера Шпинадель или А.А. Татаренко? Как следует из приведенной выше цитаты из статьи Татаренко, к своим Tmгармониям Татаренко пришел к 1995 г. Возможно, что это именно так. Но никаких публикаций от 1995 г., подтверждающих этот факт, у Татаренко не имеется. Первая его публикация по Tmгармониям [17] появилась в 1999 г. В то же время первая публикация Веры Шпинадель [13] по «металлическим пропорциям» появилась в 1997 г.

Теперь перейдем к анализу работ в этой области еще одного автора – Н.В. Косинова [22-24], появившихся на Интернете совсем недавно. В аннотации к статье [22] утверждается следующее:

«Выявлен большой класс чисел, которые имеют свойства, присущие золотой пропорции (Ф=1,618…). Эти числа являются константами целочисленных последовательностей, члены которых заданы рекуррентными соотношениями a(n)=±ka(n–1)±a(n–2). Предельное значение отношений соседних членов в таких последовательностях порождает целое семейство золотых констант, имеющих свойства золотой пропорции. К выявленному классу последовательностей принадлежат последовательности Фибоначчи и Люка. У найденных новых последовательностей открыты такие же законы и свойства, какими обладают числа Фибоначчи и числа Люка».

Дальше можно и не читать. «Сухой остаток» статьи Косинова состоит в исследовании «целочисленных последовательностей, члены которых заданы рекуррентными соотношениями a(n)=±ka(n–1)±a(n–2)». Но это рекуррентное соотношение, которое привело Косинова к новым «золотым» константам, ничем принципиально не отличается от рекуррентного соотношения (6) для обобщенных чисел Фибоначчи, из которого Вера Шпинадель «вывела» свои «металлические пропорции». Из этого сопоставления можно сделать заключение, что между «золотыми» константами Косинова и «металлическими пропорциями» Веры Шпинадель нет принципиального различия, то есть – это одно и то же с математической точки зрения.

В статье Косинова [22] приводятся две любопытные таблицы (Табл. 1 и Табл.2), в которых задаются значение новых «золотых» констант с именами авторов, которые их открыли. Из этих таблиц следует, что основная масса «золотых» констант открыта Н.В. Косиновым. В связи с тем, что в статье Н.В. Косинова нет ссылок ни на работы Веры Шпинадель, ни на работы А.А. Татаренко, которые были опубликованы раньше, то Таблицы 1 и 2 вызывают большие сомнения в части, касающейся авторства приведенных в них «золотых» констант.

А теперь прокомментируем книгу полковника С.А. Ясинского «Прикладная «золотая» математика и ее приложения» [25]. Эта книга, возможно, является одной из первых, в которой проведен детальный анализ разнообразных обобщений золотой пропорции, включая золотые р-пропорции [1] и «металлические пропорции» Веры Шпинадель. Сам факт написания такой книги представителем вооруженных сил свидетельствует о том, что в российской армии есть мыслящие люди. К чести С.А. Ясинского, в его книге есть ссылка на работу Веры Шпинадель. Но, к сожалению, нет ссылок на работы Татаренко и Косинова. Ясинский широко пользуется понятиями серебряной, бронзовой, медной и никелевой пропорций, введенными в математику Верой Шпинадель.

В заключение этого параграфа следует привлечь внимание еще к одной интересной работе [26], представленной на Интернете. Оказывается, что на научном семинаре Отдела динамических систем Института математики и механики Российской академии наук (Уральское отделение) 24 ноября 1999 г. был заслушан доклад «Семейство Металлических Средних», подготовленный научным сотрудником Л.В. Каменевой на основе работ Веры Шпинадель. Это все к тому, что еще в 1999 г. Л.В. Каменева, которая вроде и не занималась специально «Теорией Золотого Сечения», разыскала работы Веры Шпинадель, изучила их и сделала доклад на научном семинаре.

8. Заключение

Из настоящей статьи можно сделать следующие выводы и дать следующие рекомендации:

1. В конце 20-го века сразу трое ученых Вера Шпинадель (Аргентина), А.А. Татаренко и Н.В. Косинов (Россия), исследуя квадратичное уравнение типа x2px — q = 0, которое является обобщением «уравнения золотой пропорции» x2x – 1 = 0, независимо друг от друга пришли к открытию одного и того же класса числовых констант, которые они назвали по-разному: «металлические средние» («metallic means») или «металличческие пропорции» (Вера Шпинадель), Tm-гармонии (А.А. Татаренко), новые «золотые» константы (Н.В. Косинов). Однако первая статья по новым числовым константам была опубликована в 1997 г. аргентинским математиком Верой Шпинадель [13], что, однако, не умаляет оригинальных исследований А.А. Татаренко и Н.В. Косинова.

2. Поскольку публикации аргентинского математика Веры Шпинадель по «металлическим пропорциям» являются пионерными в этой области, представляется целесообразным для корней квадратного уравнения x2pxq = 0 использовать в дальнейшем название, введенное Верой Шпинадель, а именно, «металлические средние» («metallic means») или «металлические пропорции». Для избегания путаницы и стандартизации обозначений рекомендовать для «металлических пропорций», являющихся решениями квадратного уравнения x2pxq = 0, использовать обозначение spq, где p и q принимают значения из множества натуральных чисел.

3. Рекомендовать ввести в широкое употребление следующие названия для отдельных типов «металлических пропорций», введенных Верой Шпинадель:

- «серебряная пропорция» - для названия числовой константы ;

- «бронзовая пропорция» - для обозначения числовой константы ;

- «медная пропорция» - для обозначения числовой константы s12 = 2;

- «никелевая пропорция» - для обозначения числовой константы .

4. Обратить внимание на следующие «металлические пропорции», введенные в работах Веры Шпинадель:

и

5. Отметить, что исследования Веры Шпинадель, А.А. Татаренко, Н.В. Косинова, С.А. Ясинского и других ученых по развитию теории «металлических пропорций» имеют фундаментальное значение для развития Математики Гармонии [27-32] как теоретической основы Науки о Гармонии систем.

Литература

  1. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское радио, 1977 / 288 c.
  2. Stakhov A.P. The Golden Section in the measurement theory. An International Journal «Computers & Mathematics with Applications», Volume 17, No 4-6, 1989, 613-638.
  3. Стахов A.П. Коды золотой пропорции, Москва, Радио и связь, 1984 / 152 c.
  4. Bergman, G. A. A number system with an irrational base. USA, Mathematics Magazine, 1957, No.31, p. 98-119.
  5. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск, Наука и техника, 1984 / 264 c.
  6. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Киев, Доклады Академии наук Украины, 1993, том 208, № 7, с. 9-14.
  7. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов, Изд-во «Свит», 1994 / 204 c.
  8. Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function — Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 23, No.2, р. 379-389.
  9. Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar — Chaos, Solitons & Fractals Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 26, No.3, р. 677-684.
  10. Stakhov A.P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix, Киев, Доклады Академии наук Украины, 1999, No 9, с. 46-49.
  11. Stakhov A., Rozin B. The «Golden» Algebraic Equations — Chaos, Solitons & Fractals (2005, Vol 27, No 5, 1415-1421).
  12. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers — Chaos, Solitons & Fractals (2005, Vol 27, No 5, 1162-1177).
  13. Vera W. de Spinadel, On characterization of the onset to chaos. Chaos, Solitons and Fractals, vol. 8, Nr 10, pp. 1631-1643, 1997.
  14. Vera W. de Spinadel, From the Golden Mean to Chaos, Nueva Librerнa, 1998.
  15. Vera W. de Spinadel, The Metallic Means and design. In NEXUS II- Architecture and Mathematics. Ed.: Kim Williams, 1998.
  16. Vera W. de Spinadel, The metallic means family and multifractal spectra, Nonlinear Analysis, vol. 36, pp. 721-745, 1999.
  17. Татаренко А.А. Золотой Тm — канон антропокосмоса — гармония Золотых Тm –Гармоний Мира. Рериховский вестник Дона, №11, 1999
  18. Татаренко А А Золотые Тm — Гармонии и психология. Северо -Кавказский психологический вестник, РГУ, 2003
  19. Татаренко А А. Сборник статей автора. Рериховский вестник Дона, Спецвыпуск, посвященный Золотому Сечению, №17, 2003.
  20. Татаренко А А Сборник статей автора, Рериховский вестник Дона. Cпецвыпуск, посвященный Золотой Пан–Геометрии, №18, 2004.
  21. Татаренко А.А. На пороге первого тысячелетия эры полигармонии мира, Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого госудврственного аграрного университета, 2003.
  22. Косинов Н.В. Золотая пропорция, золотые константы и золотые теоремы (http://314159.ru/kosinov/kosinov29.htm).
  23. Косинов Н.В. Золотые инварианты гармонических последовательностей (http://314159.ru/kosinov/kosinov20.htm)
  24. Косинов Н.В. Гармонические последовательности (http://314159.ru/kosinov/kosinov21.htm)
  25. Ясинский С.А. Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи. Москва,Горячая линия –Телеком, 2004.
  26. Камнева Л.В. Семейство Металлических Средних (http://home.imm.uran.ru/DSD/99_11_24.html)
  27. Стахов О.П. Золотий переріз і наука про гармонію систем. Київ, Вісник Академії наук Української РСР, 1991, №12, с. 8-15.
  28. Stakhov, A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics, Applications of Fibonacci Numbers, Vol. 7, Kluwer Academic Publishers, 1998, 393-399.
  29. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии. Труды Международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и Золотого Сечения в природе, науке и искусстве», Винница, Изд-во Винницкого госудврственного аграрного университета, 2003.,
  30. Стахов A.П. Обобщенные Золотые Сечения и новый подход к геометрическому определению числа, Киев, Украинский математический журнал, 2004, Vol. 56, No 8, с. 1143-1150
  31. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its Applications in Mathematics, Science and Engineering. — Chaos, Solitons & Fractals, 2005, V. 26, No.2, р. 263-289.
  32. Stakhov A., Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section — Chaos, Solitons & Fractals (2005, V. 27, No 5, 1124-1146).

Стахов А.П. «Металлические Пропорции» Веры Шпинадель // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12532, 25.10.2005

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru

Warning: include(/home/trinita2/public_html/footer.php) [function.include]: failed to open stream: No such file or directory in /home/trinita2/public_html/rus/doc/0232/004a/02320029.htm on line 789

Warning: include() [function.include]: Failed opening '/home/trinita2/public_html/footer.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php53/usr/share/pear:/opt/alt/php53/usr/share/php') in /home/trinita2/public_html/rus/doc/0232/004a/02320029.htm on line 789