|
|
Франц Герман
«Теорема Пифагора устанавливает нечто приблизительно
верное, независимо от существования человека»
А. Эйнштейн ([15], стр. 200)
Уверен, что большинство из вас на вопрос: помните ли вы теорему Пифагора, ответят утвердительно. А вот знаете ли вы, что мы используем теорему Пифагора минимум на четверть, а может быть и меньше? Этот вопрос, скорее всего, поставит вас в тупик. Кстати, уверен, что, прочитав, некоторые формулировки (сведённые к определению) теоремы Пифагора, вы, скорее всего, даже и не сообразили бы, что речь идёт о школьной теореме. «Теорема Пифагора, ..., низведена в современном аксиоматическом изложении евклидовой геометрии до малозаметного определения: евклидовой структурой в линейном пространстве называется линейная по каждому аргументу симметрическая функция пары векторов (скалярное произведение), для которых скалярный квадрат любого ненулевого вектора положителен» ([9], стр. 70). Но давайте всё по порядку и не будем вдаваться в заумные дебри современной математики.
Все помнят ещё со школьной скамьи утверждение: «a квадрат плюс b квадрат равно c квадрат». Или в свёрнутом виде:
a2 + b2 = c2 (1)
И сразу понимаем – это теорема Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Конечно же, теорема эта связана с прямоугольным треугольником, где есть гипотенуза и два катета и речь идёт об их длинах.
Рис. 1
Прямоугольных треугольников много и чтобы представить себе это множество надо нарисовать окружность и её диаметр.
Рис. 2
Взяв на окружности произвольную точку и, соединив её с концами диаметра (отрезок красного цвета на Рис. 2), получим прямоугольный треугольник, где диаметр - это и есть гипотенуза, а отрезки, выходящие из данной точки – это катеты нашей, в смысле Пифагора, теоремы. Произвольность выбора исходной точки на окружности определяет треугольник Пифагора, т. е. точки полуокружности дают множество треугольников Пифагора.
Всегда ли отрезки а, b и с должны быть соединены в прямоугольный треугольник, чтобы выполнялось выражение (1) или они могут быть частями каких-то других фигур?
А что скажете, услышав такую формулировку: квадрат секущей равен сумме квадратов касательных? Вроде опять выражение a2 + b2 = c2, но нет никаких катетов и гипотенуз.
Нам видится эта ситуация таким образом. Авторитет Пифагора был так велик, что никому даже в голову не приходило, что выражение a2 + b2 = c2 может быть связано не только с прямоугольным треугольником.
Рассмотрим задачу Коксетера-Грейтцера ([1], стр. 43).
Полный текст доступен в формате PDF (514Кб)
Франц Герман, Теорема Пифагора // «Академия Тринитаризма», М.,
 |