Аннотация. Показано, что введение в модель Фибоначчи f_n+2 = f_n+1 + f_n аддитивного воздействия ε_n с адекватным рассмотрением линейного неоднородного разностного уравнения второго порядка f_n+2 – f_n+1 – f_n = ε_n в большинстве случаев всё также приводит к золотому сечению (ЗС). В частности, если дискретная переменная (по индексу n) ε_n = P(n) – полином или ε_n = b·βⁿ – показательная функция при β < Ф, где Ф ≈ 1,618 – константа ЗС. Суммирующая добавка ε_n к базовой рекурсии фактически является накладываемым "шумом", что в значительной мере приближает теоретическую модель к реальным физическим условиям, с наличием неконтролируемых факторов и/или возмущающих воздействий.

Исторический ракурс. Понятийный образ, называемый сегодня золотым сечением (ЗС) или золотой пропорцией, насчитывает не одно тысячелетие. Менялись времена, изменялись и смыслы, которые вкладывали в него ученые, начиная с древних веков.

Исторически задача восходит к античным сочинениям греческих математиков и наиболее системно впервые прозвучала в геометрических построениях, изложенных Евклидом в его знаменитых "Началах" [1].

Заметим, что слово начала не является признаком некоей узости сферы-области. Напротив, априори предполагает недосказанность-незавершенность, составляя основу-фундамент для дальнейшего широкого развития.

Начала Евклида сыграли важную идейно-методологическую роль в создании и развитии науки как образец трактата, строго и систематически излагающего основные положения математической науки. Они стали основой для последующих геометрических работ Архимеда, других античных авторов и в течение более двух тысячелетий (!) оставались базовым учебником геометрии.

Золотое сечение или в терминологии древних греков деление отрезка в среднем и крайнем отношении имело исключительно прикладное значение для геометрического построения правильного пятиугольника, а также Платоновых тел: икосаэдра и додекаэдра, имеющих возле каждой вершины соответственно по пять треугольных и три пятиугольных граней. Легко вычерчивался равносторонний треугольник, квадрат, шестиугольник. И только правильная пятиугольная звезда долгое время оставалась строптивой и непокорной.

Одна из форм ЗС связана с отношением и равенством площадей [1, с. 75]:

Предложение 2.11. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.

То есть ограниченная линия разделяется таким образом, что больший отрезок является средней пропорциональной величиной между всей линией и меньшим отрезком.

В предлагаемой нами нумерации 2.11 первое число означает 2-ю книгу "Начал", второе число – 11-е предложение.

Другая форма ЗС известна как деление отрезка в крайнем и среднем отношении (КСО), с таким первым описанием:

Определение 6.3. Говорится, что прямая делится в крайнем и среднем отношении, если как целая <относится> к большему отрезку, так и больший отрезок – меньшему [1, с. 173].

Похожее на 2.11 построение приведено в предложении 6.30: данную ограниченную прямую рассечь в КСО [1, с. 213]. Хотя там используются другие буквенные обозначения, нежели в первой форме, а доказательство выполняется через пропорциональность смежных отрезков и нахождение большего из них.

Научившись строить правильный пятиугольник с помощью последовательных геометрических операций, причем исключительно циркулем и линейкой без делений, которые символизировали истинность математических построений, золотая модель была забыта учеными на века. В науке, под которой понималась математика (греч. mathematike – от mathema наука) выделялись четыре "матемы": арифметика, геометрия, гармония и астрономия. Платон к ним привязывал также стереометрию.

Позже в начале тринадцатого века задача получила свое неожиданное развитие-проявление в целочисленных рядах. Прежде всего, в числах, носящих имя Фибоначчи (1170–1240), – элементах рекуррентной последовательности (1, 1, 2, 3, 5, 8 ...), где каждое последующее число равно сумме двух предыдущих, начиная с априори заданной пары (1, 1).

Отношение соседних членов аддитивного ряда с ростом их номеров стремится к константе золотого сечения Ф = (1 + √5)/2. Но никогда с ней не совпадет абсолютно, поскольку иррациональное число Ф нельзя выразить отношением целых чисел.

Следует сказать, что сами числа Фибоначчи были хорошо известны ещё в Южной Азии [2, с. 126], в частности, древней Индии, где они применялись в метрических науках за много веков до того, как впервые стали известны в Европе с известной задачей о размножении кроликов. Тем не менее, появилось принципиально новое толкование ЗС.

Числа Фибоначчи до сих пор остаются одним из увлекательных разделов теории чисел, и сегодня мы часто наблюдаем их неожиданные проявления во многих важных исследованиях, формально никак не связанных с этими числами [3].

Среди них решение десятой проблемы Гильберта, явление филлотаксиса (расположение зерен подсолнуха, строение чешуек ананаса и др.), поиск экстремума унимодальных функций, определение точности представления чисел цепными дробями, выбор оптимальной стратегии движения автомобиля по сокращению расхода топлива, старинная китайская игра цзянь-шиц-зы и др.

Превратности судьбы. Итальянский ученый Леонардо Фибоначчи в своё время внес воистину существенный вклад в развитие и особенно популяризацию математических знаний. В частности, его "Книга об абаке" (1202) впервые познакомила Европу «с арабскими (точнее – индийскими) цифрами и одновременно с современной системой записи чисел» [3].

Но в наши дни он популярен больше потому, что известный французский математик Франсуа Люка (1842–1891) назвал его именем числовой ряд, который стал родоначальником целой теории, хотя и возник в довольно незамысловатой арифметической задаче о подсчете количества кроликов.

Для наглядности демонстрационного материала Фибоначчи выбрал некий абстрактный пример размножения неумирающих бесконечно-живущих кроликов по искусственной схеме, далекой от практики.

В контексте жизненности биологической популяции животных задача получилась, мягко говоря, маловразумительной и несхожей с реальной жизнью. Ибо в реальных условиях кролики размножаются совсем иначе: в других пропорциях, с иными сроками и т.д. До своего репродуктивного возраста слишком быстро не растут. Потомство у них всегда больше двух, чаще всего в окроле бывает 6–9 крольчат. Длинноухие животные долго не живут, в хозяйстве не скрещивают особей одного помета и т.п.

Но тем впечатлительнее вычислительные аспекты задачи, переводящие реальные вещи в абстрактно-отвлеченную математическую плоскость. Как пример отменной идеализации.

От кроликов Фибоначчи до алгебраической интерпретации. Легко показать, что аналитическое разрешение числовой последовательности Фибоначчи сводится к однородному линейному рекуррентному уравнению второго порядка f_n+2 = f_n+1 + f_n, и решению характеристического уравнения x² = x + 1 с единичными коэффициентами.

Для этого достаточно разделить исходное уравнение (соотношение) на f_n, ввести обозначение x = f_n+1 / f_n и перейти к пределу n → ∞.

Уместно напомнить, что квадратные уравнения умели решать еще древние вавилоняне [4, с. 42-46]. Они тогда еще не знали отрицательных и тем более комплексных чисел, поэтому рассматривали только уравнения с положительными корнями, которые записывали числами в 60-ричной системе счисления. Как ни удивительно, но их алгоритмы были основаны на подходе, известном сегодня как теорема Виета.

Евклид также «нигде не пользуется общей формулой решения квадратного уравнения даже в геометрической форме» [1, с. 438], включая задачи, потенциально сводимые к таким уравнениям. Хотя у него есть предложение 6.28, достаточно длинное в изложении [1, с. 209], но из которого может быть выведена основная формула вычисления корня в её современном представлении.

С точки зрения золотого сечения "обожествлять" нужно не столько числа Фибоначчи, сколько аддитивно-двухчленную процедуру их вычисления, которая при любых начальных условиях, не равных одновременно нулю, приводит к аттрактору в виде константы Ф – положительному корню квадратного уравнения.

Математическая форма f_n+2 = f_n+1 + f_n в классе аддитивных конструкций структурно отличается минимально допустимой простотой, имея принципиально отличительные особенности в правой формообразующей части [5, 6]:

• два слагаемых как наименьшая совокупность суммируемых величин, – меньше просто не бывает;
• два последовательно стоящих дискретных индекса (момента времени) n, n+1 с минимальными запаздываниями относительно n+2;
• два целочисленных единичных коэффициента при слагаемых.

Другими словами, налицо три пары «минимальных возможностей».

В контексте арифметических вычислений процесс формирования элементов последовательностей Фибоначчи напоминает итеративный процесс нахождения одного из корней алгебраического характеристического уравнения.

Поэтапное приближение происходит таким образом, что все промежуточные корни проскакиваются, а система сосредотачивается только на одном максимальном по модулю корне, – согласно теореме Бернулли. При этом отношения соседних членов любой последовательности формируют свой самостоятельный ряд чисел, в виде подходящих рациональных дробей к истинному решению – корню уравнения.

Анализ. Математически модель Фибоначчи – это сравнительно идеализированная конструкция. На физическом уровне – весьма отдаленная структура от реального проявления в природе, хотя бы потому, что не учитывают внешние возмущения, лимитирующие факторы и т.п.

В противном случае «Вселенная состояла бы из одних кроликов».

Понятно, что задача умозрительная, кролики вымышленные, популяция биологически нежизненная. Близкие к дворовому хозяйству люди при всём желании не могли взять в толк подобный способ размножения божьих тварей, их невероятное взросление, невообразимое скрещивание, вечную жизнь и т.п.

Если бы не Люка, то вспоминали бы сегодня Фибоначчи разве что как европейского популяризатора восточных знаний о числах.

Правильно утверждал русский математик В.Арнольд: если что-то названо именем кого-то, то этот "кого-то" имеет к названному предмету самое отдаленное отношение, во всяком случае, в математике.

Двучленно-аддитивная модель Фибоначчи описывает экспоненциальный рост, а точнее увеличение чисел (целых, вещественных, мнимых) согласно показательной функции βⁿ.

В частности, для чисел Фибоначчи верно F_n ≈ Фⁿ / √5.

В чистом виде такая модель в природе практически не встречается, разве что только на первоначальной стадии развития, или слабо выражена.

Далее вступают в силу внешние воздействия и разного рода ограничения или лимитирующие факторы. Среди главных из них можно выделить фиксированную продолжительность биологической жизни, ограниченность потребляемых ресурсов и др.

Константа золотого сечение в задаче Фибоначчи о кроликах соответствует идеализированному случаю вечной жизни с неограниченным репродуктивным возрастом.

Однако кролики не бессмертны, поэтому, наравне с размножением, в модели следует учитывать процессы естественного или принудительного убывания взрослых особей (отмирания, истребления) и не только. Пространство состояний становится разомкнутым.

Математически это означает введение в уравнение элементов запаздывания, дополнительных аддитивных членов, неединичных коэффициентов. При этом решение уходит от ЗС.

Постановка задачи и неоднородное уравнение. Чтобы сохранить "золотое поле Фибоначчи", по-прежнему оставим двучленно-аддитивную схему развития процесса без запаздывания с единичными коэффициентами. Но теперь модель дополним добавочным воздействием неконтролируемых факторов и шумов, что равносильно введению в рекурсию неоднородности ε_n типа f_n+2 = f_n+1 + f_n + ε_n.

Можно сказать, что исходная аддитивная форма f_n+2 = f_n+1 + f_n характеризует замкнутую систему. Всё "варится" в собственном соку.

Неоднородная система f_n+2 = f_n+1 + f_n + ε_n описывает открытую систему, а слагаемое ε_n отображает динамическую связь системы с внешним миром.

Отдельные стороны данного подхода описаны в наших работах [7, 8] и требуют своего логического обобщения и систематизации с подведением итогов.

формате PDF (1095Кб)