Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Смелов М.В.
Электромагнитные солитоны вакуума.
Часть 1. Расслоенное пространство электромагнитных солитонов


Oб авторе
ЧАСТЬ 1. РАССЛОЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СОЛИТОНОВ
В работе приводятся результаты теоретического исследования топологической структуры электромагнитного солитона (ЭМ-солитонов) или ему конформноподобного электрона-солитона. Электромагнитный солитон представляет собой систему трёх нелинейно связанных полей: поля натяжения вакуума в виде электромагнитного поля Максвелла, поля кривизны Римана-Эйнштейна в форме гравитационно-инерционного поля Ньютона, и поля крутильного сдвига вакуума в виде фермионного (нейтринного) поля Дирака.
В качестве модельных уравнений рассматривались следующие две почти эквивалентные системы уравнений. Первая система — состоит из уравнения Дирака и уравнения Максвелла (ДМ) [1]:

          [g (p — eA) — m]y = 0
          y - [g (p + eA) + m] = 0
          A = e Ч y Ч g Ч y,
(1)
где g = gm = (gо, g _) — четырёхрядные спинматрицы Дирака,
y — четырёхкомпонентный спинор,
A = (Ao, A-) — векторный потенциал электромагнитного поля в вакууме,
e -- заряд электрона,
m -- масса электрона,
— оператор Даламбера,
m = 0, 1, 2, 3 -- индекс псевдоевклидова пространства-времени,
gp = (i (h/2p)gоd/cdt — i(h/2p)g-С) -- релятивистский оператор импульса,
с -- скорость света в вакууме.

Другая система — следует из (1) в квазиклассическом пределе (с точностью до 1/с) в форме уравнений Максвелла-Блоха-Бломберга-Ландау (МББЛ) [2]:

          dE/dt = rotH
          dB/dt = —rotE
          divE = 0
          divB = 0
          dM/dt = —b(M ґ H)
          B = H + 4pM,
(2)
при этом
Е = -dA- dtСAо — вектор электрической напряжённости поля Максвелла,
B = rot A- -- вектор индукции магнитного поля,
M — вектор спиновой намагниченности гиротропной среды (определяется оператором спиновой плотности из уравнения Дирака (1)),
H — вектор напряжённости магнитного поля,
b -- гиромагнитное отношение.

В целом как система (1), так и (2) нелинейны относительно электромагнитного поля Максвелла и спиновой плотности M (аналогично для волновой функции y). Например система (1) относительно y приводится к солитонному уравнению в форме кубического уравнения Клейна-Гордона (КУКГ) [3], а (2) приводится к нелинейному уравнению Шрёдингера (НУШ) [4] для переменной плотности спинов (СВЧ-намагниченности). Причём система (1) относительно потенциала А во втором продолжении (после двухкратного дифференциирования в топологической теории джетов) имеет вид:

p(p(A))+ g2/2 +2)e2ЧA2 Ч A + gЧe Чm ЧA—(3m2/2)ЧA = 0, (3)

оно приводится к форме солитонного уравнения Кадомцева-Погуце (УКП) [5] высокотемпературной плазмы. Система (2) относительно плоской волны магнитной напряжённости в солитоне, двигающегося вдоль оси Y приводится к виду:

d2yHx+ a2dy dtHx—a1 d2tHx —a3d4tHx+ a4d2t(Hx)3 = 0, (4)

которое представляет собой уравнение Лоренца-Друде солитона поляризации «нелинейной вакуумной цепочки». Эти солитонные уравнения можно трансформировать друг в друга преобразованием Хирото [6]. Уравнение (3) для стационарного случая (в системе отсчёта, покоящейся относительно солитона) имеет вид бигармонического уравнения относительно скалярного потенциала

DDAо — 4/(e Чa)2 Ч(Aо)2 Ч DAо+3/2 Ч (2p/l)2 Ч DAо = 0, (5)

где a = 137,0359 -- обратная постоянной тонкой структуры вакуума,
l -- комптоновская длина волны электрона.

Причём квадратичная нелинейность в (5) относительно Aо описывает эффект выпрямления собственных колебаний электрона (h с / l = m c2) с образованием нулевой частоты и фликер-шума. Кубическая нелинейность по Aо определяет самодействие поля, обуславливающее образование самого солитона, и, являясь бифуркацией Шустера [10] (в теории детерминированного хаоса), описывает термодинамический фазовый переход [9] первого рода электрона-солитона, с топологической точки зрения эта бифуркация типа «складки» ведёт к геометрии неориентированного пространства солитона в форме листа Мёбиуса.
Уравнение (3) решено аналитически в трёх характерных точках для радиальной компоненты Aо. Первая точка вблизи нуля радиуса r @ 0 характеризуется видом решения
Aо ~ Rо J1((3/2)1/2 r / rh); Rо = (e / re) / J1((3/2)1/2 re / rh),
где re, rh-- классический и комптоновский радиусы электрона соответственно,
J1 -- функция Бесселя.
Вторая точка рассматривалась при наибольшем значении Aо в области фазового перехода 1-го рода вблизи радиуса re:
Aо ~ AmaxЧ Io((5/3) r / rh), Io — функция Бесселя мнимого аргумента.
Третья точка в области r Ю бесконечность соответствует кулоновскому потенциалу
Aо = e / r.
Численное решение уравнения (5) в области r = [0 — 4rh) для Aо и плотности заряда Д приведено на рис. 1 , при этом на радиусе Re наблюдается фазовый переход 1-го рода в кристаллическое состояние жёсткой оболочки электрона, сформированной из кручения, кривизны и натяжения вакуума.
Прежде чем переходить к анализу алгебраической топологии следует отметить, что уравнения (1 — 5) записаны в локально плоской (псевдоевклидовой), инерциальной системе отсчёта (координат), которая может быть введена именно в точке в любой геометрии (топологии). Однако глобальная геометрия всего пространства ЭМ-солитона или электрона-солитона определяется путём интегрирования топологических уравнений структуры пространства. Эти уравнения строятся следующим образом. Сначала определяется группа Ли G в классе дифференциальных операторов первого порядка по методу Ли-Овсянникова [24] в первом продолжении G1 для уравнений системы (2), обозначенных L1, или во втором продолжении G2 для уравнений системы (1), обозначенных L2. Эта группа G Ы G1 или G Ы G2 находится из условия инвариантности указанных уравнений L1(j) = 0 или L2(j) = 0 относительно G1 или G2 соответственно, то есть
G1(L1(j)) = 0 или G2(L2(j)) = 0, (6)

где в L1 вектор поля j = (E, B, M) при mod(M) = (Mx2 + My2 + Mz2)1/2 = const имеет размерность 8. В топологической теории расслоенных пространств (джетов) уравнение (6) определяет расслоение как геометрического пространства солитона, так и его поля.
Далее везде рассматривается только система (2) с оператором L1 по своей алгебре эквивалентная системе (1).
Уравнение симметрии (6) тождественно следующему уравнению [11]:
[G, L1] = G Ч L1 — L1 Ч G = W Ч L1 или
L1 Ч G(j) = (G — W) Ч L1(j),
(7)

где W -- структурные «константы» группы Ли.
Применительно к симметрии солитона, являющегося решением уравнения L1(jо) = 0, в присоединённом представлении группы, когда G = W, из (7) следует

L1(G(jо)) = 0, то есть
G(jо) = jо.
(8)

Это означает, что на солитонных решениях jо уравнения L1(jо) = 0 группа G становится не только симметрией, но и группой автоморфизмов, которая порождает группу гомологии (когомологии) самой группы Ли G [13]. Гомология используется для вычисления топологических характеристик расслоенного пространства солитона.
Для системы (2) генераторы алгебры Ли имеют вид:
G = L + F + Y, при этом генераторы симметрии геометрического пространства солитона равны
L = LPЧLO = exp(di) Чexp(dimxm) Чd/dxi = Хi(x)Чd / dxi = xi(x) Ч d / dxi, (9)

генераторы симметрии только поля солитона —

F = f ie Ч j e Ч exp(d im x m + d i) Чd / dj i,

Y -- генераторы бесконечной группы общековариантных преобразований в данной работе не рассматриваются. Генераторы L определяют расслоение в базу и слой геометрического пространства солитона, генераторы F определяют расслоение в базу и слой поля солитона. Причём генераторы L и F изоморфны между собой, что является ещё одним специфически солитонным свойством, когда симметрия поля записывается в симметрию пространства и наоборот. Поэтому кроме автоморфизма поля (8) существует и автоморфизм пространства солитона, т.е. реализуется следующая топологическая схема изоморфизмов:
j(x) = G(j(x)) = F(j(x)) Ы L(j(x)) = G(x) = x,

таким образом не только солитонное поле j(x) является неподвижной точкой симметрии G, но и пространство x, которое создаёт вокруг себя солитон, есть неподвижная точка x = G(x) той же группы Ли, но тогда согласно левой части схемы имеем
j(x) = j(G(x)) = G(j(x)). (10)

Коммутативность в (10) означает, что солитонное решение выделяется из всего множества решений именно инвариантностью относительно группы G.
Исходно геометрия пространства солитона не определена, поэтому существование ЭМ-солитона или электрона-солитона рассматривается в дифференциируемом многообразии М. В многообразии М произвольно вводится атлас мировых координат u = (u0, u1, u2, u3) в качестве базы расслоенного пространства, элементами этой базы могут выступать объекты-точки любой физической природы. Геометрия априорно не задаётся, а вычисляется.
Вблизи произвольной точки О базы координаты u представляются в виде:
um = xm(O) + xm(x = (x0, x1, x2, x3)) Ч e,
где e -- малая числовая переменная, определяющая понятие близости в М. Вектор x= (xm) задаётся в вспомогательном аффинном пространстве А пришпиленном [7] касательно к многообразию М. С помощью этого пространства строится слой расслоенного пространства, в слое определено поле реперов-тетрад. В данной задаче размерность базы m = 4, размерность расслоенного пространства (базы и слоя) в общем случае полной аффинной группы [15] преобразований 24, однако ниже показано, что применительно к солитонам в форме замкнутых тороидальных вихрей 4 трансляции вдоль 4-х координат базы зависимы от вращений вихря в слое, кроме того, из 20 оставшихся параметров ещё 4 параметра зависимы из-за специфических топологических свойств солитона. Поэтому 16 линейно независимых параметров определяют геометрию пространства солитонов, конкретно тип пространства определяется следующим образом.
В слой вносится поле тетрад, для чего касательные к um вектора e= (em) базы определяются через компоненты xi вектора x, расположенные в слое, тогда реперы em базы имеют следующее тетрадное представление [8]: um Ы em = emi xi, при этом латинские индексы относятся к проекции тензоров на слой, а греческие индексы к проекции — на мировые координаты um базы. Числовые коэффициенты emi образуют поле тетрад, они задают ориентацию вектора (xi) относительно базы. Коэффициенты Ламе, которые характеризуют эту ориентацию, находятся из соотношения

em = (dum / dxi) xi, где emi = dum / dxi. (11)

В общем случае, обозначив тетрады репера em через hmi, получим

hmi = dum / dxi = dum / dxi + (dum / d xk) dxk / dxi = emi + dmk dxk / dxi @ dmi + dxm / dxi,   (12)

принимаем эти тетрады за реперы основного базиса расслоеного пространства, в котором строится группа гомологии. Тогда для взаимного (дуального или сопряжённого) — базиса имеем

hmi @ dmi - dxm / dxi, (13)

в нём строится группа когомологии. В репере взаимного базиса вычислена метрика многообразия М и оно становится метрическим пространством S:

gcl = hcm hln hmn,

hmn = (1, -1, -1, -1) -- метрический тензор пространства-времени Минковского.
В пространстве S вычислены символы Римана-Кристоффеля 2-го рода

Gscl = gsm (gcm,l + glm,c - gcl, m) / 2 0, (14)

которые определяют группу голономии при изоморфизме слоёв расслоенного пространства S. Кроме того это пространство обладает отличными от нуля коэффициентами неголономности в виде символов кручения Картана-Риччи[15], которые в проекции на базу равны:

Тlcs = hlm hmc, s 0. (15)

Тогда тензор кручения Картана-Риччи определяется как

Wlcs = Тl[cs], (16)

где знак [ ] обозначает альтернирование; 64 компоненты (из них 24 компоненты линейно независимы) антисимметричного по нижним индексам тензора кручения задают Лоренц-вращение слоёв и крутильные сдвиги вакуума в каждой точке базы, что обуславливает существование (ко)гомологий с кручением (по mod 2) в виде крутильной деформации триангуляционной сети, покрывающей всё расслоенное пространство S.
Прямое вычисление тензора кривизны Картана пространства S по формуле

Smcsl = 2 hmn hnc, [l, s] = 0 (17)

даёт тождественный нуль во всём расслоенном пространстве именно для солитонов, что однако является следствием в топологической теории [5] джетов (первого продолжения) для связности Картана (19). Причём кривизна Римана связности Gscl не равна тождественно нулю

Rsmlc = d[lGsc ] m + Gsn [lGnc] m0. (18)

Вычисленная связность Картана (аффинная связность) не равна нулю:

Dscl= Gscl + Тscl, (19)

при этом Ds[cl] = Тs[cl] и частные производные тетрад не коммутируют, т.е.

hn[l, s] = (hnl, s — hns, l) / 2 0. (20)

Итак кривизна Картана Smcsl связности Картана Dscl равна нулю, в совокупности с (14 — 20) это говорит о том, что расслоенное пространство S является многомерным пространством абсолютного параллелизма с кручением (АПК), — некоторым аналогом 2-х мерного пространства АПК, в котором действует группа локсодромической симметрии или более общая группа Mob (Мёбиуса) [12]. Следовательно эта группа содержится в группе Ли G симметрии ЭМ-солитона и электрона-солитона. При этом поля тетрад hnl определяет интегральные локсодромические кривые векторного поля Киллинга глобальной алгебры симметрии пространства АПК солитона в соответствии с системой структурных уравнений Ли или форм Пфаффа симплектического многообразия с кручением:

dxj / d(d ji) = xi(x)
dxj / d(d j) = |xi(x)| по mod 2, (21)

где аргументами служат параметры алгебры (группы) Ли в (9). Следует отметить, что по локсодромической сетке тетрад ориентируется поле натяжения вакуума, т.е. силовые линии электромагнитного поля Максвелла на 3-х мерной гиперсфере 4-х мерного пространства-времени базы расслоенного пространства АПК. Качественно вид локсодромических аттракторов фрактальной геометрии для электрона-солитона и позитрона-солитона показаны на рис. 2. Алгебра непрерывно-параметрической группы Ли даётся структурными уравнениями Картана-Маурера:

[Ls , Ll] = Lc WcslЫ hi[s, l] = hic Wc sl. (22)

В кокасательном расслоении и следовательно коприсоединённом представлении уравнение структуры становится тождеством Якоби

Wc sl Wsmg + Wcsm Wsgl + WcsgWslm = 0. (23)

В теории калибровочных полей соотношение (23) согласно [14] определяет калибровку фазового взаимодействия солитонов. Билинейная форма Киллинга-Картана Wc slWscg 0 определяет слабую топологию слоя расслоенного пространства.
Поле символов Тscl добавляется к полю символов Gscl в (19), поэтому тензор кривизны Картана может вычислен согласно [7] как
 Smcsl = Rmcsl + С[sTm|c|l] + Tm n[sTn|c|l] = 0 тождественно.
Отсюда тензор кривизны кручения Qmcsl = С[sTm|c|l] + Tm n[sTn|c|l], тогда свёртка Smcsl равна Scl = Sscsl = Rscsl + Qscsl =Rcl + Qcl, причём тензор Rcl симметричен, а тензор Qcl содержит симметричную SQcl и антисимметричную АQcl части:
 Qcl = SQcl + АQcl, тогда SQcl = Q(cl) , АQcl = Q[cl], следовательно
Scl = Rcl + Q(cl) + Q[cl] = 0 тождественно. Это тождество по различной симметрии даёт систему двух уравнений:

Rcl + Q(cl) = 0 или Rcl = — Q(cl)
Q[cl] = 0, (24)

которые определяют геометрию пространства АПК. Этим уравнениям можно придать вид уравнения Эйнштейна. Так следы R=sp(Rcl), Q = sp(Q(cl)) равны
R = — Q = gcl Rcl = — gcl Q(cl), а след антисимметричного тензора sp(Q[cl]) = 0
по определению. Бесследовый тензор кривизны Эйнштейна равен
Ecl = Rcl — gclR/2 = — (Q(cl) — gclQ/2).
След свёрнутого тензора кривизны Картана sp(Scl) = gcl Scl, поэтому бесследовый тензор кривизны Картана в вакууме равен нулю тождественно:
Scl — gclS/2 = 0.
Связь всех полей устанавливается путём варьирования геометрии и поля натяжения Максвелла в полном действии
D = Dk + kЧ Dm, (25)
где Dk = -vт hmn Чhc mЧh ln ЧScl Ч|g|1/2dv -- действие поля кривизны Картана
k — неопределённый множитель Лагранжа равный гравитационной постоянной Эйнштейна или обратной плотности энергии вакуума или обратной модуля крутильной жёсткости вакуума (вычислен ниже в модели фрактальной геометрии);
Dm = (1/4) vт Lm|g|1/2dv -- действие поля Максвелла с обычным лагранжианом
Lm = — Fsg Ч Fsg / 16p = — Fsg Ч Fmc Ч gsm Ч ggc / 16p и тензором энергии-импульса
электромагнитного поля Tsa = (- Fsg Ч Fag + gsa Ч FlbЧ Flb / 4) / 4p, где тензор напряженности поля Максвелла равен согласно [18]
Fmu=   Fmu =


i — мнимая единица,
дуальносопряжённый псевдотензор имеет вид *Ful = eulmt Fmt ,
eulmt -- абсолютно антисимметричный псевдотензор 4-ой валентности.

Тензор Максвелла в связности Картана удовлетворяет системе уравнений

 СuFul = duFul + Dlut Fut + Dutu F tl =0,
 Сu *Ful = du*Ful + Dlut *Fut + Dutu *Ftl = 0. (26)

Вариация dD в (25) как изопериметрической задачи, где тензор энергии-импульса Tsa есть реакция неголономной связи наложенной на кручение и кривизну геометрии пространства АПК солитона, приводит к уравнению аналогичному уравнению Эйнштейна, но для кривизны Картана:

 Scl — gclS/2 = k ЧTcl. (27)

Уравнения (24, 26, 27) образуют замкнутую систему, которая определяют взаимосвязь трёх полей. В нулевом приближении, когда такая взаимосвязь отсутствует, система приводится к трём известным уравнениям. Уравнению Максвелла электромагнитного вакуума:

 СuFul = 0,
 Сu*Ful = 0,

с решением в виде самодуальных инстантонов-фотонов Ful = + i Ч *Ful.
Уравнение (24) или (27) для симметричной части даёт уравнение Эйнштейна вакуума гравитационного поля:

 Rsl = 0
 *R* sl= 0,

решением которого являются дважды самодуальные инстантоны-гравитоны [19]
Rsl = + *R* sl кривизны Эйнштейна, и наконец антисимметричная часть (24) или (27) Q[cl] = 0 приводится в спинорном D-базисе с символами Ньюмена-Пенроуза smAB' [19] к безмассовому фермионному уравнению Дирака, описывающему вакуум поля кручения тетрад:

 СAB'(hAB'l) = 0, (28)

где использован формализм двухкомпонентных спиноров в виде билинейных комбинаций дуально сопряжённых (y, y)Т и (j, j)Т волновых функций инстантонов-нейтрино, они имеют следующее выражение
hAB'l = (ylA jlB' + jlA ylB')/ 2, причём h AB'l = smAB' hml.
Решения уравнения (28) определяют дуальные, самодуальные, антисамодуальные инстантоны-нейтрино в виде поля кручения Wc b s = + i *Wc b s № 0, но электродинамический эквивалент тензора энергии-импульса нейтринного поля для инстантонов (кручения) равен нулю (нет электромагнитного лоренцева действия):
Qcl = С[sTs|c|l] + Tsn[s Tn|c|l] = Wslb Wc b s — gcl Wabg Wgab / 2 = — (W slb Wc bs +
+ WslbWc bs) / 2 = (Wslb + i Wslb)Ч (Wc bs — i Wc bs) / 2 = 2 W-slb Ч W+c bs = 0.
Отсутствие электродинамического действия не означает отсутствие чисто солитонного калибровочно инвариантного фазового взаимодействия ЭМ-солитонов, проявляющегося в их взаимном затягивание (запаздывание или ускорение) при прохождении друг около (через) друга.
Уравнение (27) позволяет определить равновесное состояние поля натяжения вакуума, поля кручения и поля кривизны вакуума например в электроне-солитоне. Так приближённо (по норме) кривизна Картана из (27) равна:

 |Scl| @ 1 / r12 - 1 / r22 @ 8 p G Ч T 00 / c4 = 8 p G Ч m / 2c2, (29)

где r1 — радиус кривизны Римана-Эйштейна пространства АПК,
r2 — радиус кривизны кручения Картана-Риччи пространства АПК,
8 p G / c2 = 1,86 Ч10 — 27 см / г — гравитационная постоянная Эйнштейна,
T 00 — компонента тензора энергии-импульса,
G = 6,67 Ч 10 — 8 см3Ч г -1 Ч сек -2 - гравитационная постоянная Ньютона,
с — скорость света в вакууме,
m = m e / (4p Ч rh3 / 3) — средняя плотность массы m e= 0,91 Ч10 -27 г электрона,
rh = 3,86144 Ч10 — 11см его комптоновский радиус (теоретически вычислен ниже).

Условие компенсации кручения и кривизны, то есть равновесного или стабильного существования полей кручения, кривизны и ЭМ-натяжения электрона (как интровертивного ЭМ-солитона) в тонкой оболочке Dr @ 0, имеет вид
r1 @ r2 = r,
тогда из (29) получим
 (r22 — r12) / r12 r22 @ 2 ЧDr / r3 = 3,5Ч10 - 24 см -2. (30)
Для определения Dr - минимально различимой разности радиусов кривизны и кручения (когда радиусы очень малы) используется гравитационный радиус электрона
 r g = 2 G m e / c2 = 1,347 Ч10 — 55 см
примерно равный второй границе фрактального деления пространства АПК
rf = 2 R0 / N = 1,361 Ч10 — 55 см, где R0 = 1,62Ч10 - 33 см планковский квант пространства-времени задаёт первую границу фрактального деления с размерностью хаусдорфова множества N = 2,38 Ч10 22 (величина N теоретически вычислена ниже). За второй границей < rf @ r g ~ 10 — 55 см фрактального деления до третьей границы:
Rf = rf / N ~ 10 - 77 см и далее (~10 - 99 см, ~10 -121 см,...) кривизна Римана и кручение Картана-Риччи стохастически неразличимы, и тогда необходимо будет использовать последующие зацепляющиеся групповые (топологические) уравнения Картана тонкой структуры пространства АПК и последующие стохастические уравнения (типа I-II Колмогорова-Фоккера-Планка) для многомерных ковариационных матриц фрактальных множеств. Итак принимается Dr @ r g /2 = R0 / N в пересчёте на один лист гиперповерхности тора Мёбиуса, который определён ниже. Тогда с учётом (30) имеем
r3 = 2 ЧDrЧ10 24 / 3,5 = 38 Ч10 — 33см3 или
r = 3,4 Ч10 — 11см @ rh = 3,86144 Ч10 — 11см (так как решение изначально не точное).
Данная величина r = r1 @ r2 @ rh объясняет причину устойчивости электрона-солитона (а следовательно экстравертивного ЭМ-солитона), когда кручение и кривизна вакуума уравновешивают кулоновское отталкивание (электромагнитное растяжение) пространства электрона (солитона) именно на его квантово волновом радиусе r h, сфера этого радиуса является некоторым аналогом сферы Шварцшильда, но для полей кривизны Эйнштейна, кручения Картана и натяжения Максвелла.
Ранг алгебры Ли симметрии заданной соотношениями (22, 23) устанавливается по числу независимых 4-х мерных матриц 3-ей валентности Wi jk в проекции на слой, т.е. в присоединённом представлении алгебры.
В соответствии с [15] число параметров этой аффинной группы равно
n2 (n -1) / 2 = 24 (для размерности n = 4) и тензор кручения Wi jk именно в таком представлении алгебры разлагается на 3 неприводимые части:
 Wi jk = W1i jk + W2i jk + W3i jk. (31)
Первый неприводимый тензор W1i jk имеет n(n2-4) / 3 = 16 компонент, причём он разлагается на 2 сопряжённых тензора каждый по 8 компонент путём применения производящей формы Картана [15]:

W1i jk= ai i (bj j ck k — ck k bj j) wi (uj vk — uk vj) = (Wi jk + eijkl gll Wi jk / g1/2) ai i (bj j ck k — ck kbjj),
где wi -- форма Пфаффа,
uj, vk -- реперы ориентирующего трёхгранника Дарбу,
eijkl -- абсолютно антисимметричный псевдотензор 4-ой валентности,
gll -- метрический тензор слоя, в данной задаче тензор Минковского.

Существование 8 компонент допускает изоморфизм на 8-мерные гиперкомплексные числа в виде кватернионов, что используется при гиперкомлексировании уравнений поля на неориентированной гиперповерхности тора Мёбиуса.
Второй неприводимый тензор W2i j k = Wi j k + Wj k i + Wk i j, эта циклическая сумма имеет
n (n -1)(n -2) / 6 = 4 независимых составляющих, которые являются коэффициентами внешней кубической формы веса 2. Этот тензор W2i j k = 0 тождественно, так как в данной работе рассматривается процесс свободного по инерции движения полей солитонов (генерация солитонов не рассматривается) по геодезическим пространства АПК с уравнением геодезических d2 xm /ds2 + Dmcl (d xc /ds) (dxl /ds) = 0. Локально в точке всегда можно выбором системы отсчёта-координат перейти в инерциальную систему отсчёта, где связность Картана пространства АПК из (19) Dmcl = Gmcl + Тmcl = 0 и координаты декартовы. Кроме того чисто гравитационное поле Ньютона-Эйнштейна, описываемое символами Римана-Кристоффеля Gmcl можно локально выключить падающей системой отсчёта, когда Gmcl = 0. Но тогда Тmclm(cl) + Тm[cl] = 0,
а в силу различной симметрии по отдельности Тm(cl) = 0 и Тm[cl] = 0. Поэтому симметричное слагаемое, описывающее винтовое сжатие солитона в направлении движения:

 Тm(cl) = g md ( gc w Wd lw + gl w Wd cw) = 2Wclm = 0, (32)

т.е. в солитонодинамике, но не электродинамике, при свободном движении солитона (электрона-солитона или ЭМ-солитона) сжатие солитона отсутствует и его объём не меняется (во всех фрактальных размерностях). Тогда из (32) следует важное соотношение
 Wd lc + Wdcl = 0 или Wd lc = — Wd cl,
и поскольку по определению справедлива антисимметрия по первым двум индексам
 Wd lw = — Wldw, то при свободном движении солитонов тензор кручения Картана становится абсолютно антисимметричным по трём индексам:
 Wd lc = — Wd cl = — W ldc = — Wcld и в силу инвариантности этого соотношени по координатам, оно выполняется не только в проекции на базу, но и в проекции на слой расслоенного пространства АПК солитона, т.е.
Wi j k= — Wi k j= — Wj i k= — Wk i j. Тогда второй неприводимый тензор
W2i j k = Wi j k + Wj k i + Wk i j = Wi j k + Wj k i - Wk j i = Wi j k + Wj k i + Wj k i = Wi j k + 2Wj k i =
= — Wk j i + 2Wj k i = Wj k i - 2Wk j i и после поднятия индекса i имеем с учётом (32)
W2i j k = Wj k i - 2Wk j i = — (Тi[j k] + Тi(j k)) = — Тi j k = 0 по определению свободного движения в отсутствии гравитации.
Третий неприводимый тензор кручения Картана в (31) согласно [15] равен:
W3i jk = sp(Wi j k) = Wi i k,
всего независимых компонент равно 4 при k = 0, 1, 2, 3, являющихся коэффициентами инвариантной формы Пфаффа Wi i k wk; как сумма, форма Пфаффа
dWi i 0 /d w0 + dWi i 1 /d w1 + dWi i 2 /d w2 + dWi i 3 /d w3
определяет изменение объёма параллепипеда из ортов-реперов трёхгранника Дарбу
w = (w0, w1, w2, w3) составленного по координатам пространства АПК солитонов. Поскольку при свободном движении сжатие солитона и изменение его объёма отсутствует, то и пространство АПК, которое он создаёт вокруг себя, не меняет своего объёма (топологического инварианта Картана). Поэтому третий неприводимый тензор
W3i jk = Wi i k = 0 тождественно, что проверяется и непосредственным вычислением согласно (16).
Следовательно для свободного движения солитонов (вне области их генерации и приёма) остаётся только первый неприводимый тензор в (31): Wi jk = W1i jk, с 16-ю независимыми компонентами, поэтому ранг алгебры Ли rank(G) = 16 симметрии ЭМ-солитона и электрона-солитона равен 16. Равенство нулю побочных следов Wi i k = 0 тензора кручения 3-й валентности гарантирует привязку всего и всегда триангулируемого многообразия М постоянно к топологическому пространству касательно [12] расслоенному пространству АПК с точностью до третьих производных, которыми определяется кручение Тmcl. Более того ранг равный 16 алгебры симметрии совпадает с общим количеством следов различных антисимметричных тензоров кручения Wwd l равных нулю, это Www l = Ww lw = W lww = 0 всего 12 следов при l = 0, 1, 2, 3. Кроме того существует ещё 4 нулевых линейно независимых главных следа:
Wlll = Wlll = W lll = Wlll = 0,
такая абсолютная бесследовость гарантирует абсолютную сходимость [20] топологической (ко)гомологической последовательности де-Рама фрактальной геометрии (симметрии) пространства АПК солитонов. В основе формирования этой последовательности лежит точная подпоследовательность Майера-Виеториса симплициального комплекса, длина которой равная числу Z различных гомотопических классов (индексов Стинрода-Понтрягина) равных Z = 16 рангу алгебры Ли симметрии солитонов. Благодаря тому, что группа фрактальной симметрии изоморфна ренорм-группе симметрии [20] взаимодействующих квантованных полей, стало принципиально возможным вычислить наблюдаемые физические заряды полей и все фундаментальные константы непертурбативными, топологическими методами (см. ниже).
Ранг алгебры Ли симметрии определяет необходимую размерность гиперкомплексирования системы уравнений полей (24, 26, 27), обеспечивающую реализацию солитонного решения, так как факт существования солитонов в пространствах более, чем 2-х измерений не тривиален, и простое увеличение тензорной размерности полей не обеспечивает наблюдение солитонов, так как нарушаются условия теоремы вириала Деррика-Хобарта [17]. Более того, и простой переход в комплексное n-мерное пространство для нелинейных уравнений автоматически не гарантирует появления солитонных решений в противоположность алгебраическим уравнениям. В соответствии с идеей Янга-Ли [21] проверенной в численных экспериментах, если решение уравнений существует, то при некоторой комплексной размерности функций и аргументов, итерации уравнений, ведущии к образованию фрактального (хаусдофова) множества, сгущаются (притягиваются) в точки решений нелинейных уравнений. К тому же эти точки являются точками бифуркаций решений, то есть становятся точками фазовых переходов в динамических системах, описываемые указанными нелинейными уравнениями. Солитонные решения являются подмножеством этих решений инвариантные относительно группы Ли симметрий уравнений, то есть представляют собой неподвижные точки преобразований этой группы и в соответствии с (10) становятся и автоморфизмами этой же группы.
Поэтому, чтобы теоретически обнаружить солитонные (инстантонные) решения этих уравнений необходимо подняться в гиперкомплексное пространство АПК, комплексная размерность которого вместит в себя всё неориентированное многообразие присущее именно солитону, при этом группа Ли симметрии геометрии расслоенного пространства АПК уравнений поля является группой инвариантности и автоморфизма волновых, автомодельных решений как процессе свободного движения, так и взаимодействия полей, поэтому эти решения по определению становятся солитонными решениями.
Суть влияния ранга алгебры на размерность комплексирования в следудующем. Указанный выше в (9) автоморфизм солитонных функций означает, что неподвижные точки отображений группы Ли являются [12, 16] особыми точками котензорного поля в (21):
dxj / d(d ji) = xi(x) = grad(F), где F функция Морса на многообразии.
Количество солитонных решений по всем гомотопическим классам симметрии равно количеству невырожденных неподвижных точек, а значит количеству Z = 16 невырожденных особых точек котензорного поля. Эти особые точки расположены на гиперповерхности криволинейного симплекса-полиэдра в виде 3-х мерных неориентированных торов Мёбиуса погруженного, но не вложенного гладко, в 4-х мерное пространство-время базы расслоенного пространства АПК (см. рис. 3 ). Этот букет 4-х касающихся торов: 2-х лемнискатных торов Мёбиуса, гиперболический однополостной тор Мёбиуса и гиперболический двухполостной тор Мёбиса, являясь наглядной моделью пространства АПК солитона, задаёт начальную гиперклетку фрактальной триангуляции гиперкомплексного (фрактального) пространства АПК. Конфигурация букета в различных своих сечениях (0-мерных, 1-мерных, 2-х мерных и т. д.) и определяют функцию Морса F. Непосредственно геометрия именно неориентированного тора Мёбиуса следует из свойства фактор-алгебры (фактор-группы и следовательно фактор-топологии) группы Ли симметрии солитонов. Эта фактор-алгебра (фактор-группа) по своему идеалу (нормальному делителю группы в виде обычного тора) разбивает алгебру (группу) Ли на непересекающиеся (попарно коммутирующие) классы Z =16 = + 8 ( 0) смежности, каждый из которых изоморфен гомотопическому классу топологии (симметрии) солитона. То есть для операторов алгебры в (9) например при кватернионной гиперкомплексификации имеем
dk = Re(d k) + Im(d k) = mod (d k) (cos fk + iksin fk) = Rdk + ikIdk,
dkm = mod(dkm)(cosfkm + iksin fkm) = Rdkm + ikIdkm,
где по индексу k нет суммирования,
ik = i0, i1, i2, i3 = (- 1)1/2 ортогональные мнимые единицы схемы кватернионной комплексификации, а fkm — углы-матрицы фазы симметрии, тогда вместо (9) получим:

Lk = Re(Lk) + Im (Lk) = exp(Rdk)exp(ikIdk)exp((Rdkm + ikIdkm) xm) d/dxk. (33)

Вся информация о геометрии пространства АПК солитона и его движениях содержится уже в (33), так как первый и второй сомножитель в (33) определяют идеал алгебры Ли (нормальный делитель группы или инвариантную подгруппу этой группы):
 Ideal(Lk) = exp(Rdk)exp(ikIdk).
Тогда фактор-алгебра солитона равна
 Lk/ Ideal(Lk) = exp((Rdkm + ikIdkm) xm) d/dxk. (34)
Процесс факторизации, как известно [15], заключается в склейке (с исключением центра группы) многообразия расслоенного пространства по центральным лучам с образованием проективного пространства P(n), причём вещественно проективное пространство RP(n) чётной размерности n и комплексно проективное пространство CP(n) нечётной размерности n неориентированны. Эти пространства при погружении изоморфны по мере общности листу Мёбиуса, бутылке Клейна, поверхности Боя, эллиптическим, спинорным пространствам, линзовым и пространствам Грассмана, в котором например производится классификация фермионных частиц. В данной работе рассматривается кватернионное (гиперкомплексное) проективное пространство HP(n-1), погружаемое в кватернионное пространство H(n): H(n) Ю HP(n-1), причём H(n) изоморфно комплексному пространству C(2n): H(n)ЫC(2n), а пространство CP(2n-1) погружаемо в C(2n): C(2n) ЮCP(2n-1), поэтому существует топологическая схема изоморфизма пространств:

 HP(n-1) Ь H(n) Ы C(2n) ЮCP(2n-1), (35)

где множество линейных кватернионных преобразований пространства H(n) есть симплектическая группа симметрии Sp(n) пространства АПК, т. е. H(n) Ы Sp(n), а группа Sp(n = >3) изоморфна спинорной группе Spin(n): Sp(n = >3)Ы Spin(n), по которой преобразуются спинорные (гиперспинорные) волновые функции релятивистской квантовой теории поля, в свою очередь группа Spin(n) является дважды накрывающей группу собственно ортогональных преобразований (гипервращений) SO(2n+1) Я L(4) вращений Лоренца : Spin(n) Ю SO(2n+1) = Spin(n) / {-1,1} = фактор-группе по инвариантной подгруппе отражений (нечётного количества инверсий знака) координат {-1,1}, что означает переход от одной ориентации реперов-тетрад одной локальной гиперповерхности листа Мёбиуса к другой ориентации реперов-тетрад другой локальной гиперповерхности листа Мёбиуса. Причём редукция SO(2n+1) Я L(4) на L(4) обусловлена редукцией H(n) Я H(1) = L(4), в частности — H(4) Я H(1) = L(4) (см. ниже), где последняя — определяется существованием букета 4-х касающихся (четырёхзаходных) 3-мерных торов Мёбиуса (рис. 3) на одной стороне пространства-времени Минковского (в правой или левой псевдоевклидовой системе координат). Таким образом осуществляется глубокая связь симметрии солитонов пространства АПК с физически наблюдаемым 4-х мерным пространством-временем Минковского, где действует группа Лоренца преобразования классических и квантованных полей. Общая топологическая схема трансмутаций геометрии пространства АПК солитонов следующая:

HP(n-1) Ь H(n) Ы C(2n) ЮCP(2n-1) (36)
 Я
 H(n) Ы Sp(n)Ы Spin(n = >3) Ю SO(2n+1) = Spin(n)/{-1,1}Я L(4) — наблюдаемый мир.

Первый сомножитель в (33), являясь действительным числом, определяет множитель масштабной инвариантности или ренорм-группу полей солитона, которая как указывалось выше изоморфна группе фрактальной симметрии, задающей фактор хаусдорфового самоподобия р = exp(Rd k). Второй сомножитель в (33) определяет коммутативную подалгебру (подгруппу) k-мерного тора базы:
 Т(L k) = exp(ik Ч Id k)
с циклическими координатами Id k на его гиперповерхности.
Третий сомножитель в (33) или фактор-алгебру (34), изоморфную всей накрывающей алгебре L k пространства АПК, линеаризуем вокруг нуля этой алгебры, но в области сходимости (алгебры) на поверхности тора, где
 mod (d km) = |Rd km + ik Ч Id km| @ 0, но 0.
Процесс матричной линеаризации есть разложения в ряд Тейлора с точность до первых производных, он естественным образом порождает коммутативный базис Картана, в котором канонические базисные элементы L k = d / dxk таковы, что структурные матричные константы или тензоры кручения Картана-Риччи W c sl алгебры Ли в форме тождеств Якоби антисимметричны и чисто мнимы [23]. Этот третий сомножитель называется векторной частью алгебры или группы Ли [24] (причём первых два сомножителя называются тороидольной частью алгебры или группы) и имеет вид подобный известным комплексным унимодулярным алгебрам (группам):

V(Lk) @ [1+(Rdkm + ik Ч Id km)xm] Ч d/dx k +... = (Rd km x m) Ч d/dx k)+( ikЧId km x m ) d/dx k)+
+ d / dx k = Sk(Xk Ч L k + ikЧ Yk Ч L k + L k) = Sk(Xk Ч L k - Yk Ч L*k + 1 Ч L k),
где 1 Ч L k — оператор трансляционного (инстантонного) движения слоя по базе,

L*k = — ikЧ L k (по k — нет суммирования) соотношение дуального сопряжения характерное для инстантонных топологических объектов, что неудивительно, так как описываемая гиперкомплексированная алгебра (группа) симметрии Ли некомпактна, поэтому имеет нулевой тензор энергии-импульса, присущий таким нелокальным объектам. Однако в этой алгебре можно выделить [23] простую вещественную подалгебру Ли, потому компактную, соответствующую движениям уже известных поперечных физических полей и частиц (фотонов, нейтрино, гравитонов и т.д.) с тензором энергии-импульса отличным от нуля. В базисе Картана имеем следующую комплексную подалгебру Ли с её общим элементом
 VL(L k) = Sk(Xk Ч L k - Yk Ч L*k)
и коммутационным соотношением в виде:
 [L k, L*m] = W nkm L*n,
 [L*k, L*m] = W nkm Ln, (37)
где используются проекции тензора кручения на реперы-тетрады слоя.
Тогда в любом каноническом базисе матричного представления подалгебры (90), когда например единичные параметры d km образуют матрицы Дирака, получим известную однородную алгебру (группу) Лоренца, в которой уже 6 вещественных параметров, три угла поворота и три компоненты скорости. Её алгебра Ли состоит из вещественных линейных комбинаций шести генераторов L k и L k0 = — ikЧ L k, k = 1, 2, 3, образующих базис Картана с коммутационными соотношениями:

 [L k, Lm] = i Ч Ln, [L k0, Lm0] = — i Ч Lkm, [L k, Lm0] = i Ч Ln0. (38)

Вещественная алгебра в (37) проста, но все линейные комплексные комбинации указанных шести генераторов образуют комплексную алгебру Ли, которая не проста, так как существуют два набора генераторов:
 Mk= (L k + i ЧL k0) / 2, Nk = (L k - i ЧL k0) / 2, (39)
коммутирующие между собой
 [ Mk, Nk ] = 0 с алгеброй [ Mk, Mm] = Wnkm Mn, [Nk, Nm] = Wnkm Nn,
а потому порождающие две инвариантные подалгебры. Причём вещественная алгебра (37) имеет общий элемент в виде линейной вещественной комбинации:
 Re(VL(L k)) = Sk(Xk Ч L k + Yk Ч Lk0),
где точное (изоморфное) представление этой алгебры даётся спин-матрицами Паули 2 х 2:
 L k = sk / 2, Lk0 = sk / 2 i .
Это спинорное представление, как известно, описывает в пространстве-времени Минковского вращение на действительный угол в 3-пространстве, соответствующее ускорению на мнимую скорость (поворотам Лоренца на мнимый угол).
Таким путём в пространстве АПК ЭМ-солитона естественным образом материализуется специальная теория относительности Эйнштейна , которая неявно присутствует во всех указанных выше (1 — 37) уравнениях движения полей или уравнениях симметрии.
Более того из (37) естественным путём возникает описание движения солитона (как материально-геометрического объекта) на языке квантовой теории поля, что лежит в основе механизма стохастизации его геометрии. Так поскольку алгебра (39), порождаемая операторами Mk , Nk, является представлением вещественной алгебры (37) (её кронекеровский квадрат А Д А изоморфен гиперкомплексифицированной алгебре солитона), то из условия эрмитовости операторов L k, L*m следует Mk+ = Nk,поэтому существуют неприводимые унитарные представления алгебры (Mk+, Nk) например на группе SU(2) в виде собственных функций операторов непрерывного вращения. Тогда складывая и вычитая эти функции согласно (38) для L*m имеем [22]:

L*3 | J, m> = — i (n J / nJ+1) (NJm / NJ+1,m) (N — J)(J + m +1)/(J+1)(2J + 1)| J+1, m> -
- i m k0(N +1)/ J (J +1) | J, m> - i (n J/nJ+1)(NJm/NJ+1,m)(J 2 - k02)(J + m +1)(J — m)/ J(2J+ 1)| J+1, m>
где n J / nJ+1 — нормирующий множитель,
J = 1, 2, 3,...,
m = — J, (J-1),... 0,... +J
NJm = [(J+m) !/ (2J) !(J — m) !]1/2,
k0(N +1) — мнимое число, причём
k0 = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...,
когда N+1 = c- мнимое число для основной серии представлений и
k0 = 0 при 0 < N+1 = c < 1 для дополнительной серии.

Волновые функции операторов L k, L*k по другим осям (k = 1, 2) репера-тетрады вычисляется, используя коммутационные соотношения (38). Эти функции описывают плотность вероятности положений ЭМ-солитона в дуализме волна-частица для различным материализаций солитона, которые определяются собственными числами k0 = 0, 1/2, 1, 3/2, 2 коммутативной подалгебры Картана (см. ниже), соответствующими спинам мезонов, лептонов (нейтрино, электрон), фотону, гравитино, гравитону. Аналогичные волновые функции можно составить для сложных ЭМ-солитонов иной степени интеграции в виде атомов, молекул, плазмы, кристаллов и др.
Следующие члены разложения в ряд Тейлора фактор-алгебры солитона (34) до вторых и третьих производных позволяют определить соответственно группу локальных конформных преобразований (квадратичные члены малых отклонений билинейных форм) и группу кручения-скашивания вакуума (трилинейные формы малых отклонений симметрии). То есть

V(L k) @ [1 + (Rd km + ik Ч Id km) x m + Smn (Rd km + ik Ч Id km)(Rd kn + ik Ч Id kn) x m x n / 2 +
+ Smnl(Rd k m + ik Ч Id km)(Rd kn + ik Ч Id kn) (Rd kl + ik Ч Id kl)x m x n x l / 6)] Ч d / dx k +... (40)

Третье слагаемое векторной части V(L k) алгебры солитона:
 VC(L k) = [Smn (Rd km + ik Ч Id km)(Rd k n + ik Ч Id kn) x m x n / 2 ]Ч d / dx k,
определяет инфинитезимальный оператор локальной конформной группы симметрии, которая включает в себя оператор дилатации (сжатия)
 VCD(L k) = A (d km) Ч xk Ч d / dx k, где А(d km) — комплексное число,
и оператор инверсии радиуса
 VCI(L k) = В(d km)Ч ( 2 x m x n — (Sa xa x a)Чg mn) Ч d / dx k,
где g mn — метрический тензор пространства-времени Минковского.
Различные комбинации знаков билинейной формы в (99) для коэффициентов генераторов конформной алгебры задают симметричные и антисимметричные матричные представления алгебры (группы) в соответствии со схемами Юнга. Четвёртое слагаемое в векторной части (40) или фактор-алгебре равное

VS(L k) = [Smnl(Rd k m + ik Ч Idkm)(Rdkn + ik Ч Idkn)(Rdkl+ik Ч Id kl)x m xnxl/6] Ч d/dxk (41)

содержит в коэффициентах генераторов алгебры полилинейную, именно трилинейную форму, образованную третьими частными производными по параметрам d kn алгебры Ли.
Как известно из дифференциальной геометрии третьи производные определяют виды деформаций типа кручения-скашивания сопровождающего четырёхгранника Дарбу реперов-тетрад слоя при движение его в гиперкомлексированном пространстве АПК. Количество типов кручения составляет ранг алгебры Ли, который вычислен выше и равен 16. В это число входят представители всех перечисленных выше операторов фактор-алгебры (34), а именно единичный (трансляционный) оператор, VL( Lk) — оператор Лоренца собственных и несобственных (с отражением) вращений, VCD(L k) — оператор дилатации, VCI(L k) — оператор инверсии радиуса. То есть фактор-алгебра L k/ Ideal(Lk) по своему идеалу Ideal(Lk) (тороидальной части всей алгебры L k) является, как ей и положено, (объединением) суммой смежных классов по инвариантной подалгебре (идеалу) Ideal(Lk). Что записывается как

 L k/ Ideal(Lk) @ 1 + VL(L k) + VCD(Lk) + VCI(Lk) + VS(Lk)

или форме разложение Лагранжа для всей алгебры ЭМ-солитона

 Lk @ Ideal(L k) Ч(1 + VL(Lk) + VCD(Lk) + VCI(Lk) + VS(Lk)). (42)

Важно отметить, что A(Lk) — алгебра Lk лишь локально изоморфна TGS(Lk) — топологической группе Lk по общему определению алгебры.
Поэтому локально групповое пространство Ideal(Lk) тороидальной части имеет вещественную размерность или вещественный ранг [23] равный 4, по размерности локального репера-тетрады, заданного на одной стороне (слоя) гиперповерхности 4-х мерноготора. Для гиперкомплексированного группового пространства, которое и рассматривается в данном случае, комплексная размерность или комплексный ранг rank(Ideal (L k)) при кватернионном комплексировании (с удвоением) равен 8, по полной размерности двух реперов-тетрад заданных уже на двух сторонах 4-х мерной гиперповерхности тора в комплексном пространстве. Кроме того в комплексной векторной части (34, 42) локально (с точностью до вторых производных по параметрам алгебры) комплексная алгебра Лоренц-вращений
 VL(L k) = VCD(L k) + VCI(L k) = VL(L k)
равна (изоморфна) алгебре конформных преобразований VC(L k), то есть локально совпадает с группой конформных преобразований VC(L k), например, в виде стереографической проекции комплексной гиперплоскости на гиперповерхность сферы [12]. Поэтому ранги алгебр VL(L k) и VC(L k) равны и равны именно единице
 rankVL(L k) = rank VC( L k) =1,
так как ранг алгебры Лоренц-вращений определяется числом 1 — существенных операторов вращения, а остальные вычисляются через коммутационные соотношения аналогичные (38). Поскольку в данном локальном случае третьими производными (41) в алгебре A(L k) пренебрегаем, как объектами следующего уровня приближения, то полный ранг этой алгебры по классам смежности в (42) равен 16:

rank Lk= rank A(Lk) = rank(Ideal(Lk)) Ч (1 + rank(VL(L k) Ы VC(Lk)))= 8 Ч (1 + 1) =16. (43)

В этом выражении в векторной части учитывается ранг 1-трансляционного преобразования, « корень n-степени» из которого в гиперкомплексном линзовом пространстве АПК

 11/n = exp(2p p / k + i 2p m / n) Ы exp(i 2p m / n) Ч d / dx k

определяет точки ветвления геометрии на торе, которые в свою очередь задают точки дискретных (квантовых) фазовых переходов между топологическими секторами физического вакуума (см. ниже). Кроме того в (43) учитывается ранг группы Лоренц-вращений, а ранг группы конформных преобразований не учитывается, так как в данном приближении (до вторых производных) в разложении Лагранжа их классы смежности неразличимы (изоморфны). В этом приближении не учитывается и кручение (третьи производные).
Ранг глобальной алгебры симметрии (симметрии описываемой уравнениями Ли (21)) так же равен 16, что показано выше по количеству нулевых следов структурных констант (тензоров кручения Картана-Риччи) группы Ли, это число 16 (два байта иформации или изначальное слово) является инвариантом глобальной и локальной симметрии ЭМ-солитонов.
Полный ранг не меняется, однако ранги всех компонентов (сомножителей и слагаемых) алгебры меняются в силу изменения глобальной геометрии, что показано ниже.
Дело в том, что глобальная геометрия пространства АПК ЭМ-солитона кардинальным образом отличается от локальной симметрии, что находит своё отражение в фактор-алгебре (34). То есть решение уравнений Ли (21) глобальной симметрии аналитично (голоморфно в комплексной области) за исключением одной сингулярной точки в нуле, поэтому оно односвязно и однолистно, а значит и односторонне геометрически. Кроме того, векторная часть всей алгебры симметрии L k или фактор-алгебра в (34) покомпонентно аналитичны (голоморфны), как слагаемые ряда Тейлора в области его сходимости.
Поэтому пространство представления фактор-алгебры односвязно и однолистно, что и очевидно, так как группа Лоренц-вращений в спинорном представлении (двузначная группа, накрывающая двухсвязную группу вращений) односязна, группа конформных преобразований голоморфна по определению, а слагаемое кручения (третьи производные) аналитично по его построению, как тензор кручения Картана- Риччи в его определении.
Итак левая часть глобальной алгебра солитона L k в (33) однолистна, но её векторная часть (фактор-алгебра) в правой части (33) так же однолистна, тогда остаётся тороидальная часть (идеал) в (33, 34), которая должна быть односвязной и однолистной гиперповерхностью тора (идеала).
Такая поверхность может быть только односторонней по построению, как 4-поверхность обычного гипертора, разрезанная по внутренней параллели и сшитая с поворотом на p по сопряжённым берегам разреза в поверхность листа Мёбиуса.
Образуется односторонний тор Мёбиуса (см. рис. 3) группового гиперкомплексного пространства для идеала алгебры ЭМ-солитона. Этот идеал (тороидальный сомножитель при векторной части алгебры) в (33) передаёт свою геометрию всей глобальной геометрии пространства АПК ЭМ-солитона. Причём геометрия становится более сложной, чем тор Мёбиуса, так как сомножитель векторной части алгебры содержит полилинейные функций физических координат, функций, являющихся представлениями тождественного 1-преобразования симметрии, Лоренц-вращений, конформных преобразований и преобразований кручения Картана .
Эта геометрия в общем случае описывается многозаходными, многомерными, многосвязными односторонними гиперповерхностями типа поверхности Боя и др. Тор Мёбиуса является лишь подмножеством этих множеств. Такая сложная форма поверхности соответствует сложносоставным физическим объектам, как например тяжёлые частицы, ядра атомом и сами атомы, плазма, молекулы, кристаллы, твёрдые тела, биологические системы и т. д.
Ранг тора Мёбиуса rank(Ideal(L k)) = 1 (один оператор сдвига сразу на всей поверхности гиперлиста Мёбиуса, другие сдвиги гомотопны ему). Этот совершенно неочевидный факт следует из топологически эквивалентного (гомотопного) преобразования 4-х мерной гиперповерхности Мёбиуса, основанного на известном [12] свойстве любого 2-х, 3-х, 4-х,... заходного листа Мёбиуса превращаться при разрезании по окружности в обычную двухстороннюю цилиндрическую (нулевой римановой кривизны) гиперповерхность, но закрученную соответственно на
  • 2p-радиан 2-х мерной плоскости (или 4p-стерадиан 3-х мерного пространства),
  • 2 Ч 2p-радиан 2-х мерной плоскости (или 2 Ч 4p-стерадиан 3-х мерного пространства),
  • 3 Ч 2p-радиан 2-х мерной плоскости (или 3 Ч 4p-стерадиан 3-х мерного пространства).
При этом образуются топологические петли или узлы [29] (описываемые полиномами Александера) в виде топологических 2-х, З-х, 4-х,... - листников (см. рис. 3) определённого гомотопического индекса Уитни и характеристики Эйлера, причём эти замкнутые n-мерные кривые образуют новую группу гомотопических классов, называемую фундаментальной группой области пространства АПК ЭМ-солитона.
Вычисление этой фундаментальной группы симметрии солитона имеет исключительно важное значение для физики (теории и техники) ЭМ-солитонов, так как определяет индексы Стинрода-Понтрягина топологических секторов или топологических зарядов вакуума инстантонов полей кручения, кривизны и натяжения (см. выше) и кроме того определяет звено когомологической цепи каждого шага фрактализации пространства АПК. Следует отметить, что повторное разрезание гиперплоскости петель (узлов) по окружности приводит к образованию соответственно 2-х, 3-х, 4-х, ... зацепленных колец в виде новых листов Мёбиуса (явление самовосстановление односторонней геометрии), что определяет кварковый характер полей ЭМ-солитона (элементарных частиц). Разрезание этих новых листов (торов) Мёбиуса порождает новые гиперплоские петли- узлы и так далее. Что собственно и определяет процесс фрактализации или образования непрерывной когомологической цепи в виде множественного рождения-распространения триединого поля ЭМ-солитона.
Итак геометрия расслоенного пространства ЭМ-солитона представляет собой многообразия CPn или линзовое гиперпространство Ln(3, 2), полученное в результате перестройки гиперкомплексной сферы CSn-1 по неориентированной гиперповерхности трилистника с оснащением 3/2, определённого на неориентированном полнотории Мёбиуса, вырезанному в CSn-1 и переклеенному по гомеоморфизму: (n-2)-мерный меридиан Ю изотопическая (n-2)-мерная кривая этого трилистника. Или другими словами такое многообразие есть 3-листное разветвлённое (расслоенное) накрытие CPn Ю CSn-1 с ветвлением над узлом в виде (n-2)-мерной гиперповерхности оснащённого трилистника Мёбиуса.
Частный вид такой поверхности в проекции на 3-х мерное физическое (наблюдаемое) пространство диктует выбор формы технического устройства как антенны, эффективно излучающей ЭМ-солитоны. В простейшем случае форма антенны должна совпадать с формой неориентированного оснащённого трилистника, что непосредственно было использовано при создании экспериментального приёмопередатчика ЭМ-солитонов [25].

ЛИТЕРАТУРА
  1. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. Ч. 1. М.: Наука. 1968.
  2. Новожилов Ю.В., Яппа Ю.А. Электродинамика. М.: Наука. 1978.
  3. Дубовик В.М. Сборник трудов ОИЯИ. Дубна. В печати.
  4. Звездин А.К., Попков А.Ф. К нелинейной теории магнитостатических волн. ЖЭТФ, 1983, т. 84, с. 606.
  5. Бочаров А.В., Вербовецкий А.М. Симметрии и законы сохранения математической физики. М.: Изд-во «Факториал». 1997.
  6. Аблович М.А., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир. 1987.
  7. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука. 1967.
  8. Владимиров Ю.С. Системы отсчёта в теории гравитации. М. Энергоиздат. 1982.
  9. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука. 1980.
  10. Шустер Г.Г. Детерминированный хаос. М.: Мир. 1988.
  11. Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука. 1990.
  12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука. 1979.
  13. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Изд-во «Факториал». Изд-во Удмуртского гос. университета «Просперус». 1995.
  14. Атья М. Геометрия и физика узлов. М.: Мир. 1995.
  15. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Волгоград. «Платон». 1997.
  16. Борисевич Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Наука. Изд. фирма «Физико-математическая литература». 1995.
  17. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.: Мир. 1985.
  18. Коноплёва Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля. М.: Атомиздат. 1972.
  19. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Т.1,2. М.: Мир. 1987.
  20. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука. 1988.
  21. Пайттен Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир. 1993.
  22. Иваненко Д.И. Теория групп и элементарные частицы. М.: Мир. 1967.
  23. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представление групп Ли. М.: Наука. 1983.
  24. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск. Сиб. отделение АН СССР. 1962.
  25. Смелов М.В. Физическая Мысль России. М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова. № 2. 1998.
(Журнал «Физическая мысль России».№1/2.1999,с.61)

РИСУНКИ

  Рис. 1
Рисунок 1.
Увеличить >>>

 Рис. 2
Рисунок 2.
Увеличить >>>

 Рис. 3
Рисунок 3.


Смелов М.В. Электромагнитные солитоны вакуума. Часть 1. Расслоенное пространство электромагнитных солитонов // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11028, 25.02.2004

[Обсуждение на форуме «Институт Физики Вакуума»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru