|
|
Комаров В.М., Татур В.Ю.
Актуальная бесконечность как мера качественных различий
Интерес человечества к проблеме Бесконечности обусловлен к настоящему времени несколькими причинами:
Все это означает, что Бесконечность не только необходимое понятие для математики, философии, богословия, но, что потенциально возможно, и всех естественных наук. Вопрос лишь в том, чтобы научиться корректно его использовать.
Основы предлагаемого здесь подхода были заложены выдающимся математиком 19 века Г. Кантором (1845-1918), и опираются на введенное им в обиход математики необычное и уникальное понятие Актуальной бесконечности (т.е. некоей завершенной бесконечной множественности). Сам Кантор считал Актуальную бесконечность в интерпретации принадлежащей всем видам реальности2
.
Знакомство человечества с Бесконечностью обнаружило одно ее как будто очень «неприятное» свойство. А именно, там, где она рождается или воспроизводится, там, как всем кажется, вынужденно разрушаются границы вещей. Происходит не только исчезновение их определенного состояния, но, собственно, и самого их бытия (чтобы реально ощутить это погружение в неопределенность при воздействии бесконечности, нужно начать мысленно раздвигать границы того или иного предмета не останавливаясь)3 . На это очевидное свойство натыкались, конечно же, в первую очередь. В итоге Бесконечность оказалась ассоциированной со способностью порождать неопределенность, неоднозначность, с невозможностью существования в некоем целостном завершенном виде.
Однако при более внимательном рассмотрении проблемы Бесконечности в отношении этого тезиса возникает прямо противоположная картина. Перейдем к анализу становления понятия Числа совместно с Действием, наблюдая, как при введении обратных действий инициируются качественные трансформации Числа. В самом деле, неразрешимость в натуральных числах, например, вычитания из меньшего большего числа дает импульс для введения чисел нового качества (в частности вычитание требует введения противоположностей положительного и отрицательного). Тот же эффект наблюдается и далее, т.е. на действиях обратных умножению, возведению в степень, возведению в сверхстепень и т.д., т.е. качественные расширения понятия числа (равно как и введение соответственных противоположностей) происходят на всех ступенях обобщения сложения (см. табл.1).
Обратим далее внимание, что повторное применение прямого действия, называемое рекурсией, может иметь два эффекта. Первый — условно назван нами финитным. К нему относится известный способ перехода от действия низшей ступени к действию высшей. Как известно, чтобы такой переход произошел, повторы проведения того или иного прямого действия ограничивают (завершают) некоторым финитным числом b:
Развивая далее идею завершения, естественно попытаться ее добиться иным способом, а именно, не прерывая рекурсию, продолжить становление в трансфинитную область. Для обеспечения однозначности результатов в этой процедуре нужно только фиксировать трансфинитное число повторений, ограничив его, например, счетным алефом:
Не трудно убедиться (см. [5,8]), что полученные в выражении (*) алефы не зависят от используемых при этом конкретных финитных чисел «а», но при фиксированном числе повторений зависят только от ступени действия. Тем самым они являются своеобразными трансфинитными образами действий ( сокр. — трансфинод). В рамках современной трансфинитной алгебры их можно рассчитывать без особых затруднений. Результаты вычислений трансфинодов арифметических действий начальных ступеней приведены в табл.1. Полученное отображение является основой для толкования и интерпретации актуальной бесконечности. В самом деле, с одной стороны действие способно порождать качественные различия в числах, а с другой оно же способно порождать в результате счетного повторения трансфинитные числа. Таким образом, арифметическое действие в некотором роде носитель двух видов «смысловой энергии».
Первый вид – бесконечный по своему существу (т.к. качественные различия непреодолимы финитными средствами, и потому именно мы считаем их бесконечными). Он выражается в способности действия разделять нечто на качественно полярные противоположности, а второй – прямой по своему смыслу — достигать вполне определенного актуально бесконечного результата при счетном самоповторе. Эти два вида «энергии», как происходящие из одной и той же сущности, предлагается в трансфинитно-числовом выражении отождествить4 . Это и дает основание заключить, что актуальная бесконечность является мерой качественных различий вещей и их преобразовательных трансформаций. В этом, с нашей точки зрения, и есть предназначение и сущность Бесконечности. Некоторые трансфинитно различные объекты приведены в табл.1.
Комаров В.М., Татур В.Ю. Актуальная бесконечность как мера качественных различий // «Академия Тринитаризма», М.,Эл № 77-6567, публ.10345, 21.04.2003
[Обсуждение на форуме «Наука»]
Актуальная бесконечность как мера качественных различий
«…Мы знаем, что Вселенная бесконечна,
но не знаем в каком именно смысле»
| |
Г. Наан [12]
|
- во-первых, к началу 21 века усилиями многих математиков была показана логическая и математическая состоятельность теории множеств, центральным понятием которой является Актуальная бесконечность. Это явилось, на наш взгляд, серьезным свидетельством того, что Бесконечность доступна человеческому разуму, и более того, доступна рассудку, дискурсивному мышлению
1 ; - во-вторых, при построении той или иной системы знания Бесконечность, как понятие, оказывается всякий раз востребованной, а ее дальнейшее затем использование приносит заметную пользу (что, в частности, видно на примерах с математикой и физикой);
- наконец, к третьей причине интереса к проблеме бесконечности можно отнести издревле существующую гипотезу о том [1,2], что не только духовная и интеллектуальная сферы деятельности человека (что кажется наиболее вероятным), но и сама физическая реальность несут в себе атрибуты бесконечности.
(*)
Табл.1.
|
Ступени обобщения сложения | |||||
| I | II | III | IV | ||
| Действия | стан | a+b | a · b | ab | b a |
| нестан | a 1 b | a 2 b | a 3 b | a 4 b… | |
| Качественно новые | Отрицательные- | Целые- | Рациональные- Действительные- | ?… | |
| Трансфинитная мера различия | А0 | А1 | А2 | Аw+1±Аw2 | |
| Примеры качественных различий | Геометрич. объекты
Отрезки прямых линий, площади, векторы, вращения. Физич. величины Практически любые физические величины -скорости, заряды, массы. Стоимостное выражение: наличность/ долг. |
Часть и целое любой системы, любого единого образования. | Геом. объекты: отрезки ортогональных прямых линий, ортогональные векторы, несоизмеримые отрезки. Качественные различия между: точка/ отрезок, квадрат/куб, т.е. отношения между объектами разной пространственной размерности. |
?… | |
Примечания
Тем не менее, некоторые современные ученые предлагают оставить эту тему в покое, как чрезмерно экзотическую и неудобоваримую в своем противостоянии всякому «здравому смыслу» [1,2,4,11]. Негативным течениям противостоит другой лагерь математиков, отстаивающих правомерность теории множеств и работающих в различных направлениях ее дальнейшего развития [1,2,3,6,7].- «Я различил актуально бесконечное в трех отношениях: во-первых, поскольку оно осуществляется в высочайшем совершенстве, совершенно независимом внемировом бытии, in Deo, где я называю его абсолютно бесконечным или просто абсолютным; во-вторых, поскольку оно обнаруживается в зависимом сотворенном мире; в-третьих, поскольку мышление может достигнуть его in abstracto как математическую величину, число или порядковый тип» [5]. А в природе вещей (in Natura Naturata -лат.), т.е. в видимом, сотворенном мире двум феноменам: человеку, его внутреннему миру, его психической деятельности и всем без исключения явлениям жизни [5], (см. также [1,2]).
- Бесконечность чаще всего связывают с безграничностью чего-либо. Поэтому ее соотносят или с чем-либо неопределенно большим, или не до конца понятным. Например, предписывают ее принадлежащей всей Вселенной в целом, имея ввиду гипотетическую безграничность последней в пространстве и во времени, или полагают, что она причастна к неограниченной делимости структур материи [1].
- В упрощенной физической аналогии эта ситуация выглядела бы так. Представим себе некоего Гиганта способного растянуть бесконечно тугую пружину на некоторую величину. Он же, развивая ту же энергию, может подбросить вверх камень конечной массы на некоторую бесконечную высоту. Тогда, как бы вполне естественно, считать мерой энергии растяжения именно эту высоту, т.к. обе эти величины обеспечены одной и той же константой энергетических возможностей этого условного Гиганта.
Литература
- Бесконечность и вселенная –М., «Мысль», 1969
- Бесконечность в математике: философские и математические аспекты –М., «Янус-К», 1997
- Бургин М.С. Подходы к понятию актуальной бесконечности в математике –В сб. «Бесконечность в математике: философские и математические аспекты.» –М., «Янус -К», 1997
- Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора –Вопросы философии, 2000, №2, с. 45-48
- Кантор Г. Труды по теории множеств. -М.: «Наука», 1985.
- Колокольчиков В.В. Отображения от чисел до функционалов — М., УРСС, 1999
- Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум гипотеза. -М.: Мир, 1969.
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. -М.-Л.: 1937.
- Лосев А.Ф. Миф-Число-Сущность. -М., Мысль, 1994.
- Шрамко Я. Ошибка Георга Кантора? –Вопросы философии, 2001, №9
- Hodges W. An editor recalls some hopeless papers –The Bulletin of symbolic Logic., V.4, 1998
- Наан Г. К проблеме бесконечности — «Вопросы философии», 1965, №12
Комаров В.М., Татур В.Ю. Актуальная бесконечность как мера качественных различий // «Академия Тринитаризма», М.,
 |