Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - для "чайников"

Стахов А.П.
Троичный принцип Брусенцова, система счисления Бергмана и «золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика
Oб авторе
Аннотация

В статье в популярной форме рассказывается о проектах «нетрадиционных» компьютеров, основанных на использовании систем счисления, отличных от двоичной: троичном компьютере «Сетунь», основанном на троичной симметричной системе счисления, «компьютере Фибоначчи», основанном на арифметике Фибоначчи, а также новых системах счисления, возникших в современной компьютерной науке, в частности, системе счисления Бергмана и кодах золотой пропорции. Основное внимание уделено троичной зеркально-симметричной системе счисления, которая может стать основой создания новых самоконтролирующихся компьютеров, основанных на «троичном принципе Брусенцова».


Содержание:

  1. О проектах нетрадиционных компьютеров
  2. Крупнейшее математическое открытие в истории математики
  3. Троичная симметричная система счисления
  4. Системы счисления с иррациональными основаниями
  5. Троичная зеркально-симметричная арифметика


1. О проектах «нетрадиционных» компьютеров

Троичный компьютер «Сетунь»

Хотя современная компьютерная наука и технология, казалось бы, давно уже четко определились в своих теоретических основаниях («Неймановские Принципы»: двоичная система счисления, булева логика, двоичный элемент памяти) и на этой основе сделала потрясающие успехи в своем развитии, тем не менее, поиски новых принципов построения компьютеров продолжаются. Авторы таких «нетрадиционных» подходов с упорством, достойным, казалось бы, другого применения, доказывают преимущества предложенных ими проектов и, как потом оказывается, во многих из этих проектах, действительно, существует рациональное зерно. Любопытно, что наибольшее количество «нетрадиционных» компьютерных проектов возникло в советской науке.

Еще на заре компьютерной эры талантливый советский инженер Николай Петрович Брусенцов создал компьютер «Сетунь», основанный на троичной системе счисления, хотя вся компьютерная наука и технология того периода уже сориентировались на «двоичное» представление информации.

Идея использования троичной системы счисления при создании компьютеров пришла к Николаю Брусенцову в период его работы в Московском университете, куда он был направлен в 1953 г. на работу после окончания радиотехнического факультета Московского энергетического инчтитута. Эта система счисления позволяла создать очень простые и надежные элементы, уменьшала их количество в машине в семь раз по сравнению с другими элементами. Существенно сокращались требования к мощности источника питания, к отбраковке сердечников и диодов, и, главное, появлялась возможность использовать натуральное кодирование чисел вместо применения прямого, обратного и дополнительного кодов чисел.

Первый экземпляр «Сетуни» (а машина была названа так по имени речки, протекавшей возле университета) был готов к концу 1958 г.

Постановлением Совмина СССР серийное производство «Сетуни» было поручено Казанскому заводу математических машин. Желания наладить крупносерийное производство у руководства завода не было. Причины: «Сетунь» была слишком дешевой машиной, а значит, невыгодной для завода, и тот факт, что она надежно и продуктивно работала во всех климатических зонах от Калининграда до Магадана и от Одессы до Якутска, причем без какого-либо обслуживания и по существу без запасных частей, в расчет не принимался. Успешность испытаний вынудили 30 ноября 1961 г. директора завода был подписать акт, положивший конец его стараниям похоронить неугодную машину.

Выпускали всего по 15—20 машин в год, а вскоре и от этого отказались. Всего казанский завод выпустил 50 ЭВМ «Сетунь», 30 из них работали в высших учебных заведениях СССР.


Брусенцов Николай Петрович

И даже после того, как согласно распоряжению администрации Московского университета первый образец этого уникального компьютера, представляющего сейчас огромный исторический интерес, был разрезан на части и в буквальном смысле выброшен на мусорную свалку, автор проекта продолжал и до сих пор продолжает настаивать на преимуществах «троичного принципа». И, как это не кажется парадоксальным, постепенно компьютерное сообщество все больше начинает осознавать правоту Николая Брусенцова, и многие компьютерные специалисты (в частности, известный американский ученый, почетный профессор Станфордского университета Дональд Кнут) склоняются к тому, что компьютеры будущего вполне могут быть «троичными» компьютерами.

Очень приятно, что многие работы Н.П. Брусенцова выставлены на сайте «Академии Тринитаризма» http://www.trinitas.ru/rus/doc/avtr/00/0150-00.htm и на этом же сайте можна познакомиться с биографией Брусенцова и драматической историей создания компьютера «Сетунь».

Компьютер Фибоначчи

Еще одной «нетрадиционной» компьютерной идеей, возникшей в советской науке, является проект так называемого «Компьютера Фибоначчи». Этот проект начал интенсивно развиваться в СССР после успешного выступления автора на объединенном заседании Компьютерного и Кибернетического обществ Австрии (Вена, март 1976 г.). Именно это выступление стало причиной широкого зарубежного патентования изобретений по «Компьютерам Фибоначчи» за рубежом. 65 зарубежных патентов, выданных государственными патентными ведомствами США, Японии, Англии, Франции, ФРГ, Канады и других стран, являются официальными юридическими документами, которые подтверждают приоритет советской компьютерной науки (и приоритет автора) в этом важном направлении.

Необходимо отметить, что направление развивалось весьма успешно сначала в Таганрогском радиотехническом институте (1971-1977 гг.), а затем в Винницком политехническом институте (1977-1995 гг.). Министерство общего машиностроения СССР выделило довольно значительное по тем временам финансирование (15 млн. рублей) на создание «компьютера Фибоначчи» и в Винницком политехническом институте был создан квалифицированный коллектив ученых и конструкторов для инженерной реализации «фибоначчиевых» проектов. Разработанный в середине 80-х годов 20-го века под руководством автора 18-разрядный саморректирующий аналого-цифровой преобразователь для сигналов звукового диапазона, основанный на «коде Фибоначчи», на тот момент считался одним из лучших АЦП подобного типа не только в СССР, но и за рубежом. Заложенные в его основу принципы автоматической коррекции ошибок сохраняют актуальность и до сих пор. Была также создана элементная база для проектирования самоконтролирующегося компьютера Фибоначчи.

Пик популярности данного направления пришелся на конец 80-х годов, когда СКТБ «Модуль» Винницкого политехнического института начало мелкосерийное производство «фибоначчиевых» АЦП и ЦАП, которые по своим техническим параметрам превышали мировой уровень и были использованы многими организациями Москвы, Ленинграда, Киева при создании высокоточных метрологических систем. В 1988 г. по инициативе известного немецкого кибернетика академика Кемпе автор был приглашен в Дрезденский технический университет в качестве «визитинг-порофессора» для чтения лекций по «компьютерам Фибоначчи» в университетах Дрездена, Берлина, Карлмарксштадта. Последовавшая в связи с этим публикация статьи «Вот вам и Фибоначчи!» в газете «Правда» (ноябрь 1988 г.) привлекла внимание советской научной общественности к развиваемому научному направлению и стало главной причиной специального заседания Президиума Украинской Академии наук, которое состоялось в июне 1989 г. по инциативе академика Б.Е. Патона. Статья автора по этому научному направлению, написанная по результатам его выступления в Академии наук Украины, была опубликована в академическом журнале «Вестник Академии наук Украины» и была признана лучшей статьей журнала по итогам 1990-го года.

Вcе эти реальные успехи (особенно уникальное по своим масштабам патентование изобретений по «компьютеру Фибоначчи» за рубежом) вызвавали огромное раздражение руководства Института кибернетики Академии наук Украины, потому что достижения в области патентования компьютерных изобретений Института кибернетики явно были скромнее достижений небольшого коллектива исследователей в Винницком политехническом институте. Несмотря на то, что научные исследования автора активно поддерживались ведущими специалистами Института кибернетики, среди которых прежде всего можна назвать докторов технических наук Б.Н. Малиновского, А.И. Кондалева, З.Л. Рабиновича (все они, кстати, были аспирантами С.А. Лебедева и отличались научной принципиальностью и высокой порядочностью), руководство Института кибернетики все же решило дать бой «компьютерам Фибоначчи». Рупором «антифибоначчизма» стал кибернетический журнал «Управляющие системы и машины». Именно в этом журнале по инициативе зам. главного редактора доктора наук Александра Палагина без какого-либо серьезного рецензироваения было опубликовано 2 абсурдные статьи одного «кибернетического» доктора, направленные против «компьютеров Фибоначчи» и автора научного направления. В этих статьях на автора был вылит «ушат грязи», автор был обвинен в некометентности, а научное направление по созданию «компьютеров Фибоначчи» было названо «порочным». Этими статьями сразу же воспользовались недруги автора в Винницком политехническом институте, который к тому моменту возглавил еще один «академик», к тому же, народный депутат печально известной «Верховной Рады». В результате автор вынужден был покинуть Винницкий политехнический институт и искать работу за рубежом (Ливия, 1995-1997 гг., Мозамбик — 1998-2000). В начале 2004 г. автор переехал в Канаду.

Более подробно с историей развития этого научного направления можна познакомится в статье автора «Компьютеры Фибоначчи и новая теория кодирования: история, теория, перспективы», опубликованной в электронном журнале «Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы» Таганрогского радиотехнического университета http://pitis.tsure.ru/files18/p5.pdf

Следует подчеркнуть, что теоретические работы в этом направлении никода не прекращались. Одной из новых компьютерных идей автора является так называемая «золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика, которая является развитием троичной симметричной арифметики, использованной Николаем Брусенцовым при создании компьютера «Сетунь».

В 2002 г. Международный журнал «The Computer Journal» (British Computer Society) опубликовал статью автора «Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic» (кстати, в публикации статьи на эту тему в журнале «Управляющие системы и машины» автору было отказано без каких-либо объяснений). Статья вызвала большой интерес западной науки. И первым ученым, кто прислал автору восторженное письмо, касающееся новой компьютерной арифметики, был известный американский ученый Дональд Кнут, почетный профессор Стэнфордского университета и автор всемирно известной книги «Искусство программирования». Автор также благодарен Николаю Петровичу Брусенцову за высокую оценку новой троичной системы счисления. Поскольку интерес к «троичным компьютерам» в современнной науке не только не уменьшается, а возрастает (особенно в связи с изобретением троичных электронных схем), автор считает своим приятным долгом ознакомить русскоязычного читателя с новой системой счисления, которая вызвала восторг у самого Дональда Кнута. И, возможно, эта статья станет толчком для новых компьютерных проектов.

2. Крупнейшее математическое открытие в истории математики

Каждый человек на земном шаре, окончивший хотя бы четыре класса начальной или «церковно-приходской» школы, знает, по меньшей мере, две полезные вещи: он умеет писать и читать и использовать десятичную систему счисления для выполнения простейших арифметических операций. И эта система кажется нам настолько простой и элементарной, что многие из нас с большим недоверием отнесутся к утверждению, что позиционный принцип представления чисел и основанная на нем десятичная система являются крупнейшими математическими открытиями за всю историю математики. И чтобы убедить читателя в этом, обратимся к мнению «авторитетов».

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), французский физик и математик, член Парижской академии наук, почетный иностранный член Петербургской академии наук:

«Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

Лаплас Пьер Симон (1749-1827)

М.В. Остроградский (1801-1862), русский математик, член Петербургской академии наук и многих иностранных академий:

«Нам кажется, что после изобретения письменности самым большим открытием было использование так называемой десятичной системы счисления. Мы хотим сказать, что соглашение, с помощью которого мы можем выразить все полезные числа двенадцатью словами и их окончаниями, является одним из самых замечательных созданий человеческого гения …»

Остроградский, Михаил Васильевич (1801 — 1861),


Жюль Таннери (1848-1910), французский математик, член Парижской академии наук:

«Что касается до нынешней системы письменной нумерации, в которой употребляется девять значащих цифр и ноль, и относительное значение цифр определяется особым правилом, то эта система была введена в Индии в эпоху, которая не определена точно, но, по-видимому, после христианской эры. Изобретение этой системы есть одно из самых важных событий в истории науки, и несмотря на привычку пользоваться десятичной нумерацией, мы не можем не изумляться чудной простоте ее механизма».


3. Троичная симметричная система счисления

Так называемые «симметричные системы счисления» являются дальнейшим развитием идеи позиционного представления чисел. Основная особенность таких систем состоит в использовании отрицательных и положительных цифр для представления чисел. Простейшей из них является «троичная симметричная система счисления». Напомним, что в этой системе счисления в качестве основания используется число 3, а в качестве цифр – троичные цифры 1, 0 и 1 = -1.

В чем же основные преимущества троичной симметричной системы счисления, которые и стали причиной использования этой системы в компьютере «Сетунь»? Блестящий ответ на этот вопрос дает сам Брусенцов в статье «Преимущества троичной системы счисления», выставленной на Интернете http://5kr.mosuzedu.ru/darkblue04/brus.htm

По мнению Брусенцова, главное преимущество троичного представления чисел перед принятым в современных компьютерах двоичным представлением состоит в том, что с тремя цифрами возможен натуральный код чисел со знаком, а с двумя невозможен. Несовершенство двоичной арифметики и реализующих ее цифровых машин обусловлено именно тем, что двоичным кодом естественно представимы либо только неотрицательные числа, либо только неположительные, а для представления всей необходимой для арифметики совокупности — положительных, отрицательных и нуля — приходится пользоваться искусственными приемами типа обратного или дополнительного кодов, системой с отрицательным основанием или с цифрами +1, -1 и другими ухищрениями. В троичном коде с цифрами +1, 0, 1 имеет место естественное представление чисел со знаком (так называемая симметричная, уравновешенная или сбалансированная система), и «двоичных» проблем, не имеющих удовлетворительного решения, просто нет. Это преимущество присуще всякой «симметричной» системе с нечетным числом цифр, но троичная система самая простая из них и доступна для технической реализации. Арифметические операции в троичной симметричной системе практически не сложнее двоичных, а если учесть, что в случае чисел со знаком двоичная арифметика использует искусственные коды, то окажется, что троичная даже проще. Операция сложения всякой цифры с нулем дает в результате эту же цифру. Сложение +1 с -1 дает нуль. И только сумма двух положительных единиц (+1) или двух отрицательных единиц (-1) формируется путем переноса в следующий разряд цифры того же знака, что и слагаемые, и установки в текущем разряде цифры противоположного знака.

Операция умножения еще проще: умножение на нуль дает нуль, умножение на 1 повторяет множимое, умножение на -1 инвертирует множимое (заменяет 1 на -1, а -1 на 1). Инвертирование есть операция изменения знака числа. Следует учесть, что комбинационный троичный сумматор осуществляет сложение чисел со знаком, а вычитание выполняется им при инвертировании одного из слагаемых. Соответственно троичный счетчик автоматически является реверсивным.

4. Системы счисления с иррациональными основаниями

Система счисления Бергмана

В 1957 г. американский математик Джордж Бергман опубликовал статью «A number system with an irrational base». В этой статье автор предложил весьма необычное расширение понятия позиционной системы счисления. Он предложил использовать в качестве основания системы счисления знаменитая золотая пропорция t = , которая обладает весьма любопытными математическими свойствами. В частности, если золотую пропорцию возвести в n-ю степень, то есть получить число t n, то она может быть выражена в виде суммы двух предыдущих степеней, то есть,

t n = t n-1 + t n-2,

где степень n принимает значение из множества целых чисел {0, ±1, ±2, ±3, …}. Если теперь использовать последовательность чисел t n {n=0, ±1, ±2, ±3, …} в качестве «весов разрядов» некоторой двоичной системы счисления, использующей двоичные цифры 0 и 1, то мы получим «двоичную» систему счисления с иррациональным основанием t = , которая имеет следующее математическое выражение:

где А – произвольное действительное число, ai – двоичные цифры, 0 или 1, i = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …, t i вес i-й цифры в системе счисления Бергмана, t — основание системы счисления.

На первый взгляд кажется, что «система Бергмана» не представляет собой ничего особенного по сравнению с традиционным позиционным представлением, но это далеко не так. Вся суть состоит именно в том, что основанием системы счисления является золотая пропорция t = , что порождает ряд весьма интересных математических свойств данной системы. Система счисления Бергмана является «избыточной», что может быть эффективно использовано для ряда практических приложений (контроль арифметических операций, коррекция ошибок в аналого-цифровых преобразователях, самосинхронизация кодовых последовательностей при передаче по каналу связи и др.).

Американский математик Джордж Бергман

Любопытно отметить, что к своему математическому открытию Джордж Бергман пришел в весьма юном возрасте, когда ему было всего лишь 12 лет! Несмотря на молодость автора, его статья была опубликована в весьма престижном американском математическом журнале «Mathematics Magazine» и по этому поводу широко известный публицистический журнал «Times» даже взял интервью у юного математического дарования Америки. В настоящее время Джордж Бергман работает профессором кафедры математики University of California (USA). Он является соавтором двух математических книг «An Invitation to General Algebra and Universal Constructions» (1998) и «Co-groups and Co-rings in Categories of Associative Rings» (1996), а также автором многих статей в области дискретной математики. Сейчас трудно сказать: имеют ли математические работы Бергмана большее значение, чем его оригинальная система счисления, которую он изобрел в юном возрасте. Несомненно одно. Имя американского математика Джорджа Бергмана широко известно в современной науке прежде всего благодаря его уникальной системе позиционного представления чисел.

Коды Золотой Пропорции

Свое дальнейшее развитие система счисления Бергмана получила в книге автора «Коды Золотой Пропорции», опубликованной издательством «Радио и связь» (Москва) в 1984 г. В книге была исследованы системы счисления следующего вида:

,

где A – некоторое действительное число, t р — золотая р-пропорция, которая является основанием новой системы счисления, ai – двоичная цифра i-го разряда, i = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …, р – заданное целое число, которое может принмать значение 0, 1, 2, 3,....

Более подробно с понятием «золотой р-пропорции» можно познакомиться в статье автора «Сакральная Геометрия и Математика Гармонии», выставленной на сайте «Академия Тринитаризма» http://trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm

Эта формула задает новый класс позиционных представлений чисел, названных автором «Кодами Золотой Пропорции». Заметим, что приведенная выше формула задает бесконечное число новых двоичных представлений действительных чисел, так как каждому р соответствует свое двоичное представление. В частности, при р=0 «код золотой пропорции» сводится к классическому двоичному представлению, лежащему в основе современных компьютеров, а при р=1 – к системе счисления Бергмана. Заметим также, что, за исключением случая р=0 (классическая двоичная система счисления), все остальные системы счисления этого типа являются системами счисления с иррациональными основаниями. Это порождает некоторые необычные математические свойства «кодов золотой пропорции» и системы счисления Бергмана. Например, доказано, что представление натуральных чисел в любом «коде золотой пропорции» и системе Бергмана всегда является конечным, то есть любое натуральное число всегда представляется в виде конечной суммы степеней золотой р-пропорции! Например, для случая р=1 (система счисления Бергмана) имеют место следующие представления для начального отрезка натуральных чисел:

1 = 1,0; 2 = 10,01; 3 = 100,01; 4 = 101,01; 5 = 1000,1001; 6 = 1010,0001; 7 = 10000,0001

и т.д.

Все эти двоичные коды представляют собой ни что иное, как сокращенные изображения некоторых сумм степеней «золотой пропорции». Например, кодовое представление числа 5 = 1000,1001 в системе счисления Бергмана представляет собой ни что иное, как сокращенное изображение следующей суммы:

5 = 1000,1001 = t 3 + t -1 + t -4.


Книга «Коды Золотой Пропорции» стала стала своебразным научным бестселлером советской науки, тираж в 10 000 экземпляров разошелся в течении одной недели (!), а знаменитый научно-популярный журнал «Техника – Молодежи» посвятил этой книге один из своих номеров (№7, 1985 г.). в котором опубликовал статью автора «Коды Золотой Пропорции, или Системы счисления для ЭВМ будущего?», и при этом разместил весьма красочную информацию об этой книге на задней обложке номера.

Увеличить >>>
Увеличить >>>
Увеличить >>>

Книга «Коды Золотой Пропорции» (1984) и журнал «Техника – Молодежи» (№7, 1985), посвященный этой книге

Существенно подчеркнуть, что система счисления Бергмана и «коды золотой пропорции» переворачивают наши традиционные представления о позиционных системах счисления, более того – традиционное соотношение между числами рациональными и иррациональными. В «кодах золотой пропорции» основанием, то есть началом счисления, являются некоторые иррациональные числа (типа «золотой р-пропорции» t р). С помощью таких представлений, частным случаем которых является система счисления Бергмана, можно представлять все другие числа, включая натуральные, дробные и иррациональные числа. И поэтому с достаточной смлостью можна утверждать, что система счисления Бергмана и «коды золотой пропорции», возможно, являются наиболее революционным открытием в теории позиционных систем счисления после изобретения вавилонянами позиционного принципа представления чисел и открытия индусами десятичной системы счисления.

5. Троичная зеркально-симметричная арифметика

Зеркально-симметричное представление целых чисел

Новая троичная аитфметика, изобретенная втором, является оригинальным синтезом троичной симметричной системы счисления, которую использовал Николай Брусенцов в своем компьютере «Сетунь», и системы счисления Бергмана. Для пояснения сути нового троичного способа представления чисел и новой троичной арифметики рассмотрим бесконечную последовательность четных степеней золотой пропорции:

t 6, t 4, t 2, t 0, t -2, t -4, t -6, …,

где t = — золотая пропорция.

Ясно, что указанная последовательность представляет собой геометрическую прогрессию с основанием .

Эту последовательность мы будем использовать в качестве весов разрядов для позиционного «троичного» представления чисел, используя троичные цифры 1, 0 и 1 .

Из теории золотого сечения известно следующее интересное тождество, связывающее члены рассматриваемой последовательности:

t 2n + t 2n = t 2(n+1)t 2n + t 2(n -1),

то есть сумма двух одинаковых четных (2n-х) степеней золотой пропорции равна алгебраической сумме трех четных степеней золотой пропорции, а именно 2(n+1)-й степени, взятой со знаком «плюс», 2n-й степнени, взятой со знаком «минус», и 2(n-1)-й степени, взятой со знаком «плюс». На языке «троичных» цифр 1, 0 и ` 1 указанное тождество имеет следующую кодовую интерпретацию:

1 + 1 = 1 1 1.


Это выражение задает правило сложения положительных единиц в новой системе счисления. Это правило гласит, что при сложении положительных единиц необходимо записать отрицательную единицу 1 в текущий разряд промежуточной суммы и сформировать симметрично относительно текущего разряда две положительные единицы, которые являются переносами в соседние (слева и справа) разряды.

Ясно, что не существует никаких проблем по аналогии записать правило сложения отрицательных единиц:

1 +1 = 1 1 1.

К указанным выше правилам добавим еще четыре правила, которые полностью совпадают с аналогичными правилами сложения в троичной симметричной системе счисления:

0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 0.

В результате получается следующая таблица сложения чисел в новой системе счисления. Эта таблица задает правило сложения двух одноименных троичных разрядов ak + bk.

Таблица зеркально-симметричного сложения

bk ak

1

0

1

1

111

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1 1 1


Теперь используем эту таблицу для «конструирования» изображений натуральных чисел в троичной системе счисления, в которой весами разрядов являются четные степени золотой пропорции.

Поскольку 1 = t 0, то число 1 в новой системе счисления мы представим с помощью следующей записи: 1 = 1,0. Заметим, что запятая, стоящая после 1, означает, что 1 относится к нулевому разряду.

Для получения записи числа 2 используем указанное выше правило сложения двух положительных единиц. В соответствии с этим правилом число 2 можно представить в виде следующей записи: 2 = 11,1. Что означает эта запись? Она означает, что число 2 может быть выражено в виде суммы трех четных степеней золотой пропорции: 2 = t 2t 0 + t -2. В этом легко убедиться, если вспомнить, что t 2 = t + 1, t -2 = 1 — t -1, а t -1 = t — 1.

Добавляя положительную единицу к нулевому разряду кодовой записи числа 2, получим «троичную» запись числа 3 = 10,1. Эта запись означает ни что иное, как сокращенную цифровую запись следующего выражения: 3 = t 2 + t -2.

Ясно, что число 4 имеет следующую цифровую запись: 4 = 11,1, что является цифровой записью следующей суммы: 4 = t 2 + t 0 + t -2.

Для получения цифровой записи числа 5 добавим 1 к нулевому разряду числа 4. В результате этого в соответствии с рассмотренным выше правилом сложения положительных единиц на первом шаге сложения в нулевом разряде промежуточной суммы записывается отрицательная единица 1, а из нулевого разряда формируются переносы двух положительных единиц в соседние разряды справа и слева от нулевого разряда. На следующем шаге сложения в соответствием с тем же правилом в соседних разрядах справа и слева от нулевого записываются отрицательные единицы 1 и из них возникают переносы положительных единиц в соседние разряды. Поскольку при этом в нулевой разряд приходят два переноса положительных единиц (от разрядов справа и слева), то после их суммирования с отрицательной единицей, которую мы записали в нулевой разряд на первом этапе сложения, в нулевом разряде будет записана положительная единица (1 + 1 + 1 = 1). В конечном итоге мы получим следующее изображение числа 5 = 11 1,1 1.

Продолжая эти рассуждения, мы получим изображения всех натуральных чисел, в частности: 6 = 1 0 1, 0 1; 7 = 100,01; 8 = 101,01; 9 = 111, 11; 10 = 110,11 и т.д.

Таким образом, в результате проведенных рассуждений мы пришли к следующему позиционному представлению целых чисел:

,

где ci троичные цифры 1 , 0, 1; t 2i вес i-го разряда.

Что же является основанием данной системы счисления? Нетрудно догадаться, что основанием системы в данном случае является иррациональное число, равное квадрату золотой пропорции » 2,618. Таким образом, данная система счисления также относится к классу систем счисления с иррациональными основаниями.


Принцип зеркальной симметрии

А теперь еще раз внимательно проанализируем «троичные» цифровые записи натуральных чисел 1, 2, 3, …, 10 в рассматриваемрой системе счисления. Мы видим, что цифровой троичный код любого числа нулевым разрядом разбивается на две части: левую и правую. При этом левая часть числа является зеркально-симметричным отображением правой части числа относительно нулевого разряда! Это неожиданное свойство цифровых кодов целых чисел автор назвал свойством «зеркальной симметрии», а саму систему счисления «зеркально-симметричной». Заметим, что это свойство справедливо только для цифровых кодов целых чисел.

Очень важным является то, что, если в цифровом троичном коде числа N все положительные единицы заменить отрицательными, а отрицательные – положительными, то мы приходим к троичному коду числа «-N». Кроме того, информация о знаке числа, представляемого некоторым троичным кодом, содержится в старшем разряде троичного кода, то есть число является положительным, если в старшем значащем разряде его троичной цифровой записи стоит положительная единица 1, или отрицательным, если в старшем значащем разряде стоит отрицательная единица 1 .


Зеркально-симметричное сложение

Для сложения чисел в новой системе счисления будем использовать рассмотренную выше таблицу зеркально-симметричного сложения. В качестве примера рассмотрим сложение двух чисел 5 + 10 в троичной зеркально — симметричной системе счисления:

Заметим, что знак « обозначает процесс распространения переноса.

Важно подчеркнуть, что результат сложения (число 15) представлен в «зеркально — симметричной форме»!

Как было отмечено выше, важное преимущество троичной зеркально-симметричной системы счисления состоит в возможности суммирования всех целых чисел (положительных и отрицательных) в прямом коде, то есть без использования понятий инверсного и дополнительного кодов. В качестве примера рассмотрим сложение отрицательного числа (-24) с положительным числом 15:

Важно подчеркнуть, что результат сложения (число -9) представлен в «зеркально-симметричной форме»!

Зеркально-симметричное вычитание

Вычитание двух зеркально-симметричных чисел N1 - N2 сводится к зеркально-симметричному сложению, если мы представим их разность в следующей форме:

N1 - N2 = N1+ (- N2).

Как следует из этого выражения, перед вычитанием необходимо взять троичную инверсию от числа N2 и затем выполнить зеркально-симметричное сложение.


Зеркально-симметричное умножение

В основе зеркально-симметричного умножения лежит следующее тривиальное тождество, связывающее степени золотой пропорции:

t 2n ґ t 2m = t 2(n+m).

Правило «зеркально-симметричного умножения» задается следующей таблицей.




Таблица зеркально-симметричного умножения


bk ak

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1


Умножение выполняется в прямом коде. Общий алгоритм умножения двух зеркально-симметричных чисел сводится к формированию частичных произведений в соответствии с «таблицей зеркально-симметричного умножения» и их сложению в соответствии с «таблицей зеркально-симметричного сложения». В качестве примера умножим отрицательное число — 6 = 1 0 1, 0 1 на положительное число 2 = 1 1 , 1:

Результат умножения в рассматриваемом примере формируется как сумма трех частичных произведений. Первое частичное произведение 1 0, 1 0 1 есть результат умножения зеркально-симметричного числа — 6 = ` 1 0 1, 0 1 на младшую положительную единицу зеркально-симметричного числа 2 =1 1 ,1, второе частичное произведение 10 1 , 0 1 есть результат умножения того же самого числа — 6 = ` 1 0 1, 0 1 на среднюю отрицательную единицу числа 2=1` 1, 1 и, наконец, третье частичное произведение 1 0 1 0, 1 есть результат умножения того же самого числа — 6 = ` 1 0 1, 0 1 на старшую положительную единицу числа 2 = 1` 1, 1.

Заметим что произведение -12 =` 1 1 0 1, 0 1 1 сохраняет свойство «зеркальной симметрии». Так как старшая цифра произведения является отрицательной единицей, отсюда вытекает, что произведение является отрицательным числом.


Зеркально-симметричное деление

Зеркально-симметричное деление выполняется в соответствии с правилами деления в классической троичной симметричной системе счисления. Общий алгоритм троичного зеркально-симметричного деления сводится к последовательному вычитанию из делимого сдвинутого делителя, умноженного на очередную троичную цифру промежуточного частного.


Основное преимущество троичной зеркально-симметричной системы счисления

Самое важное преимущество «зеркально-симметричной арифметики» состоит в том, что свойство «зеркальной симметрии» является «инвариантом» относительно всех арифметических операций над целыми числами, то есть результаты сложения, вычитания, умножения и даже деления всегда представляются в зеркально-симметричной форме. А это означает, что найден новый универсальный способ контроля всех арифметических операций в компьютере, основанный на свойства зеркальной симметрии троичных представлений. Напомним, что это свойство является справедливым только для случая, когда исходные числа и результаты арифметических операций являются целыми числами.

Автор пассматривает создание «троичной зеркально-симметричной арифметики» своим высшим достижением в области теории систем счисления. Эта система счисления возникла как результат многолетних поисков более эффективных путей построения компьютеров. Новая система счисления основана на «троичном» представлении и сохраняет все основные преимущества классической «троичной» симметричной системы счисления, использованной Н.П. Брусенцовым при создании компьютера «Сетунь». Но ее основным достоинством по сравнению с классической симметричной системой счисления является уникальный способ контроля всех основных преобразований информации в компьютере. Этот способ контроля вполне может быть использован для создания самоконтролирующихся процессоров и компьютеров. Поэтому автор считает, что вопрос разработки самконтолирующихся и отказоустойчивых троичных «зеркально-симметричных компьютеров» в развитие «троичных» компьютеров Брусенцова может оказаться делом не такого уж далекого будущего, если учесть, что на современном этапе проблема «трехзначной электроники» считается уже решенной. И если это случится, то это будет еще одним веским доказательством фундаментальности «Принципа Тринитаризма» в современной науке!


Стахов А.П. Троичный принцип Брусенцова, система счисления Бергмана и «золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12355, 15.08.2005

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru