|
Понятие Числа является фундаментальным понятием математики [1,3,5]. Число (в смысле мощности Кантора) справедливо относится к самым абстрактным и благодаря этому самым универсальным понятиям [4]. Тем не менее, в математике существует понятие, которое, на наш взгляд, можно смело поставить или выше числа, или, по крайней мере, рядом с ним. Этим понятием является действие над числом.
Рон-исчисление - это исчисление действий
(ИД). Оно основано на целом ряде принципов, к главнейшему из которых относится требование различать сущности математических объектов и их явления. Оговорить это важно, т.к. в своей сущности тот или иной математический объект единственен, и только в явлении может быть размножен, многократно повторен, копирован. Исходя из этого в ИД для основных ее объектов, каковыми являются числа a, b, c…, действия над числами α, β, γ, … , и опероны (действия над действиями) … вводится требование, чтобы все объекты одной сущности, обозначались бы одними и теми же символами (имеется ввиду, что сущность того или иного математического объекта задана в его определении).Отсюда также следует то, что действиями над числами можно считать только тот класс преобразований чисел, который направлен на изменение именно сущности чисел. Это также означает, что изменить число значит - изменить его сущность, содержащуюся по определению в его „многоединстве” , т.е. требуется изменить либо его модуль (многое числа), либо его вторую часть (в которой число представлено как монада, как нечто единое)
, т.е. качество числа.Кроме того, в ИД при определении того или иного бинарного действия допускается использование различных арифметических действий (а не только какого-либо одного, как это делается обычно, например, при определении умножения а · b =а + а + а +
…+ а ). Это позволяет за счет включения в их определения самые разные действия, взятые в различной кратности, и создавать тем самым действия гораздо более сложных и разнообразных структур.Аналогично, следующие выражения также можно считать бинарными действиями, обозначая их соответственно: α, β, γ:
В ИД для проведения преобразований собственно самих арифметических действий в качестве операций метауровня вводятся 6 так называемых оперонов. Опероны - это действия над самими действиями. Прямые и обратные опероны позволяют осуществлять переходы от действия
a к действиям и (см. рис.1), т.е. повышать или понижать ступень соответствующего действия. При таком подходе со ступенью бинарного действия можно «работать» как с математическим объектом-числом: повышать и понижать ее, и выполнять с ней различные преобразования. Таким образом, мы принимаем гипотезу о том, что всякое действие с неоднородной структурой (т.е. с количественно различным вхождением чисел а, b и действий a , b, g ... их соединяющих в одно целое, а также порядка их проведения) можно считать действием некоей новой фиксированной ступени μ:В общем случае от действия ступени как показали наши исследования, возможно с помощью оперонов и - повышения или понижения ступени по основанию; и - повышения или понижения ступени по показателю; - корня; - логарифма - выполнить, как минимум, 6-и независимых друг от друга переходов к новым действиям (см. рис. 1).
В развернутом виде:
Аналогично определяется
. В развернутом виде:(2)
|
Рис.1. Диаграмма получения новых независимых друг от друга производных действий из основного действия a с помощью оперонов .