1.Предисловие

2.Древняя Греция и Рим

3.Средние века: V-XIII века

4.Возрождение: XIV-XVI века

5.Эпоха рационализма: XVII век

6.Эпоха просвещения: XVIII век

7.Новое время: ХIX век

8.Новейшее время: XX век

9.Заключение

10.Литература

Непосредственным поводом для написания этой книги послужил разговор с моим дачным соседом Васильевым Александром Ивановичем – профессиональным инженером-проектировщиком, который многие годы преподавал архитектурно-строительное дело в Военно-инженерной академии, а сейчас возглавляет строительно-проектировочную фирму. В ходе нашей беседы, посвященной вполне земным и насущным делам, он поинтересовался, чем в настоящее время я занимаюсь. Я ему рассказал о своем увлечении золотым сечением и числами Фибоначчи, об ассоциации «Золотое сечение» и прочих золотосеченских делах. Он ничуть не удивился, а со знанием дела включился в разговор, обнаруживая великолепное знакомство с «техническими деталями». Он мне рассказал, что у них, архитекторов-проектировщиков, гармонический антураж, в частности пропорционирование – некоторая традиция и некоторый объем знаний, прочно вошедший в учебный процесс и даже приобретший некоторый рутинный характер. Затем он на несколько секунд прервал наш разговор и принес свои настольные книги: «Принцип пропорции» И. Ш. Шевелева и «Методы архитектурной гармонии» Я. Д. Гликина. После этого он заговорил о Фидии и Витрувии, что меня озадачило и порадовало.

До этого разговора я был знаком с математическими аспектами гармонии по материалам двух конференций: конференции в Виннице в 2002 г. и онлайн конференции на страницах сайта «Академия тринитаризма» в 2009 г. Из этих материалов я узнал о компьютерах Фибоначчи, о фибоначчиевых матрицах генетического кода, о неевклидовых представлениях в архитектурной гармонии, о золотом сечении музыкального и вербального текстов и других приложениях, включая экзотические. К этому времени у меня за плечами был некоторый личный опыт, накопленный за небольшой временной интервал моих занятий золотосеченской проблематикой. Я понимал, что этого мало и необходимо повысить уровень своей компетенции в этой области. И решил это сделать путем написания очерков, посвященных различным этапам эволюции математико-гармонических представлений. Эта затея могла быть осуществлена только путем вживания в материал и изучения огромного объема литературы. В случае реализации этого плана я достигал трех целей: 1. Знакомил коллег с систематической историей математико-гармонических идей , 2. Расширял свою компетенцию в этой области. 3. Прослеживал становление междисциплинарной области, которую лидер Славянской группы международного клуба «Золотое сечение» А. П. Стахов предложил назвать «Математикой гармонии». А. П. Стахов эту идею поддержал.

В течение 2010 г. была написана серия очерков, которые были опубликованы на сайте «Академии тринитаризма». Эти очерки я решил собрать в единый текст. При этом были осуществлены согласовательные подгоночные действия, позволившие говорить о данной теме с единых позиций и в единых терминах. Свою задачу я видел в том, чтобы соединить на самом общем уровне математические формализмы в единое целое и проследить закономерности их развития и последующего слияния в единую теорию. Эти формализмы рождались на протяжении нескольких тысячелетий в рамках различных философских, эстетических, религиозных и математических представлений. Несмотря на это, единая линия может быть найдена. Если выразиться точнее, то может быть найден единый магистральный ствол, к которому ведут относительно самостоятельные ветви-линии.

Есть надежда, что книга привлечет внимание читателя, знакомого, пусть даже поверхностно, с золотым сечением, числами Фибоначчи и другими родственными математическими структурами и способствовать их осмыслению в рамках единой концепции.

В книге историческому анализу подверглись сведения, имеющие прямое отношение к тому, что сейчас может быть отнесено к семантическому пространству, стоящему за термином «Математика гармонии». Люди, творившие в течение тысячелетий фрагменты этой теории, едва ли могли предполагать, что они творили в этом пространстве. Это пространство – продукт современного ума, созидающего в системе современного знания и проецирующую систему этих знаний в прошлое. При этом разрозненная система представлений, рассеянных во времени и пространстве, насильственно втискивается в некоторую конструкцию, сложившуюся в голове исследователя или в коллективе исследователей-единомышленников. И все-таки надо признать, что такая конструкция по мере вживания в историю математико-гармонических идей претерпевала заметные изменения. Она и по сей день окончательно не сформировалась. Впрочем, это особого значения не имеет. Главное, что такая конструкция существует и что по мере исследования были замечены узлы и детали, играющие в ней важную роль, а некоторые сомнительные узлы и детали были временно отложены в сторону и переведены в режим ожидания своей дальнейшей участи.

В книге учитывались, конечно же, и различные концепции гармонии, которые порой к математике отношения не имеют, и надо быть очень изворотливым, чтобы это отношение увидеть. Эти концепции складывались в разное время в философии, религии, социальных науках, психологии в различных видах искусства и эстетике.

Свою умную и увлекательную книгу «Что такое математика?» американские ученые Х. О. Пойген и П. Х. Рихтер (Пойген, Рихтер, 2000) начинают так: «Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки». Именно с точки зрения этих трех противопоставлений я буду строить свое изложение.

Книга состоит из 7 очерков, отражающих состояние идей, которые могут быть проинтерпретированы как математико-гармонические. Каждый из очерков предваряется сонетом, посвященным выдающемуся мыслителю конкретной исторической эпохи. Это не просто украшение. Я попытался вместить в рамки этой твердой формы концентрированное представление о гармонии, характерное для данного периода, но преломленное в моем сознании через жанр, насыщенный мощным эстетическим потенциалом.

За основу предлагаемой истории я взял материал, содержащийся в двух капитальных изданиях: «История математики с древнейших времен до начала XIX века под ред. А. С. Юшкевича и «Истории эстетики» английских ученых Катарин Гилберт и Гельмута Куна. Остальные издания (их довольно много) привлекались в зависимости от специфики рассматриваемого периода.

Данная книга может рассматриваться как разведочная история математико-гармонических представлений. Поставленная задача не проста и амбициозна. В этой истории много спорного, противоречивого, запутанного. Я не мог быть одинаково компетентным в бесконечном списке научных направлений, но в процессе написания я многому научился и, надеюсь, еще узнаю много нового. А главное – научусь это критически осмысливать, оценивать и взвешивать на весах истории.

Книга написана благодаря идейной и моральной поддержке Алексея Петровича Стахова, который не давал мне расслабляться после написания очередного очерка. Стимулирующую роль сыграла также творческая атмосфера, царившая на международном конгрессе по математике гармонии, который состоялся в Одессе в октябре минувшего года. На конгрессе я познакомился с контактными и обаятельными людьми, которым предстояло стать героями этой или следующей книги. Я благодарен также философу и математику Эдуарду Максимовичу Сороко, который дал высокую оценку моим очеркам в мимолетном обмене мнениями на конгрессе.

формате PDF (1045Кб)