|
|
Грант Аракелян
Содержание
Об истоках числовой математики
Логика первого порядка
Формальная числовая математика
О появлении выделенных чисел в математике
Недостающие компоненты системы AG
Функциональные уравнения
Построение континуума
Константы суперпозиции
Заключение
Об истоках числовой математики
Известно, что понятие числа, возникшее из потребностей счёта ещё в доисторические времена, относится к категории важнейших понятий математики и всей науки. Более того, оно играет важнейшую роль практически во всех сферах человеческой деятельности и одинаково значимо в таких далёких друг от друга областях, как наука и философия, мифология и религия, магия и оккультизм, повседневная жизнь и деловые расчёты. Однако ниже речь не о значимости, а первичности понятия в структуре той части математики, которую с некоторой долей условности можно назвать числовой.
Уточним, что под этим будем понимать бóльшую часть математики, в которой число является либо основным, либо одним из основных понятий. Учениями о числах являются арифметика, теория чисел, а в какой-то степени и теории функций вещественной и комплексной переменной. Число, наряду с функцией и пределом, является основным понятием в обширных разделах математики, обычно объединяемых под общим названием анализ. Сюда входят дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный анализ, вариационное исчисление, гармонический анализ и некоторые другие разделы математики. Вместе с тем, в другой части сильно разросшегося за последние столетия древа математики число является лишь вспомогательным понятием среди таких понятий, как множество, группа, величина …
Очертив, по крайней мере приблизительно, рамки числовой математики, можно приступить к рассмотрению её истоков. Изначально ясно, что это метатеоретическая проблема, относящаяся к сфере философии математики и её оснований, резонно поэтому обсудить вначале место математики в общей структуре научного знания. Всё дальнейшее изложение будет вестись преимущественно в философско-методологическом ключе, прибегая по необходимости и к логико-математическим конструкциям.
В достаточно популярной схеме иерархическая структура научного знания состоит из пяти основных отраслей, каждая из которых составлена (в порядке старшинства слева направо) из двух больших научных областей.
|
I |
Формальные науки |
Логика |
Математика |
|
II |
Физические науки |
Физика |
Химия |
|
III |
Науки о жизни |
Клеточная биология |
Функциональная биология |
|
IV |
Науки об обществе |
Психология |
Социология |
|
V |
Земля и космос |
Астрономия |
Науки о Земле |
Общая структура научного знания
Как видим, в данной схеме формальные науки предшествуют остальным научным отраслям, а логика лежит в основе всей науки, включая математику. Это, разумеется, не единственное понимание структуры научного знания, есть и другие, среди них и радикальные, согласно которым научными являются только эмпирические науки, а логика и математика — вообще не наука в силу их независимости от эмпирического опыта. В любом случае, логика и математика неразрывно связаны и в научной литературе, особенно англоязычной, нередко можно встретить такие выражения: «логика предшествует математике» (logic precedes mathematics), «математика сводится к логике» (mathematics reduces to logic), «математика — расширенная логика» (mathematics is an extension of logic), «логика — язык математики» (logic is the language of mathematics).
Примат логики над математикой можно понимать двояко. Любое высказывание, включая, конечно, и предложения математики, должно соответствовать законам логики и в этом смысле нельзя заниматься математикой без логики. Это вполне тривиально и здесь не возникает вопросов. Другое дело — сводимость математики к логике, понимание математики как дополнения к логике. Впервые мысль о подобной редукции высказана ещё Лейбницем в конце XVII века, но попытка конкретной реализация идеи в рамках философии математики с целью её обоснования была предпринята спустя лишь два столетия.
Принято считать, что у истоков программы логицизма — дедукции математики из символической логики — стоит Г. Фреге, который пытался свести натуральные числа к логическим понятиям. Редукционизм Фреге оказал определённое влияние на Б.Рассела и А.Уайтхеда, Р.Дедекинда, Д.Пеано, Л.Витгенштейна и других известных логиков, математиков и философов науки, занимавшихся проблемами оснований математики. Однако логицистская программа обоснования математики, во всяком случае в её максималистском варианте, успехом не увенчалась, как, впрочем и программы формализма (Д.Гильберт, П.Бернайс, А.Тарский, Р.Карнап и др.) и интуиционизма (Я.Брауэр, А.Гейтинг и др.). С обнаружением парадоксов в теории множеств, прежде всего парадоксов Бурали-Форти, Кантора, Рассела, и доказательством двух знаменитых теорем К.Гёделя был нанесён серьёзный удар по логицистской и формалистской программам обоснования математики. Стало ясно, что идея редукции математики к логике, как и концепция формализации (аксиоматизации) математики не могут быть реализованы с той степенью завершённости и полноты, которая была задумана авторами программ и их адептами.
Тем не менее, трансформировавшись в нео-логицизм и нео-формализм, модифицированные программы столетней давности, наряду с теоретико-множественной программой обоснования математики, по-прежнему высоко ценятся в науке и продолжают привлекать внимание современных исследователей. Заметный рост интереса к проблемам логического обоснования и формализации математики в немалой степени обусловлен развитием вычислительной техники и возможностью автоматического доказательства теорем на основе математической логики.
Последняя фактически представляет собой гибрид логики и математики, «логика, развиваемая с помощью математических методов» (С.Клини), сочетающая в себе характерные особенности концепций логицизма и формализма. По отношению к формальной числовой математике математическая логика выполняет роль метатеории, что означает её тесную связь с метаматематикой и основаниями математики. Путём отказа от фундаментализма Фреге, Гильберта, их последователей и с учётом налагаемых теоремами Гёделя ограничений, классическое исчисление предикатов (логика первого порядка), включающее исчисление высказываний, широко используется в качестве фундамента для различных систем чистой математики, а также в лингвистике и информатике.
Даже самое беглое знакомство со страницами истории науки, связанными с попытками преодоления кризиса в основаниях математики, достаточно для понимания некоторых реалий прошлого и настоящего.
Во-первых, выдвижение различных программ обоснования математики стало, по сути, реакцией выдающихся научных умов того времени на обнаружение парадоксов в канторовской теории множеств, мыслимой как надёжный и окончательный базис всей математики.
Во-вторых, это был кризис оснований математики, в самой же математике, в таких её разделах, как арифметика, геометрия, анализ, никто и никогда никаких парадоксов и противоречий не обнаруживал.
В-третьих, несмотря на относительную неудачу программ логицизма и формализма в их первоначальной редакции, концепции строгой формализации математических теорий и построения формальной математики на основе логики широко используются в современной науке.
В-четвёртых, основой формальной математики является не классическая, а математическая логика, которая считается разделом не столько логики, сколько математики. Логико-дедуктивный формализм математической логики является достаточно надёжным аксиоматическим фундаментом для построения различных систем формальной математики.
Отсюда следует, что корни формальной математики, в частности числовой, растут из математической логики, точнее исчисления предикатов, которое является формальной основой для множества математических систем, причём не обязательно даже числовой природы. Это наиболее строгий и корректный способ введения понятия числа и реальная альтернатива тысячелетнему догмату первичности натуральных чисел, который завёл идею обоснования математики в тупик.
Исторические причины, по которым натуральные числа всегда признавались первичными по отношению к остальным числам, вполне очевидны: натуральные числа — необходимый элемент счёта, используемый ещё в доисторические времена, понятие натурального числа всегда казалось настолько привычным, простым, изначальным и незаменимым, что долгое время не возникало потребности в его определении посредством других понятий. В приписываемых древним пифагорейцам изречениях типа «Все вещи суть числа», «Мир создан в подражание числам», «Бог положил числа в основу мирового порядка», см., например, [1, с. 54; 2, с. 129–130], имеются в виду исключительно целые положительные числа, поскольку и тогда и долгое время спустя только они и считались настоящими, натуральными, в противовес числам отрицательным, иррациональным, трансцендентным, мнимым. С позицией пифагорейцев через два с лишним тысячелетия перекликается восторженное заявление: «Целые числа сотворил господь бог, а всё прочее — дело людских рук», см. [3, с. 222], принадлежащее математику Л.Кронекеру, не внявшему, как впрочем и многие другие, предостережению служителя бога и философа Дж.Беркли: «Число есть всецело создание духа. ... Число настолько очевидно относительно и зависимо от человеческого познания, что странно было бы подумать, чтобы кто-нибудь мог приписать ему абсолютное существование вне духа» [4, с. 176].
Без покрова мистики и священного трепета, но вполне в духе пифагорейской традиции исключительности и первичности натуральных чисел предлагались и различные программы обоснования математики. Не случайно, что именно к формальной арифметике натуральных чисел пытались свести с целью её окончательного обоснования всю математику Гильберт и его последователи; не случайно появление и широкое распространение формальных систем натуральных чисел; не случайно, что именно на понятии натурального числа пытался строить свою математику интуиционизм. Однако попытки построить математику посредством постулата о существовании бесконечного ряда 1, 2, 3…, либо служащих средством материального представления натуральных чисел точками или палочками интуиционистов, ведёт к серьёзным трудностям, связанным с введением уже отрицательных чисел, не говоря уже о других, ещё более неодолимых проблемах [5. с. 38–43]. Неудача всех редукционистских попыток подобного рода, свидетельствует о несостоятельности догмата первичности натуральных чисел и решение вопроса переносится в область логики первого порядка и построенной на ней аксиоматики числовой математики.
Логика первого порядка
Исчисление предикатов, она же логика первого порядка, изложенная во многих капитальных трудах, например, [6–10], содержит полный набор исходных понятий, принципов и конструктов, которые перечислим, не вникая в детали (подробнее см. [11], Гл. 1).
Логическая пропозициональная функция, или предикат, предельный случай которого есть единичное высказывание.
Математические (числовые) функции:
а) простые функции, являющиеся в частности постоянными величинами, или просто постоянными (константами)
б) сложные функции, образуемые посредством суперпозиции
в) функционалы
г) операторы
Им соответствуют четыре потенциально бесконечных множества переменных:
1) предметные (индивидные) переменные
2) предикатные логические переменные
3) числовые переменные
4) операторные функции-аргументы математики
Первичные операции.
Пропозициональные связки: ~ (эквивалентность), ⸧ (импликация), & (конъюнкция), ˅ (дизъюнкция), ¬ (отрицание.
Кванторы всеобщности ∀ и существования ∃ (перевернутые заглавные буквы английских слов Аll и Еxist).
Математические операции = (равенство), + (сложение), – (вычитание).
Этим определяется нуждающийся ещё в уточнении алфавит формальной системы
~ ⸧ & ˅ ¬ ∀ ∃ = + –
в котором все десять операторов снабжены убывающим слева направо рангом (ранги операторов + и — могут считаться одинаковыми). При этом, чем ниже ранг оператора, тем сильнее он связывает переменную, что позволяет обходиться минимальным количеством скобок при написании логико-математических выражений.
Посредством алфавита определяются правильно построенные последовательности логических и математических символов формальной системы, называемые термами и формулами. Аналогами терма в грамматике естественного языка являются «слово», «подлежащее», «дополнение», аналогами формулы — «предложение», а также «суждение. Формулами являются предикаты и предикатные переменные; они образуются также посредством операции равенства для термов р и q, и с помощью пропозициональных связок и кванторов для формул А и В. Любая формула, простая или составная, может принимает лишь одно из двух истинностных значений: И (истина) и Л (ложь).
Здесь важно отметить, что в логике первого порядка, наряду с логическими элементами, определяются такие фундаментальные понятия математики, как числовая переменная, числовая функция, включая образуемую посредством бесконечной суперпозиции сложную функцию, операторные функции-аргументы математики, бесконечный предел (посредством кванторов), формула и основные математические операции равенства, сложения и вычитания.
Особый интерес представляют формулы являющиеся истинными при любых истинностных значений их подформул А, В, С, соединённых посредством пропозициональных связок и кванторов. Это по существу тавтологии; такие формулы называют тождественно истинными, или общезначимыми. Именно из множества тождественно истинных формул выбираются логические аксиомы, точнее схемы аксиом, которые конкретными аксиомами становятся тогда, когда вместо произвольных А, В, С подставляются конкретные формулы.
В работе [7, с. 467] аксиоматику исчислению предикатов образуют четырнадцать, содержащих пропозициональные связки постулатов исчисления высказываний, дополненных четырьмя постулатами, содержащими кванторы. Есть и другие системы исчисления предикатов — с меньшим числом пропозициональных связок и постулатов, но все эти аксиоматики формально эквивалентны и в принципе равноправны. Можно брать любую из них, а тот или иной выбор диктуется главным образом прагматическими соображениями. Не останавливаясь на этом, заметим лишь, что общезначимость всех аксиомных схем доказывается методами теории моделей или более тонкими методами теории доказательств.
Полный текст доступен в формате PDF (948Кб)
Грант Аракелян, С чего начинаются числа // «Академия Тринитаризма», М.,
 |