Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Сухонос С.И., Третьяков Н.П.
Арифметика Вселенной (Окончание)

Oб авторе

 

4. Проблема остатков

Год делится на 12 интервалов с остатком, точно так же и масштабный интервал Вселенной делится на 12 интервалов по 5 порядков с некоторым «хвостиком».

Если делить год на 12 интервалов, то получим 12 периодов по 30 дней и остаток в 5 дней, который составляют примерно 17% от полного интервала в 30 дней и примерно 1,37% от длительности года.

Если радиус Метагалактики принять 1,6 1028 см (что соответствует возрасту Вселенной в 16 миллиардов лет), то весь масштабный интервал будет состоять из 61 интервала: 12 интервалов по 5 порядков (5 х 12=60), и остается лишним 1 порядок - 61-й. Его длина равна 20% от масштабного «месяца» в 5 порядков. И в то же время данный «хвостик» составляет 1,6% от длины всего масштабного интервала Вселенной. Следовательно, этот «хвост» по своей пропорциональной длине близок к месячному «хвосту» в годичном цикле.

Как известно, радиус Вселенной точно не определен. В астрофизике его размер оценивается от 1028 до 4,5 1028 см. Если принять радиус Вселенной несколько меньшим, чем 1,6 1028 см, то можно добиться полного совпадение пропорций. Назовем эту пропорцию универсальной периодической пропорцией (UРР):

Полный цикл ≈ (сумма 12 одинаковых периодов) + 1,37% полного цикла  (2)

Из уравнения (2) получаем, что радиус Вселенной примерно составляет 1028 см (возраст – 10 млрд. лет). В этом случае масштабный остаток с точностью до десятых долей соответствует временному остатку при делении 365 дней на 12 циклов. Как мы видим, полученный радиус Вселенной находится в том интервале значений, который допускается космологией.

Возможен другой вариант полного совпадения – увеличение продолжительности года с 365,256 дней до 366 дня. Последнее возможно при замедлении скорости вращения Земли вокруг Солнца (на 0,2%) либо ускорении ее вращения вокруг своей оси на такую же величину, что составит всего лишь 3 минуты в день. Если бы Земля вращалась вокруг своей оси быстрее на 3 минуты в сутки, она за полный оборот вокруг Солнца совершала бы полных 366 оборотов вокруг своей оси. В этом случае числовая структура 12х30 = 360 + 6 была бы аналогичной числовой структуре масштабного интервала Вселенной при условии, что возраст Вселенной точно равен 16 миллиардов лет. Данный вариант имеет под собой вполне реальную астрономическую основу. Известно, что вращение Земли замедляется на 0,0015 секунд за столетие. Следовательно, всего лишь 10 миллионов лет назад год состоял именно из 366 дней.

Учитывая все вышесказанное, можно утверждать, что пропорциональная структура годового цикла вращения Земли вокруг оси и вокруг Солнца, и вращения Луны вокруг Земли логически подобна пропорциональной структуре 12-й масштабной гармоники Вселенной.

Формально UPР можно трансформировать (опираясь на часовой циферблат и упрощенную схему Волны Устойчивости) в более простую универсальную числовую структуру UNS = (12х5 = 60), где для часового циферблата величина 60 – это минуты, а для Вселенной 60 - это десятичные порядки общей масштабной лестницы.

Факт того, что число 12 присутствует на разных масштабах Вселенной, и на разных масштабах с точностью до «хвостика», приводит к выводу о некоторой общности гармонических делений в природе.

Рассмотрим еще одну область явлений, в которой аналогичное деление играет особую роль.

5. Числовая структура музыкальной гаммы

Поразительно, но числовая структура масштабной иерархии Вселенной совпадает не только с числовой структурой часового циферблата, но и в некоторой степени с общепринятой музыкальной гаммой.

В знакомом нам виде музыкальная гамма появилась в XVI-XVII вв. «С открытием логарифмов был разработан принцип деления октавы на 12 равномерных полутонов, который основывался в XVI веке на расчетах физика М.Мерсена. И затем потребовалось более ста лет, пока А. Веркмайстер совместно со своим учеником Й.Найдгардтом теоретически обосновал и практически ввел, около 1691 года, двенадцати ступенчатую равномерную темперацию, в которой основной интервал – октава – делится на 12 одинаковых интервалов-полутонов (выдел. авторами), имеющих интегральный коэффициент:

21/12 = 12Ö 2 = 1,05946309…

Преимущества этого строя блестяще доказал своим творчеством И.С.Бах, который отчасти именно для этой цели написал свой знаменитый двухтомник «Хорошо темперированный клавир», содержащий прелюдии и фуги во всех 24 тональностях.

Известно, что поиски равномерно-темперированного строя велись еще в Древней Греции. Но самым удивительным является тот факт, что этот строй был известен человеку около 20 тысяч лет назад…».

«Именно таким возрастом датируется одна любопытная археологическая находка, о которой рассказывается в книге, написанной профессиональным музыкантом и дирижером К.Е.Еременко». Описана флейта, найденная на стоянке Молдово (р. Днестр), которой около 20 000 лет. Отверстия на этой флейте свидетельствуют, что уже в те времена использовалась двенадцатиполутоновая музыкальная система.

Об этом же говорит и следующий факт. «Чтобы построить 12-ступенчатый звукоряд, который именуется пифагоровым строем, достаточно использовать всего два (три) интервала, содержащихся в соотношениях первых трех (четырех) гармоник – 1:2:3:4 – октава, квинта (кварта). Как тут не вспомнить знаменитую тетрактиду (четверицу) Пифагора, составляющую в сумме священную декаду (десятку): 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Известно также, что ряд интервальных коэффициентов, составленных из первых чисел натурального ряда (2/1, 3/2, 4/3), был положен, по преданию, в основу настройки арфы Орфея…

Если отложить последовательно 12 квинт в восходящем порядке и перенести их затем в диапазон одной октавы, то как раз получаем 12-ступенчатый звукоряд, называемый пифагоровым строем».

Таким образом в музыке разделение на 12 интервалов одного целого интервала (в данном случае октавы) известно с древних времен. И хотя здесь нет числовой структуры 12х5 = 60, все же стоит задуматься, случайно ли октава поделена на 12 интервалов? Полагаем, что причиной 12-ступенчатого деления октавы являются все те же законы гармонического колебания среды.

Известно, что еще Пифагор обнаружил, что квинта в степени 12 - (3/2)12 на интервале в 7 октав завершает полный цикл гармонических колебаний. Их отношение составляет (3/2)12 : 27 = 312 : 219. Полученное соотношение очень близко к 1, что, как будет показано ниже, является далеко не заурядным явлением. Цикл из семи октав дает как бы глобальную свертку основных гармоничных рядов, после которой можно начинать такую же процедуру разделения заново, но на частоте в 128 раз отличающейся от первичной. Отношение 219 к 312 не равно точно единице. Если из одного числа вычесть другое, то получится небольшой остаток, называемый пифагоровой комой в 1/8 – 1/9 тона (он будет рассмотрен ниже). Однако, приближение отношения 2m /3n к единице при m и n, которые соответственно меньше и больше 19 и 12, еще хуже. Минимальное отклонение, которое составляет примерно 1,37%, достигается именно при m = 19 и n = 12.

Чтобы это показать, продемонстрируем технологию получения «сходимости» двух степенных рядов – для 2-ки и 3-ки, которая, видимо, и привела Пифагора к созданию музыкальной структуры гаммы. В таблице 1 приведены значения двух базисных чисел четного и нечетного ряда, 2 и 3, возведенные в различные степени. При этом отметим, что последовательность значений 2m заполняет числовую ось более плотно, чем последовательность 3n, которые расположены в столбцы несколько произвольно, но в строках наиболее близкого значения 2m. В результате таблица предоставляет возможность графического сопоставления величин, полученных в этих двух сравниваемых рядах.

Возможную физическую интерпретацию сравнения рядов 2m и 3n дадим чуть ниже. А пока чисто формально рассмотрим возрастающие числа, образующиеся от возведения в степень n = 1, 2, 3, 4… двойки и тройки.

Таблица 1

m

2m

n

3n

Отклонение, %

№ октавы

1

2

1

3

50%

 

2

4

       

3

8

2

9

13%

1

4

16

       

5

32

3

27

-18%

2

6

64

4

81

26%

 

7

128

       

8

256

5

243

-5%

3

9

512

6

729

   

10

1024

       

11

2048

7

2187

7%

4

12

4096

       

13

8192

8

6561

 

5

14

16384

9

19683

20%

5

15

32768

       

16

65536

10

59049

 

6

17

131072

11

177147

 

6

18

262144

       

19

524288

12

531441

1,36%

7

20

1048576

13

1594323

52%

 

21

2097152

   

-32%

 

22

4194304

 

4782969

   

Из таблицы 1 видно, что в гармоническом ряду пропорциональных отношений на 12-м шаге возведения числа 3 в степень n = 12 и на 19 шаге возведения числа 2 в степень m = 19 происходит максимальное сближение числовой оси четной и нечетной степенных последовательностей. Все числа, получаемые до соотношения 312/ 212+7, как видно из таблицы, на числовой оси сближают ряды с гораздо большим отклонением. И немаловажно, что после соотношения 312/ 212+7 ряды быстро расходятся.

Очевидно, что найденная еще Пифагором точка на числовой оси, примерно равная 5,3 105, обладает существенно отличающими ее от других областей свойствами гармонического сближения четного и нечетного степенного ряда. Необходимо обратить внимание на то, что сближение двух рядов происходит через величину 5,3 105, которая достаточно близка к безразмерному коэффициенту масштабного подобия 105.

В заключении отметим, что в цикле из 7 октав квинта укладывается 12 раз и остается небольшой «хвостик», относительная величина которого равна 1,36% (см. таблицу 1). Неужели и в третий раз полученная пропорциональная структура случайно совпадаетii с аналогичными структурами рассмотренными выше?

5. Простые числа и устойчивые размеры Вселенной

В таблице 1 числа и даны только до m = 22 и n = 13. Исследуем, при каких больших степенях m и n числа и наиболее близко отстоят друг от друга. Формальный смысл этой процедуры заключается в поиске максимального сближения на числовой оси величин из двух степенных последовательностей i – четной и нечетной. Мера несовпадения чисел и в процентах определяется следующим образом:

                                      (3)

В таблице 2 приведены значения m и n, при которых величина ε, рассчитанная по формуле (3), меньше 5(т.е. относительная погрешность не превосходит 5%). Дополнительно дана графа значений и , переведенных в показатель степени десятичных логарифмов - . Последнее необходимо для того, чтобы значения сближений на числовой оси величин и привести в соответствие с узловыми точками М-оси Вселенной.

Таблица 2

m n   e
19  12  5.72  1.36
27  17  8.11  3.93
38  24  11.44  2.75
46  29  13.84 2.53
57  36  17.16  4.15
65  41  19.56  1.15
84  53  25.29 0.21
103  65  31.01 1.58
111 70 33.40  3.72
122 77  36.73 2.96
130  82  39.12 2.32
141 89  42.45  4.37
149 94 44.85  0.94
168  106  50.57 0.42
176  111 52.96  4.91
187 118  56.29  1.79
195  123 58.69  3.50
206 130 62.01  3.18
214 135  64.41  2.11
225  142 67.73 4.58
233 147 70.14 0.73
252 159 75.86  0.63
260  164 78.25  4.69
271 171 81.58  2.00
279  176 83.97  3.28
290  183 87.30  3.39
298  188  89.70  1.89
309  195  93.02  4.80
317  200 95.42 0.52
336 212 101.15  0.84
344  217 103.54 4.47
355  224 106.87  2.21
363  229 109.26  3.07
374 236 112.59  3.61
382 241 114.99  1.68
401 253  120.71  0.31
420  265  126.43  1.05
428 270  128.82  4.26
439  277 132.15  2.43
447  282  134.55 2.85
458  289  137.87 3.83
466 294 140.27  1.47
485  306  146.00 0.10

Для наглядности представим данные таблицы 2 в виде графика зависимости погрешности e от .

Рис.2. График зависимости погрешности e от .

 

Из таблицы 2 и графика 2 видно, что в некоторых выделенных точках e имеет резкие минимумы, т.е. ряды последовательности степеней двойки и тройки сближаются. Например, первый минимум означает, что . Расхождение здесь составляет 1.36%. Второй резкий минимум соответствует , расхождение всего 0.21% и т.д. Анализ данных таблицы 2 и кривой (рис.2) показывает несколько закономерностей.

Во-первых, почти все числа в столбцах (кроме, естественно, первых) можно получить друг их друга путем сложения. Так, например, для m: 46 = 19+27; 57 = 19+38; 65 = 27+38, а для n: 29 = 12+17; 36 = 12+24 и т.д. Проверка показала, что как это ни удивительно, нет ни одного числа, которое нельзя было бы получить из последовательности степеней 2-ки и 3-ки складывая предыдущие члены. Причем, одно и то же число можно получить зачастую несколькими способами. Стоит вспомнить, что таким свойством обладает известный ряд числе Фибоначчи, из которого получается и пропорция золотого сечения. Понять причину этой удивительной закономерности еще предстоит.

Во-вторых, необходимо обратить внимание, что предельных минимумов (погрешность меньше 1%) кривая на рис.2 достигает с периодом примерно в 25 порядка (более точное значение – 25,29) для десятичных логарифмов. Эти значения лучше видны из таблицы, чем из рисунка, поэтому они выделены в таблице 2). При этом первый минимум, который нашел еще Пифагор, из этой периодичности выпадает. Но и погрешность для него существенно больше (см. Таблицу 2). В выявленной периодичности происходит один сбой – вместо ожидаемого минимума на значении 10100 минимум образуется на значении 1095. Однако в дальнейшем период в 25 порядков опять восстанавливается. Природа этого сбоя авторам неясна.

 

Посмотрим, как сходятся числовые пары с основанием из простых чисел 2 и 5. Для этого вычислим и найдем такие значения m и n, при которых . Результат представлен в виде таблицы 3 и рисунка 3. 

Таблица 3

m n   e
3  2.10  2.40
14  6  4.19  4.86
58  25  17.46  3.40
65  28  19.57  0.97
72  31  21.67  1.41
79  34  23.76  3.85
123  53  37.03  4.40
130  56  39.13  1.96
137  59   41.24  0.43
144 62   43.34  2.84
195  84  58.70  2.95
202  87  60.81  0.54
209  90  62.91  1.85
216  93  65.00  4.30
260  112  78.27  3.95
267  115  80.38  1.52
274  118   82.48  0.87
281  121  84.58  3.29
325  140  97.83  4.97
332  143  99.94  2.51
339  146   102.05  0.10
346  149  104.15  2.29
353  152  106.24  4.75
397  171  119.51  3.51
404  174  121.62  1.08
411  177  123.72  1.31
418  180  125.81  3.74
462  199  139.08  4.51
469  202  141.18  2.06
476  205  143.29  0.33
483  208  145.39  2.74

Рис.3. График зависимости погрешности e от .

 Анализ данных показывает, что и в данных последовательностях есть те же закономерности: периодичность и аддитивность. Причем, период в данном случае другой – примерно 20 порядков. Любопытно, что этот период имеет внутреннюю периодичность (19,57 и 20,57). Первый минимум достигается на порядке 19,57, второй на порядке 19,57+20,57 = 41,24. Третий минимум на порядке 41,24+19,57= 60,81, четвертый через период 20,57 – 60,81+20,57 = 82,48, и так далее. Такой «триггерный» период имеет среднее значение почти идеально равное 20 порядкам: (19,57+20,57)/2 = 20,07±0,5. Возможно, что на самом деле этот период просто равен 20 порядкам (или 20,07), а «прыгающее» значение периода – всего лишь следствие недостаточно высокой точности программы расчета экстремумов, которая здесь использовалась. К сожалению, авторам не удалось проверить точность программы, чтобы сделать окончательный вывод. Попутно отметим, что период в 20 порядков является для масштабной иерархии Вселенной одним из главнейших периодов масштабной симметрии, ибо и масштабной подобие структур и смена видов физических взаимодействий происходит именно с периодом в 20 порядков.

Проведем расчеты для пары простых чисел 2 и 7:

Таблица 4 

m n   e
14  4.21  2.58
59   21 17.75  3.21
73  26  21.97  0.61
87  31  26.19  1.96
101  36  30.40  4.59
132  47  39.72  3.84
146  52   43.95  1.22
160  57  48.16  1.34
174  62  52.38  3.96
205  73  61.69  4.47
219  78   65.92  1.84
233  83  70.14  0.73
247  88  74.35  3.33
292  104  87.89  2.46
306  109  92.12  0.12
320  114  96.33  2.70
365  130  109.86  3.09
379  135   114.09  0.49
393  140  118.30  2.08
407  145  122.52  4.71
438  156  131.84  3.72
452  161  136.06  1.11
466  166  140.28  1.46
480  1718  144.49  4.0

Рис.4. График зависимости погрешности e от .

 

И в данном случае наблюдаются те же две закономерности: аддитивность и периодичность. Причем период точно равен 21,97, но при этом он дает сбой в 4,22 порядка где то в районе 66-го порядка (см. таблицу 4).

Приведем данные на сходимость пары 3 и 5:

Таблица 5

m n   e
22  15  10.48  2.83
41  28  19.56  2.14
63  43   30.06  0.68
82  56  39.12  4.32
85  58  40.54  3.53
104  71  49.62  1.45
126  86   60.11  1.36
145  99  69.18  3.62
148  101  70.60  4.23
167  114  79.68  0.77
189  129  90.17  2.04
208  142  99.24  2.92
211  144  100.65  4.93
230  157  109.74  0.09
252  172  120.22  2.73
271  185  129.30  2.23
293  200   139.79  0.58
312  213  148.86  4.42
315  215  150.28  3.43
334  228  159.36  1.55
356  243  169.85  1.26
375  256  178.92  3.72
397  271  189.42  0.86
419  286  199.91  1.95
438  299  208.98  3.02
441  301  210.39  4.83
460  314  219.48  0.19
482  329  229.96  2.64

Рис.5. График зависимости погрешности e от .

 И в данном случае есть аддитивность членов степенной последовательности и периодичность с периодом 30,06, которая лучше просматривается в таблице, чем на графике. Здесь, также происходит сбой. После двух «правильных» шагов, которые приводят к степени 60,12 на третьем шаге вместо степени 90,18 минимум достигается на степени 79,74, которая на 10,49 порядка меньше ожидаемого значения. Затем опять восстанавливается период 30,6 и в дальнейшем он уже не нарушается. 

Стоит проверить на сходимость рядов простых чисел не попарно, а по тройкам, что безусловно, является более жестким критерием.

Проверка показала, что интересные результаты дают тройки следующих чисел: 2-3-5 и 2-5-7.

Критерию сходимости с отклонением ниже 10% для тройки 2-3-5 соответствуют числа, приведенные в таблице 6: 

Таблица 6

m n k   e
65  41  28  19,56  2,14
130  82  56 39,12   4,3
195  123  84 58,69   6,5

Здесь также соблюдается аддитивный принцип.

Приведем и числа для другой тройки 2-5-7 (таблица 7):

Таблица 7

m n k   e
202 87   72  60,81  9,4

Здесь в интересующей нас области М-оси существует лишь одна точка «сходимости», зато какая! Это значение – 1060,81 порядка при переводе в сантиметры, если за точку отсчета брать фундаментальную длину 10-32,8см, дает с высокой степенью точности значение 1028,01см (60,81 – 32,8). А данное значение соответствует возрасту Вселенной в 10 млрд. лет, что, как известно, является одним из наиболее вероятных значений в космологических расчетах.

О чем говорят приведенные выше данные? Можно заметить, что многие значимые безразмерные коэффициенты масштабного подобия, выявленные в наших предыдущих работах, естественным образом возникают при анализе степенных последовательностей простых чисел. Поэтому, если за единицу принять размер максимона – 10-33 см и откладывать на М-оси значения особых точек, получаемых в результате схождения простых чисел, можно получить почти многие узловые точки, которые соответствуют размерам наиболее распространенных и устойчивых объектов Вселенной.

Так, 2 и 3 «порождают» период 1025, что задает размер атома водорода и через 25 порядков – размер ядер галактик. Пара 2 и 5 дает период , который является очень важным для масштабной периодичности, ведь именно через 20 порядков происходит смена типов взаимодействий. А соответствующие этому периоду точки на М-оси дают размер протона, нейтронных звезд (ядер звезд) и видимый размер Метагалактики. Пара простых чисел 3 и 5 дает период, что соответствует двум важным точкам на М-оси – масштабному центру Вселенной и размеру видимой Метагалактики. Но особенно интересно то, что радиус Вселенной, оцениваемый в 10 миллиардов лет, равен 1028 см. Именно это значение получается. если откладывать от точного размера максимона 10-32,8 период1060,8, полученный при сближении тройки чисел 2, 5 и 7.

Единственным коэффициентом, не полученным с достаточной точностью методом поиска сближений на числовой оси простых чисел, является базисный коэффициент симметрии – 105. Найденная еще Пифагором точка на М-оси дает значение 105,72, что существенно отличается от базисного коэффициента и поэтому не может быть принято за искомый масштабный период в 5 порядков. Отметим, впрочем, что эмпирические коэффициенты и являются не менее фундаментальными, чем , как следует из анализа распределения характерных объектов Вселенной по размерам. И эти коэффициенты отмечены тем, что в них происходит максимальное сближение степеней более чем двух базовых простых чисел: в случае это 2, 3, 5 и отчасти 7. Вряд ли это случайность. Отметим, что из эмпирически установленных ранее коэффициентов масштабной симметрии: 105 , 1010, 1020, 1060 использованный выше метод определения сходимости рядов простых чисел позволил получить с очень высокой степенью точности коэффициенты 1020 и 1060. Коэффициент 105 получен с неудовлетворительной степенью точности. К этому важному коэффициенту мы вернемся еще раз чуть дальше. А пока дополнительно отметим, что получены точки на М-оси, соответствующие некоторым точкам наивысшей устойчивости, если за единицу принять размер максимона. Является ли это случайностью, или за этим совпадением кроется до конца не выясненная авторами закономерность, сейчас сказать невозможно. очевидно, что сделан лишь первый шаг в направлении поиска связи числовых гармонических рядов и масштабной структурой устойчивости Вселенной.

Еще раз вернемся к проблеме «хвостов». Уточним их значение.

  • Для пифагорового числа. Разница между 319 и 212 составляет 7153 (см. таблицу 1). Если разделить ее на меньшее число 524288, то полученное отношение (в процентах) даст нам число 1,36%.
  • Для соотношения 12 месяцев и года. Разница между 365 днями и 12х30=360 днями составляет 5 дней. Если пять разделить на 360, то получится число (в процентах) – 1,37%.
  • Для точки схождения на числовой оси степенных рядов трех простых чисел: 2, 5 и 7. Схождение с точностью около 9% происходит первый раз в точке 1060,81. Если этот результат спроецировать на М-ось, то получим радиус Вселенной 1028,02 см (60,81 – 32,79 = 28,02). Этот радиус примерно соответствует возрасту Вселенной в 10 млрд. лет. И если принять эту уникальную точку сходимости за истинный радиус Вселенной, в которой существует 12 уровней точно по 5 порядков, в сумме дающие масштабную «длину» Вселенной в 60 порядков. Поэтому, если соотнести остаток 0,81 с 60 порядками, то получится число 1,35%.

Все три числа: 1,35, 1,36 и 1,37 отличаются друг от друга на 1,48%. Возникает любопытный вопрос: являются ли эти отклонения чисел друг от друга реальными или следствием каких-либо погрешностей в методике расчета? И в тоже время этого совпадения достаточно, чтобы задуматься, а не являются ли они результатом действия одних и тех же гармонических законов?

К этому добавим, что в степенных рядах 2 и 7 есть точка сходимости соответствующая значениям 2126 и 786, или в десятичных логарифмах равная 60,11 (см. таблицу 4), которая очень близка к положению на М-оси Метагалактики. Процент отклонения от идеального совпадения также равен 1,36%. Имеет ли это совпадение общую природу с уже рассмотренными или нет остается открытым вопросом.

Итак мы рассмотрели схождения степенных рядов простых чисел попарно или в лучшем случае по трое. В связи с множеством удивительных совпадений точек схождения степенных рядов с узлами устойчивости на М-оси возникает потребность расчета области схождения на числовой оси для первых членов ряда простых чисел. При этом количество таких первых членов не должно быть ограничено искусственно, а иметь физическое обоснование. Другими словами, из ряда простых чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… необходимо выбрать такое их минимальное количество, которое приведет к максимальному сближению степенных рядов на числовой оси. Поскольку мы ищем соответствие таких точек узлам устойчивости на М-оси, то это сближение должно происходить в точке на числовой оси. Если такое схождение будет обнаружено, то все остальные узлы устойчивости на М-оси получаются путем последовательного откладывания коэффициента 105 от фундаментальной длины.

Упростим задачу, заменив степенные ряды произведением простых чисел. В этом случае все степени всех простых чисел приравниваются к 1. Рассмотрим сначала математическое решение данной задачи.

Как известно, факториал является функцией натурального аргумента N и представляет собой произведение всех натуральных чисел начиная с единицы и до N:

                          (4)

Факториал может быть распространен и на действительные числа путем введения гамма функции Эйлера. Это возможно ввиду справедливости следующего представления:

.                                (5)

Тогда можно определить функцию от действительного переменного a :

,                          (6)

которая для натуральных аргументов будет совпадать с факториалом:

,                                (7)

а для действительных аргументов может рассматриваться как обобщение факториала. Поскольку значение гамма функции можно вычислить с любой точностью, то принимаем, что значение факториала доступно для вычисления в любой точке действительной оси.

Рассмотрим произведение (которое назовем «простым факториалом») всех простых чисел начиная с наименьшего – двойки (напомним, что 1 по определению не включается в состав простых чисел) и до заданного простого числа R:

.                               (8)

Функция R!p имеет следующие значения:

и т.д.

Искомая точка 105 находится между 13!p и 17!p. Для ряда с максимальным числом 17 мы получили значение 5,1 105, что удивительно близко к пифагоровому числу (3/2)12 = 5,3 105, но существенно больше искомой точки 105. Следовательно, используя лишь простые числа, решить поставленную выше задачу невозможно. Предположим, что коэффициент 105 имеет статус некоторого статистического среднего между множества близких к нему значений.

Введем функцию простого факториала, определенную не только на дискретном множестве (простых) чисел, но на всей действительной числовой оси (или по крайней мере, на положительной полуоси). Для такой функции интегрального представления, подобного вышеприведенному для гамма-функции, по-видимому, не существует. Можно, однако, численно найти значения этой функции в промежуточных точках, используя интерполяцию. Применив интерполяционный метод кубических сплайнов к массиву точек (11, 13, 17), (2310, 30030, 510510), получим аппроксимирующую функцию:

                         (9)

Теперь найдем такое «простое» число, для которого выполняется условие равенства аппроксимирующей функции величине 105. Значение такого числа равно примерно 13,96:

Имеет ли полученное число 13,96 какое-либо значение в реальных структурах природы?

Рассматривая плотнейшую упаковку шаров в пространстве, получаем, что если множество одинаковых шаров плотно сжимать друг с другом, то количество контактов каждого шара с соседями будет равно не 12, а в среднем 13,7. Это экспериментально установленное число было теоретически уточнено Х.Мюллером, которым получено теоретическое значение 13,8. Число 13,7 (или 13,8) является некоторой абсолютной безразмерной геометрической константой нашего мира, подобной числу πiii так как количество контактов у сферических шариков при их плотном сжатии друг с другом не зависит ни от размеров шариков, ни от их физической природы. Это могут быть горошины, пузыри пены, гранатовые зерна, атомы, элементарные частицы, звезды в галактике и пылинки в конгломерате. Универсальность числа 13,7 (или 13,8) простирается и на более сложные – информационные и генетические закономерности. Например, оно близко к числу 13,96, при котором НОК простых чисел приближается к коэффициенту масштабной симметрии 105 (в нашем приближенном аппроксимирующем приближении).

Определим отклонение от 105 для значения нашей аппроксимирующей функции при 13,7 и 13,8. Они соответственно равны:

;

В первом случае отклонение от 105 составляет 23%, во втором – 14.6%.

Заметим, что число 13.7 - экспериментальное, следовательно, определено с некоторой погрешностью. Если принять, что полученное совпадение не является случайностью, то можно предположить, что число 13.96 ближе к реальному предельному контактному числу для трехмерного пространстваiv. Впрочем, у нашего расчета также есть погрешность, связанная с интерполяцией.

6. Музыкальная гамма Вселенной

Сравним некоторые музыкальный звукоряд с 12-ступенчатой иерархией Вселенной.

Для этого поставим в соответствие каждому масштабному этажу Вселенной соответствующий полутон (рис.6 с нотами и клавишами фортепьяно). Здесь возможны два варианта соотнесения. Первый – чисто формальный, когда используется традиционное расположение нот и размеров на горизонтальной линии. Но в последовательности нот: до, ре, ми… высота тона возрастает, соответственно частота звука растет, а длина волны уменьшается. Расположение размеров объектов на горизонтальной оси обычно прямо противоположно: слева направо размеры увеличиваются, соответственно частота (если ее сопоставлять размерам) уменьшается. Поэтому возможен второй вариант – физический. В нем необходимо все ноты располагать зеркально традиционной клавиатуре (см. рис.6 - нарисовать). В этом случае нота до соответствует Метагалактике, нота ре – квазарам и т.д.

Сверху на рис.6 приведено традиционное расположение нот, начинающихся с ноты до. В таком варианте в мажорном ряду две ноты, которые чередуются через полтона, ми и фа соответствуют ядру атома и самому атому. Переход от си к до не содержит промежуточного диезного-бимольного звука, при этом нота си соответствует галактическому этажу, а нота до – метагалактическому и одновременно – максимонному. Человеку соответствует нота соль – пятая по счету нота из семи. Кроме того, нота соль делит гамму на две неравные части: до этой ноты 7 полутонов, а после нее 5. Подобная же пропорция закреплена в нотном обозначении: из 12 полутонов только 7 имеют собственное название и у клавишных они отмечены широкими белыми клавишами, а остальные 5 – узкими черными. Является ли это случайным совпадением или следствием проявления подсознательного (или сверхсознательного) сопоставления музыкальной шкалы вселенской иерархической шкале, в которой человек занимает именно 7-й этаж?

Если от начала октавы отложить квинту (3/2) то до конца октавы останется кварта: 3/2 х 4/3 = 2 (рис.7) и точка деления на столь важные пропорции как раз соответствует ноте соль. Выше уже упоминалось какое значение имела квинта и кварта в пифагоровом строе. В этом нет ничего удивительного, ведь в данном случае используются базовые числа четного и нечетного ряда: 2 и 3. Тот факт, что человек находится на масштабной оси в соответствии с формальным расположением нот в точном соответствии с пропорцией 3/2 – возможно свидетельствует о гармонической значимости его места в иерархии Вселенной.

Во втором, физическом варианте соотнесения музыкального звукоряда масштабной гармонике нота соль соответствует уровню атомов, а человеку соответствует нота фа. При этом если квинту (3/2) откладывать справа налево то на нее попадает атом водорода на М-оси. В этом случае человек попадает (см. рис.7) на кварту (4/3), а последняя так же важна для музыкальной гармонии, как и квинта. Напомним, что кварта и квинта взаимно дополняют друг друга до октавы (см. рис.7).

В книге С.И.Сухоноса «Масштабная гармония Вселенной» подробно рассматривалась роль масштабного центра Вселенной – размеру равному примерно 50 мкм и соответствующего среднему размеру клеток. Место человека на М-оси сдвинуто относительно масштабного центра на 5 порядков вправо. Этот сдвиг был интерпретирован как результат эволюционного напора Вселенной, направленного в сторону больших размеров. Теперь же появляется другая возможная интерпретация места человека на М-оси, основанная на законах музыкальной гармонии. С позиций музыкальной гармонии более выделенным на М-оси является не центральная точка симметрии – 10-3см, а две симметричные относительно нее (со сдвигам в 5 порядков) точки: 10-8 см (атомы) и 102 см (человек).

 7. Интерпретация полученных совпадений 

Рассмотрим набросок физической интерпретации совпадения пропорциональных структур из различных областей природы.

Во всех рассмотренных числовых структурах присутствует период 12 и небольшой избыточный «хвостик» по отношению к этому целочисленному периоду, равный 1,35-1,37%. Это свидетельствует о единстве законов гармонизации всех процессов в природе. При этом основой является не масштабная структура Вселенной, а особенности схождения числовых рядов, которые исследовал еще Пифагор. Именно этот числовой закон сходимости однотипно проявляется в различных средах и более того – в пространствах различной размерности. Последнее утверждение объясняет, почему данный гармонический принцип одинаково проявляет себя и во временном измерении (соотношение орбитальных периодов Луны и Земли), и в масштабном измерении. Можно предположить, что точно также он проявляет себя в пространствах любых размерностей, во всяком случае, при N £ 4.

Сформулируем два варианта резонансных соотношений.

Первый. В этом варианте образуются обертонные соотношения в аддитивном пространстве. Волна, с длиной волны равной 2 целое число раз укладывается в следующие волны: с длиной волны 4 - два раза, с длиной волны 6 – 3 раза, с длиной волны 8 – 4 раза и т.п. (рис.8). Волна с длиной волны 3 целое число раз укладывается в последующие волны: с длиной волны 6 - 2 раза, с длиной волны 9 – 3 раза, с длиной волны 12 – 4 раза и т.п. (см.рис.8). Поэтому для первой волны гармоничные ряды образуются резонансы в на длинах волн: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14… Для второй – на длинах волн: 3, 6, 9, 12, 15… Оба ряда имеют точную сходимость на длинах волн 6, 12… (см.рис.8).

Второй. В этом варианте образуются обертонные соотношения в мультипликативном пространстве. Четные волны образуют обертона только на длинах волн, которые соотносятся как 2m/2, где m = 1,2,3… ряд натуральных чисел. Такое соотношение дает ряд резонансов: 2, 4, 8, 16, 24, 48, 96… И аналогично для соотношения 3n/3: 3, 9, 27… В отличии от первого варианта, эти два ряда не имеют полной сходимости. Максимальная сходимость достигается для m = 19, 27, 38… и n = 12, 17, 24, 29… (см. выше). Спрашивается, что может заставить какие-либо осцилляторы модулировать частоты, длины волн которых будут пропускать в ряду четных и нечетных чисел некоторые длины волн, получаемые методом аддитивного сложения?

В музыкальной гармонии используются логарифмические, а не арифметические соотношения. Первая октава отличается от второй октавы тем, что ее частоты в два раза ниже. Следующая, третья октава отличается от второй тем, что ее частота также в два раза выше. Но по отношению к первой октаве частота третьей октавы выше уже в 4 раза. Четвертая октава имеет частоту выше в два раза, чем у третьей, но уже в 8 раз выше, чем у первой. Таким образом частоты в октавном ряду увеличиваются не аддитивно, а мультипликативно. Спрашивается, зачем было организовывать нотные ряды именно таким образом? Ведь можно было просто прибавлять от октавы к октаве одну и ту же фиксированную частоту. Ответ лежит в первую очередь, видимо, в особенностях восприятия звуков человеческим ухом, которое воспринимает не абсолютную разницу частот звука, а относительную.

Более того, исследования в области психофизики показали, что «между стимулом и ощущением существуют сложные отношения,.. стимул отражается в ощущении не зеркально, не один к одному… в процессе формирования ощущения происходит определенная трансформация внешнего воздействия. Согласно закону Фехнера интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула (выд. авторами). Его можно интерпретировать так, что будучи отраженным в ощущениях, ряд физических величин как бы «сжимается», становится более компактным». Это свидетельствует о том, что все восприятие окружающего мира у человека (как минимум) построено на логарифмических пропорциях, а не арифметических.

Однако если для музыкальной гаммы такое объяснение представляется вполне достаточным, то для масштабной шкалы Вселенной оно не уместно. И здесь не обойтись без введения представления о двух различных типах симметрии, действующих в физический мире: симметрии равенства и симметрии подобия.

В среде, состоящей из множества первичных элементов (например, сферической формы), возможно создание двух принципиально отличающихся типов систем. Первые системы будут складываться из первичных элементов в пространственную решетку открытого типа, которая имеет потенциально бесконечное число трансляций в трех измерениях. Такую систему описывают с помощью симметрии равенства (трансляционной симметрии, симметрии упаковок, кристаллических решеток и т.п.). Второй тип систем будет складываться таким образом, что все первичные элементы будут «облеплять» один из них и собираться в плотноупакованные комки – кластеры (рис.9а). Упакованные таким образом элементы будут создавать сфероподобные додекаэдрические системы, которые в силу своей сферичности не смогут собраться в открытую кристаллическую структуру первого типа в которой между первичными элементами получаются равные интервалы. Эти кластеры можно назвать элементами второго уровня. Они также могут образовывать кластеры, из которых образуются подобные им элементы третьего уровня (см.рис.9в), затем четвертого и т.д. уровней. Процесс образования таких кластеров может быть бесконечным. Его принципиальное отличие от процесса первого типа заключается в том, что для каждого уровня структурными элементами служат не первичные элементы, а кластеры нижнего уровня. Поэтому все размеры и частоты для таких кластеров удобнее и естественнее сопоставлять не с частотами первичных элементов, а с частотами и размерами кластеров нижнего уровня. Такой подход приводит к свертке параметров предыдущего уровня и приравниванию их на каждом последующем уровне к единице. Именно такой процесс кластерных сверток и образования самоподобных систем необходимо описывать мультипликативными резонансами. Ведь в данном случае на любом уровне можно рассматривать любой размер, любую частоту в отношении к предыдущему уровню, который становится для них базисным. В результате образуют мультипликативный ряд симметрии подобия и логарифмической пропорции.

Второму типа систем соответствует принцип музыкальной гармонии, который и образует, в частности, два ряда частот: 2m и 3n. Следовательно, наличие в физической природе тенденции к образованию центросимметричных систем и последующей кластерной свертки, по принципам которой строятся не только биологические системы, но и многие системы Вселенной, приводит к возможности гармонизации данного процесса и логарифмическим резонансам, что и проявляется в выявленной выше числовой структуре…

Совпадение числовой структуры пифагорового строя и масштабной иерархии Вселенной, вполне естественно, имеет аналоги и в ряде других областей природы. Так, в работе лауреата Нобелевской премии Х.Альвена и Г.Аррениуса показано какую важную роль играют резонансы в образовании Солнечной системы.

«Если свести в таблицу орбитальные периоды и периоды вращения всех тел Солнечной системы, то обнаружится соизмеримость многих периодов. Это указывает на существование ряда резонансных явлений между взаимосвязанными резонаторами. Имеются резонансы между орбитальными периодами членов одной и той же системы, а также резонансы между орбитальными периодами и осевыми периодами вращающихся тел.

По-видимому, резонансы являются крайне важными особенностями Солнечной системы. Тела, однажды попавшие в резонанс, могут при определенных условиях оставаться захваченными резонансом неопределенно долго; следовательно, резонансная структура стабилизирует Солнечную систему на очень большие периоды времени».

И далее Х.Альвен и Г.Аррениус рассматривают два варианта возникновения резонансов. Первый – после появления тел солнечной системы, второй – в процессе образования этих тел из протопланетного облака пыли и газа, т.е. в гетерогенных процессах. Сравнение этих вариантов привело к выводу в пользу второго варианта: «… резонансные явления сами по себе были существенны в гетерогенных процессах, так что тела возникали преимущественно в состоянии резонанса с другими телами». Этот вывод согласуется с нашим общим предположением о роли резонансов в образовании из первичного хаоса любых устойчивых систем: от элементарных частиц до галактик.

Отметим, что резонансы, которые обнаружили Х.Альвен и Г.Аррениус не исчерпывают всего многообразия резонансных явлений в Солнечной системе. Наличие 12-периодической резонансной структуры в системе Луна-Земля-Солнце показывает, что важную роль играют и мультипликативные (логарифмические) резонансы. И видимо далеко не случайно такой резонанс с 12 периодами проявлен именно около Земли, ведь именно на этой планете возникла жизнь и ее венец человек-разумный. Жизнь воплощает в себе вершину масштабной гармонии, межуровневых резонансов, поэтому она могла возникнуть лишь в наиболее гармоничном месте Солнечной системы – на Земле.

* * *

Данная статья ставит больше вопросов, чем дает ответов. Нам кажется, однако, что поиск формальных совпадений представляет собой мощный эвристический прием, позволяющий определить направление, в котором следует двигаться. В частности, мы убеждены, что связь между средним контактным числом плотной упаковки шаров, простыми числами и числом не может быть случайной. Вероятность такого случайного совпадения совершенно ничтожна. Что за этим стоит? Ответ на этот вопрос будет дан в последующих работах.

 

Примечания
  1. .  Степенной ряд четных чисел 2, 4, 8, 16, 32... является подмножеством ряда четных чисел 2,4,6,8.... Аналогично - степенной ряд нечетных чисел 3,9,27...
  2. .  Отклонение в одну сотую настолько незначительно, что им на данном этапе исследования можно пренебречь.
  3. .  Это число контактов представляет конфигурацию из центрального шара, окруженную в среднем 13,8 соседями. Общий размер данной конфигурации в 3,15 раза больше размера единичного шара, что очень близко к p.
  4. .  Задача точного вычисления "упаковочного числа трехмерного пространства", так можно назвать число контактов, примерно равное 13,8, является с точки зрения авторов не менее важной, чем в свое время была задача точного вычисления значения p . Ведь ясно, что никакие эксперименты с сжатием шариков из пластилина, свинца и любых других материалов не дадут абсолютной точности даже для десятых долей этого числа. Единственным методом, который позволит дать такую точность, как думают авторы, является метод компьютерного моделирования сжатия одинаковых шаров в трехмерном пространстве. Попытка самостоятельно создать программу такого процесса показала, что эта задача является далеко не тривиальной. Поэтому авторы объявляют конкурс на теоретическое определение "упаковочного числа". С нами можно связаться через издательство "Новый центр", либо напрямую по тел. (095) 363-35-88. Для победителя конкурса предусмотрена премия
Литература
  1. Сухонос С.И. Масштабная гармония Вселенной М.:София,2000
  2. Сухонос С.И. Масштабная гармония Вселенной М.:София,2000.
  3. Альвен Х., Аррениус Г. Эволюция солнечной системы. М.:Мир,1979.
  4. Паннекук А. История астрономии. М.:Наука, 1966.
  5. Паннекук А. История астрономии. М.:Наука, 1966, с.26.
  6. Фламарион К. История неба. М.: Издательство Ассоциации Духовного Единения "Золотой век", 1994, с.141.
  7. Аллен К.У. астрофизические величины. М.: Мир,1977,с.166.
  8. Никанкин О.В. Введение в астромузыку. М.:Белые альвы", 2000,с.34-35.
  9. Никанкин О.В. Введение в астромузыку. М.:Белые альвы", 2000,с.2.
  10. Никанкин О.В. Введение в астромузыку. М.:Белые альвы", 2000,с.33.
  11. Сухонос С.И. Масштабная гармония Вселенной М.:София,2000.
  12. Левитин К. Геометрическая рапсодия, М.: Знание, 1976, с.115.
  13. Мюллер Х., Сухонос С.И. Закон наиболее плотной упаковки по всем степеням свобод биопространства, Доклады МОИП 1982. Общая биология. Экспериментальный анализ функций биологических систем, М.: Наука, 1985, с.98-102.
  14. Мюллер Х., Сухонос С.И. Закон наиболее плотной упаковки по всем степеням свобод биопространства, Доклады МОИП 1982. Общая биология. Экспериментальный анализ функций биологических систем, М.: Наука, 1985, с.98-102.
  15. Сухонос С.И. Масштабная гармония Вселенной М.:София,2000.
  16. Ломов Б.Ф. Предисловие к сб.: "Проблемы психофизики", М,:Наука, 1974,с.5.
  17. Сухонос С.И. статьи по упаковкам
  18. Мюллер Х., Сухонос С.И. Закон наиболее плотной упаковки по всем степеням свобод биопространства, Доклады МОИП 1982. Общая биология. Экспериментальный анализ функций биологических систем, М.: Наука, 1985, с.98-102.
  19. Альвен Х., Аррениус Г. Эволюция солнечной системы. М.:Мир,1979.
  20. Альвен Х., Аррениус Г. Эволюция солнечной системы. М.:Мир,1979,с.105.
  21. Альвен Х., Аррениус Г. Эволюция солнечной системы. М.:Мир,1979.,с.106.

Сухонос С.И., Третьяков Н.П. Арифметика Вселенной (Окончание) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.10275, 18.03.2003

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru