Триадная кривая Коха, сетка Аполлония, треугольники Вассера

Аннотация. Начиная с фрактальных объектов Коха и Аполлония, динамика тройственных образований расширяется на треугольные структуры с дугообразными линиями – треугольники Вассера. От модели абсолютно-идеального круга (окружности) к выпуклым треугольникам и далее через их вырожденный вариант в виде универсальной точки (модель "нечто") – к вогнутым инвариантам, за которыми следует разрыв видимых связей. Для интерпретации тройственных отношений в христианском богословии особый интерес представляет дугообразный треугольник с взаимно ортогональными сторонами.

Эх, тройка! птица-тройка!
кто тебя выдумал?
Н. Гоголь, Мертвые души.

Фрактальный код Вселенной.

Мы далеко от мысли, что исключительно тройка "правит" миром. Скорее всего, это удобная схема оперирования с целочисленными конструкциями, которая восходит к пифагорейцам с их фундаментальным тезисом: в синтезе трех миров кроется тайна космоса.

Рассматривая особенности иерархического устройства мироздания, неординарный исследователь Сергей Сухонос наделил Вселенную троичным кодом [1]. По его мнению, в масштабной гармонии задействованы все числа как обертонный масштабный спектр, и в первую очередь целые числа. При этом косные объекты в основном имеют двоичные структуры иерархии, а живые – минимум троичные. То есть троичный код Вселенной – это в первую очередь принцип иерархического устройства с разбивкой структуры по классам – тройкам.

Одновременно остаются свойства объектов и систем, которые не связаны непосредственно с иерархией. Например, четыре стороны света, две руки, пять пальцев и т.п. В код могут также входить и неиерархические структуры, в частности, "префиксы", домены достоверности, задаваемые правилом или алгоритмом, и так далее.

Идея троичности с тремя метрическими иерархиями, конечно, очень интересна. Она донесена красиво, наглядно и достаточно просто: элементы – объекты – системы. Подобные начала теории вложенных иерархий комплексно и последовательно изложены в работах яркого философа современности Николая Александрова [2].

Но почему своё "трио" Сухонос называет именно кодом, сказать трудно. Возможно, это некий макет-образ, который необходимо дополнительно оплести паутиной системных связей, "навесить" на них законы физики и т.д. Тогда похожая схема заиграет новыми красками, как большущая молекула ДНК. Причем фрактального типа, подобно матрешке. Где каждый элемент может стать системой новых объектов и наоборот. Сродни бесконечно-фрактальной иерархии.

Поэтому невольно закрадывается мысль об искусственной подгонке упомянутого кода под троичность. Иначе говоря, сама по себе троичность или тринитарная идея не становится логически обусловленной и/или необходимым и достаточным условием.

Представляется, если речь идет о неком фрактальном коде Вселенной, то с математической точки зрения он не обязательно выражается буквально целым числом три. За счет многократных вложений структур отдельные части могут быть фрагментами-составляющими разных уровней.

Тройка, как видимая структурообразующая и целочисленная форма как бы размазывается и становится чем-то вроде чисел e ≈ 2,72 и пи ≈ 3,14. – С их условно троичным спектром вокруг трех: 0,28 вниз и 0,14 вверх, то есть 2∙0,14 + 1∙0,14 = 3∙0,14.

Тренога (штатив, теодолит) никогда не шатается, в отличие от стола или стула о четырех ножках. Но устойчивой относительно опрокидывания всё же является 4-ножковая конструкция.

Не случайно три основных уровня всегда дополняются верхним завершающим – четвертым, который играет специфическую важную роль (исихазм, буддизм и др.).

Поэтому иерархическая схема детально может выглядеть как "3+1" в своем безграничном вложении. Есть о чём дополнительно поразмыслить.

А пока продолжим троичную проблематику...

Введение в тему.

В первой части нашей статьи [3] отмечалось, что известные троичные или триадные модели преимущественно носят статико-иллюстрационный характер. Они весьма наглядны, но отображаются как некие застывшие слепки, образы, символы, картинки или математические формулы. В то же время окружающий нас мир непостоянен и глубоко динамичен. Именно поэтому в настоящей работе внимание акцентируется на рассмотрении вариабельных структур – динамических моделей перманентных равновесий. Тройка в них как бы дышит, процессирует и развивается во времени, сохраняя общее единство и одновременно добавляя нечто новое более сложное, объединяя покой и подвижность, тождественность и различие.

В качестве троичной математической модели в работе [4] предложено рассматривать равносторонний сферический треугольник. Его отличительная особенность – объемно-трехмерное воспроизведение и взаимная ортогональность сторон, которая образует безупречное триединство.

В сферической геометрии нет понятия подобия, так как отсутствуют преобразования, изменяющие все расстояния в одинаковое число раз, не равное 1. Любое преобразование подобия является изометрическим. Поэтому на конкретной сфере можно построить единственный сферический треугольник с конкретными параметрами. Его местоположение на сфере не столь важно. В этом контексте он имеет исключительное значение, как совершенная модель троичности. Хотя бы в силу своей уникальности.

На плоскости тоже можно изобразить равносторонний "круговой" треугольник с прямыми углами. Он образуется дугами трех окружностей одинакового радиуса ρ, центры которых отстоят друг от друга на расстоянии d = ρ·√2. Одна особенность: для плоскостных "круговых" треугольников сохраняется принцип подобия. Поэтому они отражают не столько "застывший" символ-образ в его статическом проявлении, сколько воспроизводят триаду в её динамике.

Но на этом процесс трансформации тройственной структуры, ход её движения, изменения и развития не заканчиваются. Вполне естественным выглядит перенос и обобщение модели пересечения трех окружностей на произвольное расстояние d между их центрами.

Рассматривая понятие троичности в контексте логики числа, Александров очень метко отмечал [2]: «Тройку мы должны начинать рассматривать именно в динамике... В статике можно постулировать, но невозможно полноценно понять статическую тройку без её динамического отображения... В статике троичность отображает иерархическую структуру системы. Иерархия – это, как минимум, три уровня. Почему структура системы именно иерархичная и именно трехуровневая? – Поскольку таков сам системный мир. Если брать пространственное выражение трехуровневости, это масштабы – макро, мезо, микро».

По следам дискуссионных вопросов.

Прежде чем погрузиться в новую тему и акцентировать внимание на новом материале позволим себе воспроизвести и прокомментировать некоторые критически-дискуссионные отклики. Один из них связан с христианской троицей богов, следующей из самого первого стиха Библии (Быт. 1:1), где употреблено слово ‏אלוהים – Элохим, которое дословно означает "боги" во множественном числе.

Действительно, рассматривая троично-абстрактные модели, описывающие многие явления и процессы в мироздании, трудно обойти стороной триадный взгляд на структуру целого, широко представленный в христианской теологии. Как основополагающий канон веры и догмат одной из мировых религий. Хотя он и является продуктом условной договоренности, принятым большинством при обычном голосовании древних богословов и священников. В результате родилась сначала двоица, а затем троица богов с её немыслимой потаенностью и неизреченностью, к которой наиболее точно подходит парафраз: «Умом триаду не понять, в триаду можно только верить».

1) В ответ на первую часть работы о динамических моделях троичности своими впечатлениями поделился один из авторов АТ – харьковчанин Игорь Лысенко. По его словам, как верующий человек он не мог не "клюнуть" на наше утверждение о том, что «религия зиждется исключительно на безусловной вере, которая не требует доказательств и полностью отвергает само требование внятных адекватных подтверждений» [3].

Его мысли нам глубоко импонируют и состоят в следующем.

В безусловной вере без доказательств не всё соответствует истине. Если под доказательством понимать строгое формально-логическое обоснование какого-либо положения, то действительно, вера в бога не связана с таким доказательством [5]. Но это вовсе не означает, что в вопросе веры не задействуется разум, который ассоциируется с наукой и противопоставляется религиозной вере. – Такое противопоставление отражает поверхностный взгляд на существо проблематики.

По-настоящему верующий в бога человек отнюдь не удовлетворяется принятием тезиса «Бог существует» или «Библия – книга от бога» безо всякого свидетельства. Одним из таких подтверждений является личный опыт взаимоотношений человека с богом, существование которого нельзя доказать формально-логическим путем, ибо это всего лишь другой вид общего знания. Знания, которое достигается не аксиоматически-дедуктивным путем или в результате эксперимента, а получается непосредственно.

Разумеется, существование такого вида знания, точнее, способа его приобретения, можно оспаривать. Но это ровным счетом ничего не привносит в опыт отношений верующего человека с богом. Подобные отношения просто есть, как есть и уверенность в факте существования бога. Ньютон и Паскаль, Максвелл и Фарадей, Лейбниц, Планк и т.д. – яркие примеры ученых (наука–разум) экстра-класса, которые в то же время были верующими.

Также нельзя сказать, что вера полностью «отвергает само требование внятных адекватных подтверждений». Лысенко приводит любопытный пример на основе причинно-следственных связей: «Я, как верующий человек, обращаюсь к Богу в молитве с просьбой дать руководство, как поступить в той или иной ситуации, и, понимая, что Бог может ответить по-разному (через Библию, через людей или определенным образом сложившиеся обстоятельства), внимательно анализирую ситуацию, в результате чего понимаю, как следует поступить; затем поступаю соответствующим образом и, анализируя результат, прихожу к заключению, что это был оптимальный ход в сложившихся обстоятельствах».

Если такой подход к делу носит регулярный характер в жизни человека, то вполне можно говорить о том, что имеют место «внятные адекватные подтверждения» факта участия бога в личной жизни, что по принципу положительной обратной связи побуждает людей и дальше следовать такому направлению. Конечно, не обязательно рассматривать подобные рассуждения в качестве попытки апологии веры в бога. Если ему будет угодно, он даст веру в себя наиболее оптимальным способом.

2) Другой автор АТ Игорь Ерохов из Кривого Рога дает интересное дополнение, что не только число, представляющее греческое золотое сечение, разлагается в цепную (непрерывную) дробь, состоящую только из единиц. Так, в своей работе [6] он подробно описывает пример получения ветвящейся цепной дроби с единицами (форма Кауэра с единичными параметрами) на основе лестничных фильтров в электрических цепях переменного тока.

Триадная кривая Коха.

Число три имеет непосредственное отношение к делению целого на три части. Так, в статье [7] рассмотрены различные формы и интерпретации модели деления 1/3 (одна треть) в математике, средствах массовой информации, статистике, экономике и проч. – в сравнении с половинным делением и золотой пропорцией. Главное достоинство структур состоит в их простоте и рациональности, на основе целых чисел и обыкновенных дробей. Среди них: таблица Никомаха, числа Якобсталя, пыль Кантора и др. И всё же в значительной мере они ближе к статичным образованиям. Динамика наиболее отчетливо проявляется во фрактальных объектах, к которым, в частности, относится триадная кривая Коха.

Прямолинейный отрезок условно единичной длины делится на три равные части.

На основании центральной части строится равносторонний треугольник, после чего центральный сегмент отбрасывается. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующих шагах-итерациях данная операция повторяется для каждого из полученных звеньев.

В пределе получается триадная кривая Коха с фрактальной размерностью log4 / log3.

Данные кривые можно построить на базе каждой из трех сторон равностороннего треугольника, образовав замкнутой кривую – снежинку Коха, как это выполнил шведский математик в 1904 году. Полученная фрактальная кривая обладает рядом удивительных свойств и в своем роде уникальна. Она обладает вертикальной осью симметрии. Везде непрерывна, но нигде не дифференцируема, и к ней нигде нельзя провести касательную. Свободно умещаясь на небольшом листе бумаги, имеет в пределе бесконечную длину! То есть её периметр бесконечен, а охватываемая площадь конечна и равна 8/5 = 1,6 площади исходного треугольника [8, с. 82], что весьма близко к константе золотого сечения Ф, как отношение двух соседних чисел Фибоначчи.

Если вместо деления отрезка в соотношении 1:1:1 использовать константу золотого сечения Ф:1:Ф, то полученная кривая имеет отношение к знаменитым мозаикам (плиткам) Пенроуза.

Можно использовать и другие кривые Коха с изменяющимся углом наклона в исходном треугольнике. В частности, для углов 36 и 72 градусов [9] получаем фрактальные размерности соответственно log4 / log(2+Ф) и log4 / log(1+Ф).

Всё это свидетельствует о возможности применения кода Фибоначчи к динамике фрактальных систем [10, 11].

Сетка Аполлония.

Этот фрактал образуется по трем попарно касающимся окружностям. Представляет собой предельное множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трех уже построенных [12]. Построение начинается с трех окружностей, каждая из которых является касательной к двум другим. Далее к имеющейся фигуре рекурсивно добавляют окружности, которые касаются каких-нибудь трех уже имеющихся окружностей.

На первом шаге добавляются две, на втором шесть, и так далее. Продолжая построение, на n-м шаге мы добавляем 2·3ⁿ новых окружностей. Замыкание построенных окружностей называют сеткой Аполлония с фрактальной размерностью ≈ 1,305688.

формате PDF (686Кб)