Читать статьи профессора И.Ткаченко – одно удовольствие. Пишет редко, но метко, радуя читателей результатами своих исследований. Как всегда математически корректно, информационно насыщенно, предельно лаконично и с четко выраженной новизной.

В недавней статье [1] он представил оригинальное графическое решение золотой пропорции 1/x = x/(1–x) с её преобразованием в равенство двух гиперболических функций 1/x = 1/(1–x) –1 относительно большего отрезка x золотого сечения (ЗС).

Математически выверено. Но отдельные выводы-утверждения методологического характера являются спорными. Предлагаем обсудить...

Графики и аналитика. Автор утверждает, что «не обязательно сводить золотую пропорцию к решению квадратных уравнений, а их можно как увидеть, так и получить численное значение графическим методом».

Действительно, уравнения и/или пропорции можно решать графическим способом, в частности, с разбивкой на пары функций f(x) = g(x) . В его основе лежит построение графиков функций и определение множества абсцисс точек их пересечения. Отличается хорошей визуализацией. Дает непосредственно искомые решение либо их окрестности, которые служат начальными условиями для численных методов.

Но для золотой пропорции он применим условно. Мы видим решение, однако, непосредственно из графиков не следует, что наличествуют именно константы золотого сечения. Можем только предполагать, заранее зная числа Ф ≈ 1,618 и ф = Ф^–1 ≈ 0,618.

И уж тем более из графиков невозможно получить численное значение ЗС.

Поэтому аналитическое решение золотой пропорции путем сведения к решению квадратного уравнения – безальтернативно!

Только уравнение x² + x – 1 = 0 дает нам настоящие решения в явном виде для вычисления большей части ЗС отрезка единичной длины:

x₁ = ф = (–1 + √5 )/2, x₂ = –Ф = (–√5 – 1)/2

Более того, практически все известные геометрические построения золотого сечения фактически сводятся к геометрическому решению этого уравнения. Как правило, через нахождение квадратного корня из пяти, который равен евклидову расстоянию по теореме Пифагора √5 =√(1² + 2²).

Любое геометрические построения ЗС с помощью циркуля и линейки, так или иначе, содержит пару величин в соотношении 2:1, как деление целого пополам.

Причем второй корень x₂ < 0 также является полноправным делением единичного отрезка [0, 1]. Отрицательное значение лишь свидетельствует о том, что точка ЗС находится за пределами отрезка, то есть его деление осуществляется внешним образом.

Всего имеет четыре точки ЗС: две внутри отрезка, симметричные относительно его середины, и две "снаружи".

Графики достоверно демонстрируют золотые решения (см. рисунок с параболами, гиперболами и прямыми), но численных значений констант не дают. В этом смысле они являются альтернативным дополнением к геометрическим построениям. То есть фиксируют точки ЗС на прямой – вещественной оси без определения иррациональных чисел Ф и ф.

Математический софизм – ошибочное математическое утверждение, полученное с помощью рассуждений, которые кажутся правильными, но в действительности содержат малозаметные ошибки. История математики наполнена интересными софизмами, разрешение которых приводило к новым открытиям. Они развивают внимательность, умение точных формулировок, законность применения математических операций, навыки правильного логического мышления. Разбор софизмов и поиск ошибок помогают сформировать ясное понимание математико-логических законов.

Кратко говоря, математический софизм – скрытая ошибка.

Название статьи [1] «Математический софизм золотого сечения» буквально означает сокрытые ошибки самого ЗС. Но в чём заключается погрешности-просчеты ЗС, не ясно. Да и есть ли таковые вообще. Мы предполагаем, что на примере гиперболических "золотоносных" графиков автор хотел продемонстрировать софизм метафорической формулы бога "0 ≡ 1", и в некоторой мере это удается.

Только здесь всё зримо и видно невооруженным глазом. Тождество названо символически-метафорическим и даже взято в кавычки, как не своё принятое значение.

Вместо буквального отождествления можно использовать более "мягкий" знак тильды 0 ~ 1, который означает разные отношения эквивалентности: подобие в евклидовой геометрии, эквивалентность в теории множеств, смежность вершин в теории графов и т.д.

Таким образом, понятие софизма относится не к золотому сечению, а к метафорической форме "0 ≡ 1". Как отмечает Ткаченко, «график гиперболы y = 1/x подвергается трансформации в самую себя путем зеркального отображения её относительно оси абсцисс со смещением относительно от оси ординат вправо на одну единицу x = 1 и с новым центром в точке (1; –1), которая и приводит к алгебраическому псевдо толкованию формулы "0 ≡ 1"». – На наш взгляд, здесь сокрыт не столько математический софизм, сколько "золотоносное" графико-математическое обоснование основных идей, изложенных в наших работах [2–3] с дополнениями В.Сахно [4].

Достаточно внимательно всмотреться в график Ткаченко (на рисунке внизу слева), в частности, закрашенные клеточки. Мы видим взаимные перетоки 0 ↔ 1 с их адекватным зеркальным отображением 0 ↔ (–1). Наблюдаем их схождение в точках x₁, x₂ с координатами (ф, Ф = 1/ф) и (–Ф, –ф), что само по себе примечательно.

Уход в бесконечность при нуле: бог не видим, но он всё. Аналогичный уход в бесконечность при 1: бог абсолютен (1), непостижим и непознаваем (1 → ∞). И так далее.

Плюс зеркально-поворотная симметрия.

Может, не случайно Лука Пачоли назвал золотую пропорцию "божественной", а Леонардо да Винчи отразил её эскизно через пропорции витрувианского человека.

Если кто-то увидит здесь софизм, пожалуйста, только нужна четкая идентификация.

«Ищите, и найдете, ... ибо всякий ... ищущий находит...» (Мф.7:7; Лк.11:9).

А теперь настоящий математический софизм [5], подстроенный под золотое сечение.

Пусть x = 4 = 2², z = 5 = (√5)².

Сложим величины x + z = 9.

Умножив на x – z, получаем x² – z² = 9x – 9z или x² – 9x = z² – 9z.

Прибавим к обеим частям 81/4: x² – 9x + 81/4 = z² – 9z + 81/4

или (x – 9/2)² = (z – 9/2)².

Отсюда следует x – 9/2 = z – 9/2 или x = z, следовательно, Ф = (1 + √5)/2 = 3/2 = 1,5.

То есть константа ЗС "равна" отношению чисел Фибоначчи Ф = F₃ / F₂ = 3/2 и является рациональной дробью, что подтверждается также совпадающим делением номеров – нижних индексов. Причина ошибки проста, хотя сразу не заметна: из равенства квадратов величин следует равенство самих величин только при условии одинаковых знаков.

Правильное извлечение корня допустимо с абсолютной величиной │x – 9/2│=│z – 9/2│, и тогда ошибка не возникает.

В своё время российский педагог В.Обреимов относил подобный математический софизм к равенству величин, неравных между собой.

Литература:

1. Ткаченко И.С. Математический софизм золотого сечения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 26904, 10.01.2021. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00164599.htm.
2. Василенко С.Л. Неортодоксальная метафорическая формула Бога и парадоксы веры // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 26837, 17.12.2020. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00164571.htm.
3. Василенко С.Л. Эйдосы Лосева-Сахно, бесконечности и отрицательные числа в метафорической формуле Бога // АТ. – М.: Эл № 77-6567, публ. 26874, 01.01.2021. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00164588.htm.
4. Сахно В.А. Комментарии к «Закону Бога» С.Л. Василенко // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 26849, 24.12.2020. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00164578.htm.
5. Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения. – М.: Просвещение, 2003. – 112 с.