Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

С.Л. Василенко
Тернистый путь обобщений: на примере одной линейной рекурсии

Oб авторе


Аннотация.

Проанализировано обобщение последовательностей Фибоначчи, в основе которых лежит «формула Бине–Семенюты». Показана её неправильность, и продемонстрированы способы выхода на точный результат. Проведены исторические аналогии.


Сократ – друг, но самый близкий друг – истина…

Платон


Не всё в нашем сложном мире укладывается в простые логические схемы-построения.

Поэтому наука априори небезупречна. Любой исследователь знает, что продвижение к успеху часто сопровождается неудачами. Даже выдающимся умам свойственно ошибаться.

«Мы почти всегда осуждены идти к истине через ошибки» (Д.Дидро, 1774). Вся летопись науки – «это история проб и ошибок, которые совершали все без исключения великие ученые на пути к всемирному признанию, а иногда и после того, как оно состоялось» (Фактрум, 2014).

Могут быть логические или механические ошибки в доказательствах. – Они устраняются.

Более того, великий русский математик современности, академик В.Арнольд высказывал глубокую мысль: «Ошибки играют в математике не меньшую роль, чем доказательства: анализируя их причины и пути их преодоления, можно быстрее идти вперед, чем тупо пытаясь продвинуться в малоизученном направлении» [1, с. 46].

Время и новые знания выступают наилучшими независимыми арбитрами.

В работе [2] сделана попытка получить решение линейного рекуррентного уравнения (соотношения), формирующего обобщенные последовательности Фибоначчи.

В обозначениях оригинала выглядит так: Gn(p, q) = qFn–1 + pFn–2, G1 = р, G2 = q.

То есть (p, q) – пара начальных условий, Fn – числа Фибоначчи.

Автор дает равенство Gn =(Ф–2 + qФ–1)·[Фn – (–1/Ф)n] / √5, называет его формулой Бине–Семенюты и выражает мысль, что такое «расширение возможностей формулы Бине на более широкое множество обобщенных рекуррентных последовательностей чисел … явится началом новых свойств и новых исследований в математике гармонии и её приложениях».

Равенство можно записать как Gn = (ф2 + qф)·Fn, где ф = Ф–1, Ф = (1 + √5) / 2 – константа золотого сечения, Fn = [Фn – (–ф)n] / √5 согласно формуле Муавра–Бине.

Простой анализ показывает, что формула [2] ничего не обобщает, поскольку работает только в единственном случае (!) для q = 1, давая числа Фибоначчи Gn = (ф2 + ф)·Fn = Fn.

Всё! Для целых q > 1 величина (ф2 + qф), а значит и расчетные значения Gn, получаются дробные. Хотя исходная рекуррентная форма дает целые числа. Уже это обстоятельство должно было как-то насторожить автора, с последующим выявлением ошибок и выправлением ситуации.

Изменение другого начального условия p в формуле вообще никак не отражено.

Если в качестве начальных условий в рекурсии принять любую пару последовательных чисел Фибоначчи, например (3, 5), то по определению мы должны получить ряд чисел Фибоначчи, только сдвинутый относительно дискретных индексов n. – По формуле Семенюты не получается. То есть она не способна правильно воспроизвести даже числа Фибоначчи.

Где и в чём тогда обобщение? – Его попросту нет. Приведенная формула неверна в принципе, демонстрируя не обобщение модели, а его противоположность.

«Формула Бине–Семенюты» – пример некорректного подхода. Не только в математике.

1. Находясь под впечатлением несложных преобразований, способных трансформировать иррациональные числа в натуральные аналоги, автор пытается запечатлеть собственный след. Однако название именем себя вызывает некоторое недоумение. Видимо, лучше предоставлять такую возможность другим авторам, коллегам по цеху. Они по достоинству оценят степень новизны, выскажут свои предложения и вынесут "вердикт". Не обязательно сразу.

2. Французский математик и астроном Ж.Ф.Бине вывел формулу для чисел Фибоначчи 150 лет назад. За это время она никак не могла остаться «одиноким корабликом в пустыне». Безусловно, с ней работали, как-то обобщали. Об этом в статье [2], к сожалению, ни слова. Хотя данная тема широко отражена в монографиях, учебниках, научно-популярной литературе и особенно в многочисленных сборниках «The Fibonacci Quarterly», издаваемых с 1963 г.

3. На страницах Академии Тринитаризма (АТ) появилась информация [3] о награждении редактором журнала «De Lapide Philosophorum» Д.Клещевым медалью Фибоначчи профессора Н.Семенюту «за открытие связи параметров лестничных электрических цепей с матрицами чисел Фибоначчи и соотношением Кассини, за открытие обобщенной формулы Бине-Семенюты».

Мы понимаем мотивацию и желание людей морально поддержать ученого. Медаль правильная, заслуженная. Только, на наш взгляд, не нужно было упоминать незадачливую формулу. Если уже приводить и оценивать заслуги, то хотя бы как-то проверить, убедиться в справедливости слов. Благо Денис Клещев известен исследованиями аксиоматических противоречий в математике, включая собственное оригинальное «доказательство рациональности квадратного корня из двух», о чём мы писали на страницах АТ.

В конце концов, наши дела делаются не ради собственного прославления. Но ради наших учеников, последователей. Вместо этого неправильная формула, награждение за неё, привлечение внимания читательской аудитории, научного сообщества с вытекающими оценочными характеристиками. Ведь судят «по путям их и по делам их» (Иез. 36:19).

Что мы собираемся донести до читателя? Чему хотим научить наших учеников?

Николай Филиппович Семенюта – замечательный человек. В свои немолодые годы продолжает плодотворно трудиться, предлагая неординарные решения, что восхищает и вызывает искреннее уважение.

Что-то получается, другое не очень. На тернистом пути науки нет проторенных дорог.

«Иное семя упало в терние, и терние выросло и заглушило семя, и оно не дало плода; иное упало на добрую землю и дало плод, который взошел, вырос и принес: одно во 100 крат, а другое в 60, иное же в 30» (Мф. 13:7-8; Мк. 4:7-8; Лк. 8:7-8).

Лично я тоже начинал со статей про обобщенные "золотые" пропорции вида xp·(x – 1) = 0 [4], xp·(xm) = q [5] и др. Позже понял, такая терминология в корне неправильна. Нет в них никакой "позолоты" в контексте золотого сечения. Хорошо, в то время хватило ума ставить кавычки, символизирующие внешнюю похожесть на формообразование по золотому сечению.

Мы поддерживаем редакцию АТ, которая донесла информацию [3] и придала событию общественный характер. Всё согласно уставу Академии. Но мы не понимаем редактора Клещева, который фетишизировал значимость незначимой и тем более неправильной формулы. Остается уповать на недоразумение.

Не понаслышке вспоминается один украинский филиал известного фонда, который штамповал медальки и раздавал их направо–налево, включая политиков, высших чиновников. Те откровенно «клевали на наживку». Раскланивались. С чувством глубокой признательности и благодарности. Великий комбинатор Остап Бендер отдыхает.

Обобщение – вещь тонкая и ответственная. Известно немало примеров, когда именитые математики допускали промахи в своих выкладках.

Поэтому выводы работы [2] – досадный промах на пути больших шагов-устремлений, от анализа частностей к синтезу общих форм.

Относительно названий отметим, что с легкой руки Н.Воробьева [6, c. 25] и некоторых других математиков прошлого века исходной формуле дали имя Бине.

Хотя за 130 лет до него впервые была получена замечательным английским математиком А.Муавром в виде xn = ( τn – σn) / ( τ – σ), где τ = (1 + √5) / 2, σ = (1 – √5) / 2 – корни квадратного уравнения x2 = x + 1, а уже гораздо позже в 1843 г. независимо выведена Бине [7, с. 29].

Поэтому правильно её называть формулой Муавра–Бине.

К слову, в книге Воробьева [6], внесшей весомый вклад в русскоязычную популяризацию чисел Фибоначчи, нет списка литературы, ни единой ссылки, и практически невозможно проследить-различить собственные наработки автора. И были ли они вообще.

Формула Муавра–Бине примечательна тем, что в ней наглядно проявляется структура записи с использованием корней квадратного уравнения: разность степеней делится на разность корней.

Именно в этом её главное преимущество, ставшее подосновой последующих обобщений по мере усложнения модели: повышения порядка исходных алгебраических уравнений, изменения коэффициентов, начальных условий и т.п.

В чём же её смысл? – Если числа Фибоначчи легко находятся обычным сложением согласно простейшей рекурсии. Формула Муавра–Бине Fn = [Фn – (–ф)n] / (Ф + ф) – это аналитическая (явная) форма определения чисел Фибоначчи – членов рекуррентной последовательности Fn = Fn–1 + Fn–2 с четко заданными начальными условиями, Ф + ф = √5.

Таких условий всего два (F0, F1) = (0, 1). Они позволяют однозначно определить все числа Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Именно числа, как их изначально назвали.

Изменение пары начальных условий приводит уже к числовым последовательностям Фибоначчи gn. Отношение их соседних элементов по прежнему сходится к золотому аттрактору – константе золотого сечения. Отсюда буквенное обозначение g – от слова golden золотое.

Введение дополнительных коэффициентов приводит к обобщенным последовательностям Фибоначчи zn = pzn–1 + qzn–2 с характеристическим квадратным уравнением x2 = px + q. Увы, уже не золотым. Золотым сечением здесь и близко не пахнет.

Можно и далее усложнять модель, вплоть до алгебраического уравнения общего вида.

xk = a1xk-1 + a2xk–2 + … + ak–1x + ak,

которое является характеристическим для линейной рекуррентной последовательности, задаваемой линейным рекуррентным соотношением k-го порядка

zn = a1zn–1 + a2zn–2 + … + akzk–1 (1)

для всех n k, заданных начальных условий – первых k членов z0, …, zk–1 и числовых коэффициентов a1, ..., ak.

Аддитивное соотношение (1) позволяет рекуррентно генерировать числовые ряды – линейные рекурсии с постоянными коэффициентами и дискретной переменной n.

Каждый элемент zn вычисляется через k предшествующих элементов.

Равенству (1) соответствует характеристическое алгебраическое уравнение k-ой степени

Можно ли соотношение (1) именовать обобщенной последовательностью Фибоначчи? – Можно, почему бы и нет. Дело вкуса и предпочтений. Во всяком случае, в терминологическом аспекте нет особых препятствий и/или противоречий. Многие так и называют. Остальные понимают, о чём идет речь, воспринимают и спокойно соглашаются. Разногласий нет.

Существуют разные взаимосвязанные подходы для нахождения аналитической формы решения линейного разностного (возвратного) уравнения (1).

Например, известен матричный подход [8]. Он сводится к возведению в n-ю степень квадратной матрицы перехода, составленной из единичной матрицы, которая справа дополнена нулями, а вверху – коэффициентами a1, ..., ak.

В работе [9] (1964) получено обобщение формулы Муавра–Бине для модели xp·(– 1)q и эквивалентной обобщенной последовательности Фибоначчи: zn = Σi λin+1 / (m λip), с традиционно единичными начальными условиями zk =1, k = 0 … m–1, где m = p + q – количество корней λi исходного характеристического уравнения. Соотношение найдено путем решения системы уравнений по правилу Крамера на основе начальных условий с вычислением определителя матрицы Вандермонда, составленной построчно из термов-членов геометрической прогрессии.

Невольно вспоминаются некоторые статьи, например [10], которые были специально посвящены получению формулы Муавра–Бине для числовых p-рядов, но так и не выведенной. Между тем, как видим, ей более полувека.

Для демонстрации подхода к расширению-обобщению остановимся на линейной рекурсии второго порядка zn = pzn–1 + qzn–2.

Фундаментальные свойства этих числовых последовательностей с парой произвольных начальных условий подробно рассмотрел Хорадам [11] (1965).

Заметим, что на страницах АТ некоторые авторы предпочитают ссылаться на работу [12, с. 62], где расширение формулы Муавра–Бине представлено только для частного случая q = 1.

Причина такой завуалированной "маскировки" вызвана неустранимыми неувязками гиперболических функций Фибоначчи–Люка (ГФЛ), которые написаны этими авторами, но элементарно не работают при q ≠ 1. По определению.

Корни квадратного характеристического уравнения x2 = px + q равны

λ1,2 = (p ± √d) / 2, d = p2 + 4q.

Они различные, поэтому решение можно представить в виде zn = C1 λ1n + C2 λ2n , где C1,2 – константы, которые находятся из заданных начальных условий (z0, z1) при n = 0 и 1:

z0 = C1 + C2, z1 = C1 λ1 + C2 λ2.

Определяем константы C1 = (z1z0 λ2) / ( λ1 – λ2), C2 = –(z1z0 λ1) / ( λ1 – λ2) и собственно решение:

zn = [( λ1n – λ2nz1 – λ1 λ2( λ1n–1 – λ2n–1z0] / ( λ1 – λ2).

Учитывая взаимосвязь корней λ1 и λ2, включая равенства λ1 λ2 = q, λ1 – λ2 = √d, решение можно представить относительно максимального положительного корня λ = λ1:

zn = zfn + q·z0 fn–1,

где fn = [ λn – (–q)n λn] / √d – базовая последовательность с начальными условиями (z0, z1) = (0, 1).

При q = 1 и непрерывной переменной n, функция f(n)= [ λn – (–1)n λn] / √d становится похожей на гиперболический синус и косинус, что побудило-подвигло авторов к введению ГФЛ. Однако, несмотря на их заверения о некоем обобщающем характере, ГФЛ справедливы исключительно для модели x2 = px + 1, в отличие от хорошо известных в математике огибающих линий.

Действительно, мудро вещал-призывал на конференции «Математика и научно-технический прогресс» (Киев, 1973) академик Ю.Митропольский: «не сбиваться на простую игру в формулу, за которой не стоит никакого реального содержания».

При p = q = 1 образуются последовательности Фибоначчи zn = gn:

gn = [Фn – (–ф)ng1 /√5 + [Фn–1 – (–ф)n–1g0 /√5 = Fng1 + Fn–1g0.

Формулу можно "собрать" относительно старших степеней Фn, фn = 1/Фn:

gn = (g0ф + g1)·Фn /√5 + (–1)n(g0Ф – g1)· фn /√5.

Это и есть обобщение формулы Муавра–Бине на произвольные начальные условия g0, g1 для рекурсии gn = gn–1 + gn–2. Независимо от начальных условий последовательность сходится к аттрактору, равному константе золотого сечения Ф = lim n→∞ gn+1 / gn.

В частности:

(g0, g1) = (0, 1) → gn = [Фn – (–ф)n] /√5 = Fn – числа Фибоначчи;

(g0, g1) = (2, 1) → gn = Фn + (–ф)n = Ln – числа Люка.

Допустим, мы хотим найти миллиардное число gn. Даже для компьютера рекуррентная форма становится утомительной процедурой. А если мы хотим её повторить миллиарды раз для проверки некоторых свойств. При этом процедура – маленькая часть более общей программы. Понадобятся годы машинного счета или придется уповать на квантовые (фотонные) процессоры.

В то же время для вычисления Фn можно использовать бинарное (двоичное) возведение в степень, которое позволяет возводить любое число в n-ю степень всего за O(log2n) умножений.

Именно поэтому обобщают расчетные модели, по возможности сводят их к аналитическим (явным) формам-зависимостям. Дополнительно придумывают специальные быстродействующие алгоритмы, например, "златые цепи" (С.Василенко, АТ, 2009) и другие.


Резюме. По тексту статьи [2] невозможно проследить, в каком месте вычислений-преобразований допущена ошибка. Предположительно, она связана с уменьшением индекса n, стоящего в отрицательной степени: Фn → Ф–(n–1) = Фn+1 = Ф·Фn.

Можно сказать, классическое "отрицание отрицания". Когда уменьшение степени со знаком минус, приводит к увеличению числа Ф > 1.

Если механически уменьшить n по схеме Фn → Фn–1, то будет неправильно.

Но главное, пожалуй, вытекает из методологического принципа – аксиоматической заповеди Оккамы: «не следует множить сущее без необходимости».

Корректировка чисел Фибоначчи на произвольные начальные условия (g1, g0) давным-давно известна gn = Fng1 + Fn–1g0. Причем "затравочные" числа (g1, g0) – любой природы, включая мнимые, с иррациональной действительной и/или мнимой частью.

Для чисел Фибоначчи есть готовая формула Муавра–Бине Fn = [Фn – (–ф)n] /√5 трехвековой давности. Остается только подставить, и тогда не нужно убирать одну из фамилий, заменяя новой.

Для ученого «долг благочестия – истину чтить выше» [13, с. 59].

Собственно и всё. Как говорит А.Никифоров, с любовью к истине...

Мерный путь науки продолжается. Через все трудности, к познанию мудрости...

Per aspera ad astra...


Литература:

  1. Арнольд В.И. Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2002. – 104 с.
  2. Семенюта Н.Ф. Решение обобщенных рекуррентных соотношений (формула Бине–Семенюты) // АТ. – М.: Эл № 77-6567, публ. 21925, 24.03.2016 – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321308.htm.
  3. От Редакции АТ. Медаль Фибоначчи. Поздравляем Н.Ф. Семенюту с награждением! // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 26855, 26.12.2020. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0001/005d/00012530.htm.
  4. Василенко С.Л. Обобщенные "золотые" pk-пропорции // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 14756 от 27.03.2008. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321080.htm.
  5. Василенко С.Л. Развитие задачи о "золотом" сечении и связанных с ним числах Фибоначчи и Люка // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 14833 от 05.07.2008. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321086.htm.
  6. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи: 5-е изд. – М.: Наука, 1984. – 144 с.
  7. Tattersall J.J. Elementary Number Theory in Nine Chapters: Second Edition. – New York: Cambridge University Press, 2005. – 442 p.
  8. Василенко С.Л. Матричные формы последовательностей Фибоначчи и золотого сечения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 26846, 22.12.2020. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009b/02321320.htm.
  9. Harris V.C., Styles C.C. A Generalization of Fibonacci Numbers // The Fibonacci Quarterly, 2.4 (1964), 277-289. – URL: fq.math.ca/Scanned/2-4/harris.pdf.
  10. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers // Chaos, Solitons & Fractals. – 2005, 27(5), 1162–1177. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321036.htm.
  11. Horadam A.F. Basic Properties of a Certain Generalized Sequence of Numbers // The Fibonacci Quarterly, 3.3 (1965), 161-176. – URL: fq.math.ca/Scanned/3-3/horadam.pdf.
  12. Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов: Пер. с англ. – М.: Ин-т компьютер. исслед., 2002. – 272 с.
  13. Аристотель. Никомахова этика // Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т.4. – М.: Мысль,1984. – 830 с.

С.Л. Василенко, Тернистый путь обобщений: на примере одной линейной рекурсии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.26891, 05.01.2021

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru